2024年全国各地中考试题压轴题精选解析

2007年全国各地中考试题压轴题精选

cm（如图1）1．（杭州市）24. 在直角梯形ABCD中，?C?90?，高CD?6。动点P,Q同时从点B出

发，点P沿BA,AD,DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，两点运动时的速度都是1cm/s。而当点P到达点A时，点Q正好到达点C。设P,Q同时从点B出发，经过的时间为t?s?时，?BPQ的面积为ycm2（如图2）。分别以t,y为横、纵坐标建立直角坐标系，已知点P在AD边上从A到D运动时，y与t的函数图象是图3中的线段MN。

（1）分别求出梯形中BA,AD的长度； （2）写出图3中M,N两点的坐标；

（3）分别写出点P在BA边上和DC边上运动时，y与t的函数关系式（注明自变量的取值范围），并在图3中补全整个运动中y关于t的函数关系的大致图象。

y??ADAPD30CBCt BOQ （图3）

（图1） （图2）

2．.(湖南省郴州) 27．如图1，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，将矩形ABCD沿对角线AC平移，平

移后的矩形为EFGH（A、E、C、G始终在同一条直线上），当点E与C重合时停止移动．平移中EF与BC交于点N，GH与BC的延长线交于点M，EH与DC交于点P，FG与DC的延长线交于点Q．设S表示矩形PCMH的面积，S?表示矩形NFQC的面积． （1） S与S?相等吗？请说明理由．

（2）设AE＝x，写出S和x之间的函数关系式，并求出x取何值时S有最大值，最大值是多少？ （3）如图2，连结BE，当AE为何值时，?ABE是等腰三角形．

B

AEDPHADxEPHCNF图1

MGBMNFCQQG图2

3．（上海市）已知：∠MAN?60，点B在射线AM上，AB?4（如图10）．P为直线AN上一动点，以BP为边作等边三角形BPQ（点B，P，Q按顺时针排列），O是△BPQ的外心． （1）当点P在射线AN上运动时，求证：点O在∠MAN的平分线上；

（2）当点P在射线AN上运动（点P与点A不重合）时，AO与BP交于点C，设AP?x，

ACAO?y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；

（3）若点D在射线AN上，AD?2，圆I为△ABD的内切圆．当△BPQ的边BP或BQ与圆I相切时，请直接写出点A与点O的距离．（1．2）

A P

B B O

Q N M M

图10

A P O Q 备用图

N

4． (海南省) 24.如图，直线y??经过点A、C和点B??1,0?.

（1）求该二次函数的关系式；

（2）设该二次函数的图象的顶点为M，求四边形AOCM的面积； （3）有两动点D、E同时从点O出发，其中点D以每秒

4x?4与x轴交于点A，与y轴交于点C，已知二次函数的图象33个单位长度的速度沿折线OAC 按O→A2→C的路线运动，点E以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA按O→C→A的路线运动，当D、E两点相遇时，它们都停止运动.设D、E同时从点O出发t秒时，?ODE的面积为S . ①请问D、E两点在运动过程中，是否存在DE∥OC，若存在，请求出此时t的值；若不存在，

请说明理由；

②请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； ③设S0是②中函数S的最大值，那么S0 = . . . y

MCBOAx 习题一

1．（长沙市）26. 如图，

ABCD中，AB?4，BC?3，∠BAD?120，E为BC 上一动点（不

E?x，△DEF的面积为S．与B重合），作EF?AB于F，FE，DC的延长线交于点G，设B

A （1）求证：△BEF∽△CEG； D

（2）求用x表示S的函数表达式，并写出x的取值范围； （3）当E运动到何处时，S有最大值，最大值为多少？.

F

C B E

G 2．（扬州市）26.如图，矩形ABCD中，AD?3厘米，AB?a厘米（a?3）．动点M，N同时从B点出发，分别沿B?A，B?C运动，速度是1厘米／秒．过M作直线垂直于AB，分别交AN，

CD于P，Q．当点N到达终点C时，点M也随之停止运动．设运动时间为t秒．

（1）若a?4厘米，t?1秒，则PM?______厘米；

（2）若a?5厘米，求时间t，使△PNB∽△PAD，并求出它们的相似比；

（3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，求a的取值 范围；

（4）是否存在这样的矩形：在运动过程 中，存在某时刻使梯形PMBN，梯形

D Q C D Q P C N B PQDA，梯形PQCN的面积都相等？若

存在，求a的值；若不存在，请说明理由． A 3.(温州市)

P M N B A M 第24题.在?ABC中，?C?Rt?,AC?4cm,BC?5cm,点D在BC上，且以CD＝3cm,现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1cm/s的速度，沿AC向终点C移动；点Q以1.25cm/s的速度沿BC向终点C移动。过点P作PE∥BC交AD于点E，连结EQ。设动点运动时间为x秒。

（1）用含x的代数式表示AE、DE的长度；

（2）当点Q在BD（不包括点B、D）上移动时，设?EDQ的面积为y(cm2)，求y与月份x的函数关系式，并写出自变量x的

BQDCEPA取值范围；（3）当x为何值时，?EDQ为直角三角形。

4．(河北省)如图16，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=50，AD=75，BC=135．点P从点B出发沿折线段BA-AD-DC以每秒5个单位长的速度向点C匀速运动；点Q从点C出发沿线段CB方向以每秒3个单位长的速度匀速运动，过点Q向上作射线QK⊥BC，交折线段CD-DA-AB于点E．点P、Q同时开始运动，当点P与点C重合时停止运动，点Q也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．

（1）当点P到达终点C时，求t的值，并指出此时BQ的长； （2）当点P运动到AD上时，t为何值能使PQ∥DC ？

（3）设射线QK扫过梯形ABCD的面积为S，分别求出点E运动到CD、DA上时，S与t的函数关

系式；（不必写出t的取值范围）

（4）△PQE能否成为直角三角形？若能，写出t的取值范围；若不能，请说明理由． K A D

E P

B 图16

Q C 5．(吉林省) 28．如图①，在边长为82cm的正方形ABCD中，E，F是对角线AC上的两个动点，它们分别从点A，点C同时出发，沿对角线以1cm/s的相同速度运动，过E作EH垂直AC交Rt△ACD的直角边于H；过F作FG垂直AC交Rt△ACD的直角边于G，连接HG，EB．设

HE，EF，FG，GH围成的图形面积为S1，AE，EB，BA围成的图形面积为S2（这里规定：

线段的面积为0）．E到达C，F到达A停止．若E的运动时间为xs，解答下列问题：

（1）当0?x?8时，直接写出以E，F，G，H为顶点的四边形是什么四边形，并求x为何值时，

S1?S2．

（2）①若y是S1与S2的和，求y与x之间的函数关系式．（图②为备用图） ②求y的最大值．

D G C F D C H S1 E S2 A B 图①

A B 图②

6．(哈尔滨市)28. 如图，梯形ABCD在平面直角坐标系中，上底AD平行于x轴，下底BC交y轴

，2)，BC?9，sin?ABC?于点E，点C（4，?2），点D(14． 5，?1)，动点G从B出发，以1个单位/秒的速（1）求直线AB的解析式；（2）若点H的坐标为(?1度沿着BC边向C点运动（点G可以与点B或点C重合），求△HGE的面积S（S?0）随动点G的运动时间t?秒变化的函数关系式（写出自变量t?的取值范围）；

7秒时，点G停止运动，此时直线GH与y轴交于点N．另一动点P2开始从B出发，以1个单位/秒的速度沿着梯形的各边运动一周，即由B到A，然后由A到D，再由D到C，最后由C回到B（点P可以与梯形的各顶点重合）．设动点P的运动时间为t秒，点M为直线HE上任意一点（点M不与点H重合），在点P的整个运动过程中，求出所有能使?PHM与?HNE相等的t的值．

（3）在（2）的条件下，当t??y A D A y D O B E （第28题图）

x C B O E x C

（第28题备用图）

1. 解: （1）设动点出发t秒后，点P到达点A且点Q正好到达点C时，BC?BA?t，则

1S?BPQ??t?6?30,2?t?10（秒）

则BA?10?cm?,AD?2?cm?； （2）可得坐标为M?10,30?,N?12,30? （3）当点P在BA上时，y?当点P在DC上时，y?图象略

2. 解: （1）相等

13?t?t?sinB?t2?0?t?10?； 2101?10??18?t???5t?90?12?t?18? 2 理由是：因为四边形ABCD、EFGH是矩形， 所以S?EGH?S?EGF,S?ECN?S?ECP,S?CGQ?S?CGM

所以S?EGH?S?ECP?S?CGM?S?EGF?S?ECN?S?CGQ, 即：S?S?

（2）AB＝3，BC＝4，AC＝5，设AE＝x，则EC＝5－x，PC?3(5?x),MC?4x,

55所以S?PCMC?配方得：S??S有最大值3

121212x(5?x)，即S??x2?x(0?x?5) 252551255(x?)2?3，所以当x?时， 25225（3）当AE＝AB＝3或AE＝BE＝或AE＝3.6时，?ABE是等腰三角形

23.解（1）证明：如图4，连结OB，OP，

O是等边三角形BPQ的外心，?OB?OP，

圆心角?BOP?360?120． 3当OB不垂直于AM时，作OH?AM，OT?AN，垂足分别为H，T． 由?HOT??A??AHO??ATO?360，且?A?60，

?AHO??ATO?90，??HOT?120． ??BOH??POT．

?Rt△BOH≌Rt△POT．

?OH?OT．?点O在?MAN的平分线上．

当OB?AM时，?APO?360??A??BOP??OBA?90． 即OP?AN，?点O在?MAN的平分线上．

综上所述，当点P在射线AN上运动时，点O在?MAN的平分线上．

A A P T H C B P B O O Q M 图4

（2）解：如图5，

N

Q M 图5

N

AO平分?MAN，且?MAN?60，

??BAO??PAO?30．

由（1）知，OB?OP，?BOP?120，

??CBO?30，??CBO??PAC．

?BCO??PCA，??AOB??APC． ?△ABO∽△ACP． ABAO??．?ACAO?ABAP．?y?4x． ACAP定义域为：x?0．

（3）解：①如图6，当BP与圆I相切时，AO?23； ②如图7，当BP与圆I相切时，AO?43； 3③如图8，当BQ与圆I相切时，AO?0．

A P(A) I (DP) I D B O B O Q Q M N

M

N

图6

图7

4，.解：（1）令x?0，则y?4；

令y?0则x?3．∴A?3，0?．C?0，4? ∵二次函数的图象过点C?0，4?， ∴可设二次函数的关系式为

y?ax2?bx?4

又∵该函数图象过点A?3，0?．B??1，0?

∴??0?9a?3b?4，?0?a?b?4．

解之，得a??43，b?83． ∴所求二次函数的关系式为y??4283x?3x?4 （2）∵y??43x2?83x?4 =?43?x?1?2?163

∴顶点M的坐标为??1，16???3? 过点M作MF?x轴于F

∴S四边形AOCM?S△AFM?S梯形FOCM

=12??3?1??161?16?3?2???4?3???1?10 ∴四边形AOCM的面积为10 （3）①不存在DE∥OC

P (A) O Q

I D B NM

图8

例

yMCEBAOFDx∵若DE∥OC，则点D，E应分别在线段OA，CA上，此时1?t?2，在Rt△AOC中，AC?5． 设点E的坐标为?x1，y1?∴∴

x13?12t?124t?4，∴x1? ∵DE∥OC，

5512t?1238?t ∴t? 5238∵t?>2，不满足1?t?2．

3∴不存在DE∥OC．

②根据题意得D，E两点相遇的时间为

3?4?524（秒） ?311?42现分情况讨论如下： ⅰ）当0?t≤1时，S?13?t4t?3t2； 22ⅱ）当1?t≤2时，设点E的坐标为?x2，y2?

∴

y24?36?16t5??4t?4?，∴y2?

55∴S?1336?16t1227?t???t2?t 225552436?16tⅲ）当2

yM3t?3y42∴， ?456t?12∴y4?

5∴S?S△AOE?S△AOD

BCEDAOx136?16t16t?12?3???3? 25253372t?=? 55243③S0?

80?习题一

1.解: （1）证明略；

（2）由（1）DG为△DEF中EF边上的高， 在Rt△BFE中，∠B?60，EF?BEsinB?3x， 23?x， 2在Rt△CEG中，CE?3?x，CG?(3?x)cos60??DG?DC?CG?11?x， 2?S?132113EFDG??x?x， 288其中0?x≤3． （3）

a??113?0，对称轴x?，?当0?x≤3时，S随x的增大而增大，

28?当x?3，即E与C重合时，S有最大值．S最大?33 3， 4（2）t?2，使△PNB∽△PAD，相似比为3:2 （3）PM⊥AB，CB⊥AB，?AMP??ABC，

PMAMPMa?tt(a?t)△AMP∽△ABC，???，PM?即，

BNABtaat(a?1)QM?3?

a(QP?AD)DQ(MP?BN)BM?当梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，即

222. 解: （1）PM?t(a?t)???t??3?(a?1)?(a?t)?t?t?3?aa??化简得t?6a，

????226?at≤3，?（4）

6a?3?a≤6， ≤3，则a≤6，6?a3?a≤6时，梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等

?梯形PQCN的面积与梯形PMBN的面积相等即可，则CN?PM

t6a?(a?t)?3?t，把t?代入，解之得a??23，所以a?23． a6?a所以，存在a，当a?23时梯形PMBN与梯形PQDA的面积、梯形PQCN的面积相等． 3. 解：（1）在Rt?ADC中,AC?4,CD?3,?AD?5，

EPDC,??AEP??ADC,　　　?EAAPEAx55?,即?,?EA?x,DE?5?x ADAC5444（2）

BC?5,CD?3,?BD?2，

当点Q在BD上运动x秒后，DQ＝2－1.25x,则

1157y??DQ?CP?(4?x)(2?1.25x)?x2?x?4

2282527即y与x的函数解析式为：y?x?x?4，其中自变量的取值范围是：0＜x<1.6

82(3)分两种情况讨论： ①当?EQD?Rt?时，

显然有EQ?PC?4?x,又EQAC,??EDQ?ADC

?EQDQ?, ACDC4?x1.25x?2即?,解得　x?2.5

43AEP解得　x?2.5

②当?QED?Rt?时，

BDQC?CDA??EDQ,?QED??C?Rt?,

??EDQ?CDA?EQDQ5(4?x)1.25x?2?,即?, CDDA125BAEDQPC解得　x?3.1

综上所述，当x为2.5秒或3.1秒时，?EDQ为直角三角形。

4. 解：（1）t =（50＋75＋50）÷5=35（秒）时，点P到达终点C． 此时，QC=35×3=105，∴BQ的长为135－105=30． （2）如图8，若PQ∥DC，又AD∥BC，则四边形PQCD 为平行四边形，从而PD=QC，由QC=3t，BA+AP=5t 得50＋75－5t=3t，解得t=125．

8经检验，当t=125时，有PQ∥DC．

8B Q H 图8 A P K E C A P E K D

D （3）①当点E在CD上运动时，如图9．分别过点A、D 作AF⊥BC于点F，DH⊥BC于点H，则四边形 ADHF为矩形，且△ABF≌△DCH，从而

FH= AD=75，于是BF=CH=30．∴DH=AF=40． 又QC=3t，从而QE=QC·tanC=3t·DH=4t．

CH（注：用相似三角形求解亦可） QC=6t2； ∴S=S⊿QCE =1QE·2从而ED=QH=QC－CH=3t－30．

∴S= S梯形QCDE =1(ED＋QC)DH =120 t－600．

2（4）△PQE能成为直角三角形．

当△PQE为直角三角形时，t的取值范围是0＜t≤25且t≠（注：（4）问中没有答出t≠

155或t=35． 8

CH=30，②当点E在DA上运动时，如图8．过点D作DH⊥BC于点H，由①知DH=40，又QC=3t，

155或t=35者各扣1分，其余写法酌情给分） 8下面是第（4）问的解法，仅供教师参考：

①当点P在BA（包括点A）上，即0＜t≤10时，如图9．过点P作PG⊥BC于点G ，则PG=PB·sinB=4t，又有QE=4t = PG，易得四边形PGQE为矩形，此时△PQE总能成为直角三角形．

②当点P、E都在AD（不包括点A但包括点D）上，即10＜t≤25时，如图8． 由QK⊥BC和AD∥BC可知，此时，△PQE为直角三角形，但点P、E不能重合，即 5t－50＋3t－30≠75，解得t≠

155． 8K A E D P ③当点P在DC上（不包括点D但包括点C）， 即25＜t≤35时，如图10．由ED＞25×3－30=45， 可知，点P在以QE=40为直径的圆的外部，故 ∠EPQ不会是直角．

由∠PEQ＜∠DEQ，可知∠PEQ一定是锐角． 对于∠PQE，∠PQE≤∠CQE，只有当点P与C 重合，即t=35时，如图11，∠PQE=90°，△PQE 为直角三角形．

B F(Q) 图11

A(E) B Q 图10

C D C(P)

综上所述，当△PQE为直角三角形时，t的取值范围是0＜t≤25且t≠5. 解: （1）以E，F，G，H为顶点的四边形是矩形．

155或t=35． 8正方形边长为82，?AC?16．

AE?x，过B作BO?AC于O，则BO?8．

?S2?4x

HE?x，EF?16?2x，?S1?x(16?2x)．

当S1?S2时，x(16?2x)?4x． 解得x1?0（舍去），x2?6．

?当x?6时，S1?S2．

D G C S1 F H

E

S2 B A 图①

（2）①当0≤x?8时，

D H E G F A B 图②

C y?x(16?2x)?4x??2x2?20x．

当8≤x≤16时，AE?x，CE?HE?16?x，

EF?16?2(16?x)?2x?16．

?S1?(16?x)(2x?16)．

?y?(16?x)(2x?16)?4x??2x2?52x?256．

②解法1：当0≤x?8时，

y??2x2?20x??2(x2?10x?25)?50??2(x?5)2?50，

?当x?5时，y的最大值为50．

当8≤x≤16时，

y??2x2?52x?256??2(x?13)2?82，

?当x?13时，y的最大值为82．

综上可得，y的最大值为82．

解法2：y??2x2?20x(0≤x?8)， 当x??20?5时，y的最大值为50．

2?(?2)y??2x2?52x?256(8≤x≤16)，

当x??52?13时，y的最大值为82．

2?(?2)综上可得，6.

y的最大值为82．

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