复变函数与积分变换期末考试试卷(A卷)

复变函数与积分变换期末考试试卷（A卷）

一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括

号内。错选、多选或未选均无分。

1．下列复数中，位于第四象限的复数是（ ）

A. 4+3i B. -3-3i C.-1+3i D.5-3i 2．下列等式中，不成立的等式是（ ） z=Re (z·z) A. z·

B.arg(?3i)?arg(?i)

C.Arg(3)?arg(3)

D.z?z?|z|2

3．不等式 |z|?3 所表示的区域为（ ） A. 圆的外部 4．积分

B.上半平面 C. 角形区域

D.圆的内部

2?|z|?3z?2dz的值为（ ）

A. 8?i B.2 C. 2?i D. 4?i 5．下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（ ）

A.z?ez

(?)B.sinz?ez C.tanz?ez D.Rezsiz n

6．在复平面上，下列命题中，错误的是（ ）

．．A. cosz是周期函数

z

B. e是解析函数

zC.eiz?cosz?isinz

D.z2?|z|

7．在下列复数中，使得e?2?2i成立的是（ ）

A.z?ln2?2?i??i4

B.z?ln4?2?i??i4

C.z?ln2?2?i ??2i D.z?ln4

ezdz8．设C为正向圆周|z|?1, 则积分 ?等于（ ）

ccoszA．2π B．2πi C．0 D．－2π 9．设C为正向圆周|z|?2, 则

1?C(z?1?i)2dz等于（ ）

D.?2?i

1 B. 0 C.2?i 2?i10．以下关于级数的命题不正确的是（ ）

A.

复变函数与积分变换 第 1 页 共 6页

?3?2i?A.级数???是绝对收敛的

7?n?0??n B.级数

?1?i???n?是收敛的 2n(n?1)n?2????1(?1)ni?C.级数??n??是收敛的

n?n?0?2?3 D.级数

?1i???n??是收敛的

n?n?2?2?11．已知z?1?i，则下列正确的是（ ）

?iA.z?2e12

3B.z?2e63?i4

C.z?2e37?i12?i

D.z?2e3

612．下列关于幂级数的叙述，不正确 的是（ ） A.在收敛圆内，幂级数绝对收敛 B.在收敛圆外，幂级数发散 C.在收敛圆周上，可能收敛，也可能发散 D.在收敛圆周上，条件收敛

ez13．z?0是函数的（ ）

zsinzA.本性奇点 C.二级极点 14．

B.一级极点 D.可去奇点

zcosz在点 z?? 处的留数为（ ） z??

A. ?? B.?

C.1 D. -1

15．关于??limA.??0

Imz下列命题正确的是（ ）

z?0z

B. ?不存在 C.???1

D. ??1

二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）

16.复数z?sin??icos的三角形式为____________. 3322?17. 已知f(z)?(x?ay?x)?i(bxy?y)在复平面上可导，则a?b?_________. 18. 设函数f(z)=

??z03tetdt，则f(z)等于____________.

(-1)nn19. 幂极数?2z的收敛半径为_______.

n?1n20. 设z1??1?i,z2?1?3i，求??z1?z2???____________. ?

三、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分） 21．设C为从原点到2＋3i的直线段，计算积分I?

复变函数与积分变换 第 2 页 共 6页

?[(x?2y)?ixy]dz

C

ez?cosz. (1)求f(z)的解析区域，22. 设f(z)?（2）求f?(z). 24?z

23. 将函数f(z)?1在点z?0处展开为泰勒级数.

(z?1)(z?2)1z?124. 将函数f(z)?e在圆环0?|z?1|??内展开成洛朗级数. 2(z?1)

四、综合题（共4小题，每题8分，共32分）

25．已知u(x,y)?x2?y2?2x，求一解析函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)，并使f(0)?2i。

26. 计算

?|z?|dz2(z?12)z(?1z)?(.

3)??1,?27. 求函数f(t)??1,?0,?

?1?t?00?t?1的傅氏变换。 其它28．求函数 f(t)?cos3t 的拉氏变换

复变函数与积分变换期末试卷答案

一、选择题

1．D. 2. C. 3. A 4. D 5. B 6. D 7. A 8. C 9.B 10.D 11.B 12.D 13.C 14.A 15.B

二、填空题 16．z?cos?6?isin?6, 17. 1, 18. 3(ze?e?1),

zz 19. 1, 20.

?1?3?(3?1)i 4复变函数与积分变换 第 3 页 共 6页

三、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分） 21．设C为从原点到2＋3i的直线段，计算积分I??[(x?2y)?ixy]dz

C解：设曲线C的参数方程为C:z?(2?3i)t0?t?1. 2分

I??[(x?2y)?ixy]dz??(2t?6t?6t2i)(2?3i)dt 2分

C01??(?4t?6t2i)(2?3i)dt?(2?3i)(?2t2?2t3i)|10 2分

10??10?2i. 22. 设f(z)?ez4?z2?cosz. (1)求f(z)的解析区域，（2）求f?(z). 解：(1)由方程 4?z2?0得z??2， 故f(z)的解析区域为C\\{2,?2}. z)???ez??(2) f?(?4?z2????cosz?? ?ez(4?z2)??ez(2z)(4?z2)2?sinz 所以f?(z)?ez(4?z2?2z)(4?z2)2?sinz. 23. 将函数f(z)?1(z?1)(z?2)在点z?0处展开为泰勒级数.

解：f(z)?111(z?1)(z?2)?(z?2)?(1?z) ??1?1(1?z) 2(1?z2)?1?n??2???z?2????zn n?0?n?0复变函数与积分变换 第 4 页 共 6页

1分

2分

1分

1分 2分

1分

1分

1分 3分 ?zn?n ??n?1??z 1分

n?02n?0?|z|?1. 1分

1z?124. 将函数f(z)?e在圆环0?|z?1|??内展开成洛朗级数. 2(z?1)?zn解：e的泰勒展式为e??， 2分

n!n?0zz且为函数的孤立奇点， 1分

故e1z?1的罗朗展式为e1z?1?1????z?1??， 2分 ??n!n?0nn?1????e1z?1??所以f(z)? 1分 ?22?(z?1)(z?1)n?0n!1z?1??1. 1分 n?2n!(z?1)n?0?四、综合题（共4小题，每题8分，共32分）

2225．已知u(x,y)?x?y?2x，求一解析函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)，并使f(0)?2i。

解：由柯西－黎曼方程得

?v?u???2y, 1分 ?x?y 所以v(x,y)??x02ydx?C(y)?2xy?C(y). 2分

?v?u?2x?C?(y)??2x?2, 2分 ?y?x所以C(y)??y0C?(y)dx?C?2y?C. 1分

所以v(x,y)?2xy?2y?C.

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