专题十 高考数学填空题

专题十 高考数学填空题

一、直接法

1设a?(m?1)i?3i,b?i?(m?1)j,其中i，j为互相垂直的单位向量，又

(a?b)?(a?b)，则实数m = 。

解：a?b?(m?2)i?(m?4)j,a?b?mi?(m?2)j.∵(a?b)?(a?b)，∴

(a?b)?(a?b)?0∴m(m?2)j?[?(m?2)?m(m?4)]i?j?(m?2)(m?4)j222?0，

而i，j为互相垂直的单位向量，故可得m(m?2)?(m?2)(m?4)?0,∴m??2。

2已知函数f(x)?解：f(x)?ax?1x?2ax?1x?2?a?在区间(?2,??)上为增函数，则实数a的取值范围是 。

，由复合函数的增减性可知，g(x)?121?2ax?21?2ax?2在(?2,??)上为增函数，∴1?2a?0，∴a?。

3现时盛行的足球彩票，其规则如下：全部13场足球比赛，每场比赛有3种结果：胜、平、负，13长比赛全部猜中的为特等奖，仅猜中12场为一等奖，其它不设奖，则某人获得特等奖的概率为 。

解：由题设，此人猜中某一场的概率为件，故某人全部猜中即获得特等奖的概率为

二、特殊化法

4 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c。若a、b、c成等差数列，则

cosA?cosC1?cosAcosC? 。

35,cosC?0，

131313，且猜中每场比赛结果的事件为相互独立事。

解：特殊化：令a?3,b?4,c?5，则△ABC为直角三角形，cosA?从而所求值为

35。

25 过抛物线y?ax(a?0)的焦点F作一直线交抛物线交于P、Q两点，若线段PF、FQ的长分别为p、q，则

1p1q? 。

?分析：此抛物线开口向上，过焦点且斜率为k的直线与抛物线均有两个交点P、Q，当

k变化时PF、FQ的长均变化，但从题设可以得到这样的信息：尽管PF、FQ不定，但其倒数和应为定值，所以可以针对直线的某一特定位置进行求解，而不失一般性。

解：设k = 0，因抛物线焦点坐标为(0,12a12a14a),把直线方程y?14a代入抛物线方程得

x?，∴|PF|?|FQ|?，从而

1p?1q?4a。

6 求值cos2a?cos2(a?120?)?cos2(a?240?)? 。

分析：题目中“求值”二字提供了这样信息：答案为一定值，于是不妨令a?0?，得结果为

32。

三、数形结合法

7 如果不等式4x?x2?(a?1)x的解集为A，且A?{x|0?x?2}，那么实数a的取值范围是 。

解：根据不等式解集的几何意义，作函数y?24x?x和

函数y?(a?1)x的图象（如图），从图上容易得出实数a的取 值范围是a??2,???。

8 已知实数x、y满足(x?3)2?y2?3，则是 。

解：

2yx?1的最大值

yx?12可看作是过点P（x，y）与M（1，0）的直线的斜率，其中点P的圆

yx?1(x?3)?ytan???3上，如图，当直线处于图中切线位置时，斜率最大，最大值为

3。

四、等价转化法

9 不论k为何实数，直线y?kx?1与曲线x?y?2ax?a?2a?4?0恒有交点，则实数a的取值范围是 。

解：题设条件等价于点（0，1）在圆内或圆上，或等价于点（0，1）到圆

(x?a)?y22222?2a?4，∴?1?a?3。

4x?1?23?x单调递减区间为 。

10 函数y?解：易知x?[,3],y?0.∵y

41与

138y

2

有相同的单调区间，而

y2?11?4?4x?13x?3，∴可得结果为[2,3]。

总之，能够多角度思考问题，灵活选择方法，是快速准确地解数学填空题的关键。

11 已知函数f?x??讲解 由3?x?1，则f?1?3??_______.

x?1，得

?1f?13??x?4，应填4.

请思考为什么不必求f??12合M??x?1?log???x?呢？

??10??,x?N?的真子集的个数是______.

2??11x讲解 M??x1?lgx?2,x?N???x10?x?100,x?N?，显然集合M中有90个元素，其真子集的个数是290?1，应填290?1.

快速解答此题需要记住小结论;对于含有n个元素的有限集合,其真子集的个数是

2?1.

213．若函数y?x2??a?2?x?3,x??a,b?的图象关于直线x?1对称，则b?_____. 讲解 由已知抛物线的对称轴为x??故应填6. 14果函数f?x??x22a?22,得 a??4，而

a?b2?1，有b?6，

1?x，那么

?1??1??1?f?1??f?2??f???f?3??f???f?4??f???_____.

?2??3??4?讲解 容易发现f?t??f???1，这就是我们找出的有用的规律，于是

?t?72?1?

原式＝f?1??3?72，应填.

本题是2002年全国高考题，十分有趣的是，2003年上海春考题中也有一道类似题： 设f?x??12?x2，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得

f??5??f??4??????f?0??????f?5??f?6??______.

15 已知点P?tan?,cos??在第三象限，则角?的终边在第____象限.

讲解 由已知得 ?n?0,?ta?n?0,?si? ??s?0,s?0,?co??co?从而角?的终边在第二象限，故应填二.

16不等式?lg20?2cosx?1（x??0,??）的解集为__________.

讲解 注意到lg20?1，于是原不等式可变形为 2cosx?0?cosx?0. 而0?x??，所以0?x??2，故应填?x0?x?????，x?R?. 2?17如果函数y?sin2x?acos2x的图象关于直线x??讲解 y??x???8对称，那么a?_____.

1?asin?2???，其中tan??a.

2?8是已知函数的对称轴，

?????2??????k??，

2?8?即 ??k??3?4，k?Z，

于是 a?ta?n?ta?nk????3?????1. 故应填 ?1. 4?

在解题的过程中，我们用到如下小结论：

函数y?Asin??x???和y?Acos??x???的图象关于过最值点且垂直于x轴的直线

分别成轴对称图形.

18设复数z1?2sin??cos??时针方向旋转

3?4???4??????在复平面上对应向量OZ2?21，将OZ1按顺

后得到向量OZ2，OZ对应的复数为z2?r?cos??isin??，则

tan??____.

讲解 应用复数乘法的几何意义，得 z2?z1?cos??3?4?isin3??? 4? ??22??2sin??cos????2sin??cos??i?，

于是 ta?n?

故应填

2si?n?co?s2si?n?co?s.

?2ta?n?12ta?n?1 ，2tan??12tan??1 19．设非零复数x,y满足 x2?xy?y2的值是____________.

?x?则代数式 ???0，???x?y?2005?y???????x?y?2005?x??x?讲解 将已知方程变形为 ??????????1?1， yy????2解这个一元二次方程，得

xy??12?32i??.

显然有?3?1,1?????2, 而2005?3?668?1,于是 原式＝

?20052005?1?????1?1???12005

＝

????22005?????22005

＝

1????2?1.

在上述解法中，“两边同除”的手法达到了集中变量的目的，这是减少变元的一个上策，值得重视.

20以下四个命题：

2n?1①2〉n?n?3?；

2②2?4?6?????2n?n?n?2③凸n边形内角和为f?n???n?1??④凸n边形对角线的条数是f?n???n?1?； ?3?；

?nn?n?2?2?n?4?.

其中满足“假设n?k?k?N,k?k0?时命题成立，则当n=k+1时命题也成立’’.但不满足“当n?n0（n0是题中给定的n的初始值）时命题成立”的命题序号是 .

讲解 ①当n=3时，2?2?3?1，不等式成立；

② 当n=1时，2?1?1?2，但假设n=k时等式成立，则

23

2?4?6?????2?k?1??k2?k?2?2?k?1???k?1???k?1??2；

2③ f?3???3?1??，但假设f?k???k?1??成立，则 f?k?1??f?k??????k?1??1??； ④ f?4??4?4?2?2，假设f?k??k?k?2? f?k?1??f?k???k?3??故应填②③.

2?k?1???k?1??2?2成立，则

.

21某商场开展促销活动，设计一种对奖券，号码从000000到999999. 若号码的奇位数字是不同的奇数，偶位数字均为偶数时，为中奖号码，则中奖面（即中奖号码占全部号码的百分比）为 .

讲解 中奖号码的排列方法是： 奇位数字上排不同的奇数有P53种方法，偶位数字上

33排偶数的方法有53，从而中奖号码共有P5?5种，于是中奖面为

故应填0.75%.

P5?5331000000?100%?0.75%,

22 ?x2?1??x?2?的展开式中x3的系数是__________7.

讲解

3由?x2?1?x?2??x7?2?x?2?7??x?2?77?x?2?知，所求系数应为的x项的

系数与x项的系数的和，即有

C7??2??C7??2??1008，

故应填1008.

6644 23过长方体一个顶点的三条棱长为3、4、5, 且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的表面积是________.

讲解 长方体的对角线就是外接球的直径2R, 即有

?2R?2?4R22?3?4?5222?50,

从而 S球?4?R?50?，故应填50?.

24若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积 是 （只需写出一个可能的值）．

讲解 本题是一道很好的开放题，解题的开窍点是：每个面的三条棱是怎样构造的，依据“三角形中两边之和大于第三边”，就可否定｛1，1，2｝，从而得出｛1，1，1｝，｛1，2，2｝，｛2，2，2｝三种形态，再由这三类面构造满足题设条件的四面体，最后计算出这三个四

面体的体积分别为：

116,

1112 ,

1412，故应填.

116、

1112 、

1412 中的一个即可.

25． 如右图，E、F分别是正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是 .（要求：把可能的图的序号都填上）

1 ○

2 ○

3 ○

4 ○

D1 A1 E D A B

C1 B1

F C

讲解 因为正方体是对称的几何体，所以四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可分为：上下、左右、前后三个方向的射影，也就是在面ABCD、面ABB1A1、面ADD1A1上的射影.

2所示； 四边形BFD1E在面ABCD和面ABB1A1上的射影相同，如图○

四边形BFD1E在该正方体对角面的ABC1D1内，它在面ADD1A1上的射影显然是一条线段，3所示. 故应填○2○3. 如图○

26 直线y?x?1被抛物线y2?4x截得线段的中点坐标是___________.

?y?x?1,讲解 由?2消去y，化简得

y?4x? x2?6x?1?0,

设此方程二根为x1，x2，所截线段的中点坐标为?x0，y0?，则

x0?x1?x22?3，

y0?x0?1?2.故 应填 ?3,2?.

x2 27 椭圆

9?y225?1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，则当m取最大值时，点

P的坐标是_____________________.

讲解 记椭圆的二焦点为F1，F2，有

PF1?PF2?2a?10,

?PF1?PF2???2????25. ??2则知 m?PF1?PF2

显然当PF1?PF2?5，即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值25.

故应填??3,0?或?3,0?.

x2 28 一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的函数解析式是y?2?0?y?20?，

在杯内放一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r的取值范围是___________.

讲解 依抛物线的对称性可知，大圆的圆心在y轴上，并且圆与抛物线切于抛物线的顶点，从而可设大圆的方程为 x2??y?r??r2.

2

?x2??y?r?2?r2，?2由 ? xy?，?2?消去x，得 y2?2?1?r?y?0 （*） 解出 y?0或y?2?1?r?.

要使（*）式有且只有一个实数根y?0，只要且只需要2?r?1??0,即r?1. 再结合半径r?0，故应填0?r?1.

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