浙江省效实中学2024届高三上期始考数学理试题

宁波效实中学高三起始考（理科数学）

说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共100分．

请在答题卷内按要求作答 第Ⅰ卷（选择题 共30分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．

1、函数f(x)?sinx?3cosx(x?[??,0])的单调递增区间是 A．[??,?5?5????] B．[?,?] C．[?,0] D．[?,0] 666362、设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3?9，S6?36，则a7?a8?a9? A．63

B．45

C．36

D．27

3、函数f(x)?2sin(?x??),(??0,??2????2)的部分图象如图所示,则?,?的值分别是

A．2,??3 B．2,??6 C．4,??6 D．4,? 3项和等于

4、已知数列?an?满足3an?1?an?0,a2??A．?61?3D．31+34,则?an?的前103?10??101?3? C．3?1?3? ? B．1?9?10??10?

B．4

C．6

D．8

5、设等差数列?an?的公差d不为0，a1?9d．若ak是a1与a2k的等比中项，则k? A．2

6、已知??R,sin??2cos??A．

10,则tan2?? 24334 B． C．? D．?

4334????????????1????????7、在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD?2DB，CD?CA??CB，则??

32112A． B． C．? D．?

3333

8、已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是

10 20

第1页 10 20俯视图

20正视图

20侧视图

A．

4000380003cm B．cm C．2000cm3 D．4000cm3 339、已知函数f?x?=cosxsin2x,下列结论中错误的是

A．y?f?x?的图像关于??,0?中心对称 B．y?f?x?的图像关于直线x?C．f?x?的最大值为?2对称

3 D．f?x?既奇函数,又是周期函数 2|PA|2＋|PB|2

10、在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则等于

|PC|2A．2 B．4 C．5 D．10

第Ⅱ卷（非选择题 共70分）

二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分．

11、已知等差数列?an?的前n项和为Sn，若S12?21，则a2?a5?a8?a11? 12、若cos(???)?____. 13,cos(???)?，.则tan?tan?? . 5513、已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝10，则|b|＝________.

14、已知平面向量a，b，c不共线，且两两之间的夹角都相等，若|a|＝2，|b|＝2，|c|＝1，则a＋b＋c与a

的夹角是________． 15、如图?ABC中,已知点D在BC边上,AD?AC,sin?BAC?_______________

16、下面有五个命题：

①函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是?. ②终边在y轴上的角的集合是????22,AB?32,AD?3则BD的长为3??k??,k?Z? 2?③在同一坐标系中，函数y?sinx的图象和函数y?x的图象有三个公共点. ④把函数y?3sin(2x?⑤函数y?sin(x???)的图象向右平移得到y?3sin2x的图象. 36?2)在[0，?]上是减函数.

其中真命题的序号是 （写出所有真命题的编号）

17、已知点O在二面角??AB??的棱上，点P在?内，且?POB?45?。若对于?内异于O的任意一点Q，都有?POQ?45?，则二面角??AB??的大小是__________.

三、解答题：本大题共5小题，共49分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

第2页

18、已知cos???113,cos(???)?,且0

2714（1）求tan2?的值； （2）求?.

19、设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a?2bsinA．

（1）求B的大小；

（2）求cosA?sinC的取值范围． 20、已知函数f(x)??2sin?2x?（1）求f(x)的最小正周期; （2）求f(x)在区间?0,????2?6sinxcosx?2cosx?1,x?R. ?4?????上的最大值和最小值. 2??21、设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1?b1?1，a3?b5?21，a5?b3?13 （1）求{an}，{bn}的通项公式； （2）求数列??an??的前n项和Sn． b?n?22、如图，在四棱锥P?ABCD中，PA?底面ABCD， P

，AB?AD，AC?CD，?ABC?60°PA?AB?BC，

E是PC的中点．

（1）证明CD?AE；

（2）证明PD?平面ABE；

（3）求二面角A?PD?C的正切值。

E A

B

C

D

宁波效实中学高三起始考（理科数学）

说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共100分．

请在答题卷内按要求作答 第Ⅰ卷（选择题 共30分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．

1、函数f(x)?sinx?3cosx(x?[??,0])的单调递增区间是 A．[??,?5?5????] B．[?,?] C．[?,0] D．[?,0] 66636【答案】D

2、设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3?9，S6?36，则a7?a8?a9? A．63 B．45

【答案】B

C．36 D．27

第3页

3、函数f(x)?2sin(?x??),(??0,?????)的部分图象如图所示,则?,?的值分别是 22 (D)4,?(A)2,??3 (B)2,??6 (C)4,??6? 3【答案】A

4、已知数列?an?满足3an?1?an?0,a2??(A)?61?3(D)31+3答案C

5、设等差数列?an?的公差d不为0，a1?9d．若ak是a1与a2k的等比中项，则k? Ａ．2 Ｂ．4 【答案】B

Ｃ．6

Ｄ．8

4,则?an?的前103?10项和等于

??101?3? (C)3?1?3? ? (B)1?9?10??10?

6 、已知??R,sin??2cos??A.

10,则tan2?? 24334 B. C.? D.?

4334【答案】C

????????????1????????7、在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD?2DB，CD?CA??CB，则??

32112A． B． C．? D．?

3333【答案】AKs5u

8、已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是

10 2010 20正视图

Ａ．

20侧视图

20俯视图

4000380003cm Ｂ．cm Ｃ．2000cm3 Ｄ．4000cm3 33

【答案】B

9．已知函数f?x?=cosxsin2x,下列结论中错误的是

第4页

(A)y?f?x?的图像关于??,0?中心对称 (B)y?f?x?的图像关于直线x?(C)f?x?的最大值为【答案】C

?2对称

3 (D)f?x?既奇函数,又是周期函数 2|PA|2＋|PB|2

10、在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则＝

|PC|2A．2 B．4 C．5 D．10 【答案】D

第Ⅱ卷（非选择题 共70分）

二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分．

11、已知等差数列?an?的前n项和为Sn，若S12?21，则a2?a5?a8?a11? _____ 11312、若cos(???)?,cos(???)?，.则tan?tan?? 2 .

5513、已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝10，则|b|＝________.

[答案] 32

14、已知平面向量a，b，c不共线，且两两之间的夹角都相等，若|a|＝2，|b|＝2，|c|＝1，则a＋b＋c与a

的夹角是________． 答案60° 15、如图?ABC中,已知点D在BC边上,AD?AC,sin?BAC?_______________ 【答案】3

16、下面有五个命题：

①函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是?. ②终边在y轴上的角的集合是{a|a=

22,AB?32,AD?3则BD的长为3k?,k?Z|. 2③在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点. ④把函数y?3sin(2x?⑤函数y?sin(x???)的图象向右平移得到y?3sin2x的图象. 36?)在〔0，?〕上是减函数. 2其中真命题的序号是 ① ④ （（写出所有真命题的编号））

17、已知点O在二面角??AB??的棱上，点P在?内，且?POB?45?。若对于?内异于O的任意一点Q，都有?POQ?45?，则二面角??AB??的大小是____90____。

三、解答题：本大题共5小题，共49分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

第5页

?

18、已知cos???113,cos(???)?,且0

2714（1）求tan2?的值. （2）求?.

分析：本题考察三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号，已知三角函数值求角以及计算能力。

21?1??2解：（Ⅰ）由cos??,0???，得sin??1?cos??1????43

727?7?∴tan??sin?4372?4383 ???43，于是tan2??2tan????cos?711?tan2?1?43247??（Ⅱ）由0??????2，得0??????2

213?3313又∵cos??????，∴sin??????1?cos2??????1?? ???141414??由?????????得：

cos??cos????????????cos?cos??????sin?sin??????所以??

11343331???? 7147142?3

???19、已知函数f(x)??2sin?2x???6sinxcosx?2cos2x?1,x?R.

4??（1）求f(x)的最小正周期;

???（2）求f(x)在区间?0,?上的最大值和最小值.

?2?解：

20、设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1?b1?1，a3?b5?21，a5?b3?13

第6页

（1）求{an}，{bn}的通项公式； （2）求数列?解：

4??1?2d?q?21，（Ⅰ）设?an?的公差为d，?bn?的公比为q，则依题意有q?0且? 2??1?4d?q?13，?an??的前n项和Sn． ?bn?解得d?2，q?2．

所以an?1?(n?1)d?2n?1，

bn?qn?1?2n?1．

（Ⅱ）

an2n?1?n?1．Ks5u bn2352n?32n?1?????n?1，① 12n?2222252n?32n?12Sn?2?3????n?3?n?2，②

2222222n?1②－①得Sn?2?2??2???n?2?n?1，

2222Sn?1?1?2n?1?11?2?2??1??2???n?2??n?1

2?2?221n?12n?12?2?2??n?1 121?22n?3?6?n?1．

21?

21、设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a?2bsinA． （1）求B的大小；

（2）求cosA?sinC的取值范围．

解：（Ⅰ）由a?2bsinA，根据正弦定理得sinA?2sinBsinA，所以sinB?由△ABC为锐角三角形得B?1， 2π． 6?????A? ??（Ⅱ）cosA?sinC?cosA?sin???13??????sinA?3sin?A??． ?cosA?sin??A??cosA?cosA?223???6?

第7页

由△ABC为锐角三角形知，

??????2????A??B，?B???． ?A??， 222263336所以

1??33??3??sin?A????3sin?A????3， ．由此有2?3?2232???33?所以，cosA?sinC的取值范围为???2，?． 2??Ks5u

22、如图，在四棱锥P?ABCD中，PA?底面ABCD， P

，AB?AD，AC?CD，?ABC?60°PA?AB?BC，

E是PC的中点．

（1）证明CD?AE；

（2）证明PD?平面ABE；

（3）求二面角A?PD?C的正切值。

E A

B

C

D

分析：本小题考查直线与直线垂直、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力

和推理论证能力． 解：（Ⅰ）证明：在四棱锥P?ABCD中，因PA?底面ABCD，CD?平面ABCD，故PA?CD．

∵AC?CD，PA?AC?A，∴CD?平面PAC．

而AE?平面PAC，∴CD?AE．

（Ⅱ）证明：由PA?AB?BC，?ABC?60°，可得AC?PA． ∵E是PC的中点，∴AE?PC．

由（Ⅰ）知，AE?CD，且PC?CD?C，所以AE?平面PCD．

而PD?平面PCD，∴AE?PD．

∵PA?底面ABCD，PD在底面ABCD内的射影是AD，AB?AD，∴AB?PD． 又∵AB?AE?A，综上得PD?平面ABE．

（Ⅲ）解法一：过点A作AM?PD，垂足为M，连结EM．则（Ⅱ）知，AE?平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，则EM?PD． P

因此?AME是二面角A?PD?C的平面角． M 由已知，得?CAD?30°．设AC?a， E 可得PA?a，AD?23212a，PD?a，AE?a． 332A B

C

D

在Rt△ADP中，∵AM?PD，∴AM·PD?PA·AD，

则AM?PA·AD?PDa·23a27AE3?a．在Rt△AEM中，sinAME??AM721a314． 4第8页

14． 4所以二面角A?PD?C的大小是arcsin

解法二：由题设PA?底面ABCD，PA?平面PAD，则平面PAD?平面ACD，交线为AD． 过点C作CF?AD，垂足为F，故CF?平面PAD．过点F作FM?PD，垂足为M，连结CM，故CM?PD．因此?CMP是二面角A?PD?C的平面角．

由已知，可得?CAD?30°，设AC?a，

可得PA?a，AD?232113a，PD?a，CF?a，FD?a． 332∵△FMD∽△PAD，∴FMFDPA?PD． 3a于是，FM?FD·PA6·a7PD?21?a． 3a141在Rt△CMF中，tanCMF?CFFM?2a7?7． 14a所以二面角A?PD?C的大小是arctan7． 第9页

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