高中新课标数学基础知识汇整合

第一部分 集合

1、 理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：元素师函数关系中自变量的取值？还是

因变量的取值？还是曲线上的点？??

2、 数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽量可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩

图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决；?是任何集合子集，是任何非空集合的真子集。 3、 （1）含个n元素的集合的子集数为2，真子集数为2?1；非空真子集的数为2?2；

（2）A?B?A?B?A?A?B?B；注意：讨论的时候不要遗忘了A??的情

况

（3）CI(A?B)?(CIA)?(CIB)；CI(A?B)?(CIA)?(CIB)。

第二部分 函数与导数

1、 映射：注意○1第一个集合中的元素必须有象；○2一对一，或多对一。

2、 函数值域的求法：○1分析法；○2配方法；○3判别式法；○4利用函数单调性；○5换

nnna?ba2?b2元法；○6利用均值定理ab?；○7利用数形结合或几何意义（斜?22sinx，cosx等）率、距离、绝对值的意义等）；○8利用函数有界性（a，；○9导数法

3、 复合函数的有关问题（1）复合函数定义域求法：○1若f(x)得定义域为?a,b?，则复合

函数f?g(x)?的定义域由不等式a?g(x)?b解出○2若f?g(x)?得定义域为?a,b?，求

xf(x)的定义域，相当于x??a,b?时，求g(x)的值域。

（2）复合函数单调性的判定：○1首先将原函数y?f?g(x)?分解为基本函数：内函数

u?g(x)与外函数y?f(u)；○2分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；3根○

据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。 注意：外函数y?f(u)的定义域是内函数u?g(x)的值域。

4、 分段函数：值域（最值）、单调性、图像等问题，先分段解决，再下结论。

5、 函数的奇偶性：（1）函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。 （2）f(x)是奇函数?f(?x)??f(x)?f(?x)?f(x)?0?f(?x)??1； f(x)（3）f(x)是偶函数?f(?x)?f(x)?f(?x)?f(x)?0?f(?x)?1； f(x)

（4）奇函数f(x)在原点有定义，则f(0)?0

（5）在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性 （6）若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性； 6、 函数的单调性

（1） 单调性的定义：f(x)在区间M上增（减）函数??x1,x2?M,当x1?x2时

f(x1)?f(x2)?0(?0)?(x1?x2)[f(x1)?f(x2)]?0(?0)

?f(x1)?f(x2)?0(?0)

x1?x2（2） 单调性的判定定义：注意：○1一般要将式子f(x1)?f(x2)化为几个因式作积或作

商的形式，以利于判断符号；○2导数法（见导数部分）；○3复合函数法（见2（2））；4图像法 ○

注：证明单调性主要用定义法和导数法。 7、 函数的周期性

（1） 周期性的定义：对定义域内的任意x，若有f(x?T)?f(x)（其中T为非零常数），

则称函数f(x)为周期函数，T为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最

小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。 （2） 三角函数的周期

○1y?sinx:T?2?；○2y?cosx:T?2?；○3y?tanx:T??；

4y?Asin(?x??)；y?acos(?x??):T?○?5y?tan(?x):T?○

2?

? ?（3） 函数周期的判定：○1定义法（试值）○2图像法○3公式法（利用（2）中结论） （4） 与周期有关的结论：○1f(x?a)?f(x?a)或f(x?2a)?f(x)(a?0)?f(x)得周期为2a；○2y?f(x)的图像关于点(a,0),(b,0)中心对称?f(x)周期3y?f(x)的图像关于直线x?a,x?b轴对称?f(x)周期为2a?b 2a?b；○4y?○

f(x)的图像关于点(a,0)中心对称，直线x?b轴对称?f(x)的周期为

4a?b

8、 基本初等函数的图像与性质 （1）幂函数：y?xa(a?R)； （2）指数函数：y?ax(a?0,a?1)； （3）对数函数：y?logax(a?0,a?1)；

（4）正弦函数：y?sinx； （5）余弦函数：y?cosx； （6）正切函数：y?tanx；

（7）一元二次函数：y?ax2?bx?c

（8）其它常用函数：○1正比例函数：y?kx(k?0)；○2反比例函数：y?特别的y?k(k?0)；x1a，函数y?x?（a?0）；

xx29、 二次函数：（1）解析式：○1一般式：f(x)?ax?bx?c；

2顶点式：f(x)?a?x?h?○

2?k,(h,k)为顶点；

3 零点式：f(x)?a(x?x1)(x?x2) ○

（2）二次函数问题解决需考虑的因素：○1开口方向；○2对称轴；○3端点值；○4与坐标轴交点；○5判别式；○6两根符号。

（3）二次函数问题解决方法：○1数形结合；○2分类讨论。 10、

函数图像：（1）图象作法：○1描点法（注意三角函数的五点作图）○2图像变换法

3导数法（2）图象变换： ○

1平移变换： Ⅰy?○

f(x)?y?f(x?a),(a?0)——左“+”右“-”

Ⅱy?f(x)?y?f(x)?k,(k?0)——上“+”下“-”

2伸缩变换：Ⅰy?f(x)?f(?x),(??0)——纵坐标不变，横坐标伸长为原来的○

1?倍。

Ⅱy?f(x)?Af(x),(??0)——纵坐标不变，横坐标伸长为原来的A倍。

3对称变换：Ⅰy?○

0,0)f(x)?(???y??f(?x)；

Ⅱy?f(x)???y?f(?x) Ⅲy?f(x)???y?f(?x) Ⅳy?f(x)????y?f4翻转变换： ○

Ⅰy?f(x)?y?f(|x|)——右不动，左向右翻（f(x)在y左侧图象去掉）； Ⅱy?f(x)?y?|f(x)|——上不动，下向上翻（f(x)在x下面无图象）；

11、

函数图像（曲线）对称性的证明

y?x?1x?0y?0(x)

（1） 证明函数y?f(x)图象的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的

对称点仍在图象上；

（2） 证明函数y?f(x)与y?g(x)图像的对称性，即证明y?f(x)图象上任意点关于

对称中心（对称轴）的对称点在y?g(x)的图像上，反之亦然；

注：○1曲线C1：f(x,y)?0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为f(2a?x,2b?y)?0；

2曲线C1：f(x,y)?0关于直线x?a的对称曲线C2方程为：f(2a?x,y)?0 ○

3曲线C1：f(x,y)?0关于y?x?a（或y??x?a）得对称曲线C2的方程为○

f(y?a,x?a)?0（或f(?y?a,?x?a)?0）；

4f(a?x)?○

f(a?x)(x?R)?y?f(x)图像关于直线x?a?b对称； 2特别地：f(a?x)?f(a?x)(x?R)?y?f(x)图像关于直线x?a对称； 5函数y?f(x?a)与y?f(b?x)的图像关于直线x?○12、

函数零点的求法

a?b对称； 2（1） 直接法（求f(x)?0的根）； （2） 图像法 （3） 二分法 13、 导数

（1）导数定义：f(x)在点x0处的导数记作y|x?x0?f(x0)?lim'''?x?0f(x0??x)?f(x0)；

?xn'n?1'（2）常见函数的导数公式：○1C?0；○2(x)?nx；○3(sinx)cosx；

4(cosx)'??sinx；○5(ax)'?axlna；○6(ex)'?ex；○7(loga○

'8(lnx)?○

x')?1 xlna1 x''''''u'u'v?uv'（3）导数的四则运算法则：(u?v)?u?v；(uv)?uv?uv；()? 2vv（4）（理科）复合函数的导数：y'x?y'u?u'x； （5）导数的应用： 1利用导数求切线：注意： ○

ⅰ所给点的切点吗？

ⅱ所求的是“在”还是“过”该点的切线？ 2利用导数判断函数单调性： ○

ⅰf'(x)?0?f(x)是增函数； ⅱf'(x)?0?f(x)为减函数； ⅲf'(x)?0?f(x)为常函数； 3利用导数求极值： ○

ⅰ求导数f(x)；ⅱ求方程f(x)?0的根；ⅲ列表的极值。 4利用导数最大值与最小值： ○

ⅰ求的极值；ⅱ求区间端点值（如果有）；ⅲ得最值。 14、 （理科）定积分 （1） 定积分的定义：

''?baf(x)dx?lim?n??i?1nb?af(?i) n（2） 定积分的性质：○1 ○2 ○3

?bab； kf(x)dx?k?f(x)dx（k常数）

a12b??f(x)?fa(x)?dx??f1(x)dx??f2(x)dx；

aacbacbb?baf(x)dx??f(x)dx??f(x)dx（其中a?c?b）

（3） 微积分基本定理（牛顿—莱布尼兹公式）：（4） 定积分的应用： 1求曲边梯形的面积S??○ab?baf(x)dx?F(x)ba?F(b)?F(a)

f(x)?g(x)dx

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