【数学】天津市南开区2024届高三第二次模拟考试(文)

天津南开区2013届高三模拟考数学（文科）试卷

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

第I卷（选择题共40分）

一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设集合A??2,5?，集合B??1,2?，集合C??1,2,5,7?，则?A?B??C为

A. ?1,2,5? 2. 不等式

B. ??1,2,5?

C. ?2,5,7?

D. ??7,2,5?

x?5?x?1?21? ?2???2的解集是

?1?,3? ?2??1?,1??(1,3] ?2?

A. ??3,??

B. ??

C. ?,1??(1,3]

?2??1

D. ??3. 已知函数f?x?是定义在R上的偶函数，且当x?0时，f?x??ln?x?1?，则函数f?x?的大致图象为

4. 函数f?x??log2x?

A. ?0,1的零点所在区间为 xB. ???1?? 2??1?,1? 2??C. ?1,2? D. ?2,3?

225. 等差数列?an?的公差d?0，且a3?a11，则该数列的前n项和取得最大值时，n?

A. 6 B. 7 C. 6或7 D. 7或8

6. 已知正整数a,b满足4a?b?30，使得

11?取最小值时，则实数对?a,b?是 abC. （10，5）

D. （7，2）

A. （5，10） B. （6，6）

1

7. 设等比数列?an?的前n项和为Sn，若S10:S5?1:2，则S15:S5?

A. 2：3

B. 3：4

C. 1：2

D. 1：3

8. 如果a?0,?1?b?0，那么下列不等式中正确的是

第II卷（非选择题共110分）

二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9. 函数y?f?x??A. a?ab?ab

2B. ab?a?ab

2C. a?ab?ab

2D. ab?ab?a

21定义域为R，则a的取值范围是__________。

|x?1|?a 10. 若函数y?f?x??x?R?满足f?x?2??f?x?，且x?(?1,1]时，f?x??|x|，则函数y?f?x?的图象与函数y?|log4x|图象的交点个数为__________。

11. 幂函数y?f?x?的图象经过点??2,??，则满足f?x??27的x的值是__________。

12. 向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人，对A、B都不赞成的学生有__________。

13. 已知数列?an?满足a1?22，an?1?an?2n，则 14. 给出定义：若m???1?8?an的最小值为__________ n11?x?m?（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，22记作?x??m，在此基础上给出下列关于函数f?x??|x??x?|的四个命题：

①函数y?f?x?的定义域为R，值域为?0,②函数y?f?x?的图关于直线x?

??1?； ?2?k?k?Z?对称； 2③函数y?f?x?是周期函数，最小正周期为1； ④函数y?f?x?在???11?,?上是增函数。 ?22?其中正确的命题的序号是__________。

2

三、解答题：（本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15. A?x||x2?2x|?x，B??x||????xx?2|??，C?x|ax?x?b?0，若1?x1?x????A?B??C?R，?A?B??C??，求a、b。

16. 已知二次函数f?x?的二次项系数为a，且不等式f?x???2x的解集为（1，3）。

（1）若方程f?x??6a?0有两个相等的根，求f?x?的解析式； （2）若f?x?的最大值为正数，求a的取值范围。

17. 已知a?0，函数f?x??

1232ax?ax2?，g?x???ax?1，x?R。 33（I）当a?1时，求函数f?x?在点（1，f?1?）的切线方程； （II）求函数f?x?在??1,1?的极值； （III）若在区间(0,1]上至少存在一个实数x0，使f?x0??g?x0?成立，求正实数a的2取值范围。

18. 数列?bn?的前n项和为Sn，Sn?1n?n?1?b1，b7?21，数列?an?满足2a1b1?a2b2?...?anbn?n?n?1??2n?1?

（1）求an

（2）Tn?a1?a2?a3?a4?...???1?（3）求证：

n?1?an，求Tn

11...11???2?。 2a12a2an2??1?2e，（a是实数，e是自然对数的底）。 ??2lnx,g?x??x?x 19. 设函数f?x??a?x?

（I）若直线l与函数f?x?的图象相切于点（1，0），并且l与函数g?x?的图象也相切，

求a的值；

（II）若函数f?x?在它的定义域内是单调函数，求a的取值范围。

20. 数列?an?满足a1?2，an?12n?1an?（n?N?）。

1??n?n??an?22??3

2n（1）设bn?，求数列?bn?的通项公式bn；

an（2）设cn?

1，数列?cn?的前n项和为Sn，求出Sn并由此证明：

n?n?1?an?151?Sn?。 162

参考答案：

一、选择题：

ADCC

二、填空题：

CABA

（0，??）

4

1 8 342 5①②③

三、解答题

15. 解：A??0???1,3?，B?[0,1)，

∴A?B??0,3?

由已知：C?CR?A?B?????,0???3,???

?a?01??1a????∴???3??3 ?a?b?0???b?0 16. 解：（1）∵f?x??2x?0的解集为（1，3）

∴f?x??2x?a?x?1??x?3?，且a?0，

因而f?x??a?x?1??x?3??2x?ax??2?4a?x?3a①

2由方程f?x??6a?0得ax??2?4a?x?9a?0②

2因为方程②有两个相等的根，所以△????2?4a???4a?9a?0

22即5a?4a?1?0，解得a?1或a??1。 5 4

由于a?0，舍去a?1 将a??11263代入①得f?x?的解析式为f?x???x?x? 555521?2a?a2?4a?1?2（2）由f?x??ax?2?1?2a?x?3a?a?x? ??a?a?a2?4a?1又a?0，可得f?x?的最大值为?

a?a2?4a?1?0??由?解得a??2?3或?2?3?a?0 a?a?0?故当f?x?的最大值为正数时，实数a的取值范围是??,?2?3??2?3,0 17. 解：由f?x??

????1232ax?ax2?求导得，f??x??a2x2?2ax， 33（I）当a?1时，f??1???1，f?1??0

所以f?x?在点（1，f?1?）的切线方程是y??x?1

x2?（II）令f??x??0得：x1?0，（1）当0?2 a2?1即a?2时 a0

x

（-1，0）

?2??0，? ?a?-

2 a0 极小值

?2??,1? ?a?

+

f??x? f?x?

+ 0 极大值

故f?x?的极大值是（2）当

22a?4；极小值是； 33a2?1即0?a?2时 af?x?在（-1，0）上递增，在（0，1）上递减，

2，无极小值。 3123112x?(0,] （III）设F?x??f?x??g?x??ax?ax?ax?332所以f?x?的极大值为f?0??对F?x?求导，得F??x??ax?2ax?a?ax?a?1?2x?，

2222 5

因为x??0,??1?22a?0，，所以??F?x?ax?a?1?2x??0， ?2?

?1??1?F?x?在区间?0,?上为增函数，则F?x?max?F??。

2???2?依题意，只需F?x?max?0，即a?2

131111?a??a???0， 8423即a?6a?8?0，解得a??3?17或a??3?17（舍去）。 所以正实数a的取值范围是?3?17,??。

2?? 18. 解：（1）因为Sn?

1n?n?1?b1，b7?21，所以bn?Sn?Sn?1?nb1?n?2?， 2所以?bn?为等差数列，因为：b7?7b1?21，所以b1?3 所以bn?3n

由a1b1?a2b2?...?anbn?n?n?1??2n?1?可得anbn?6n2?n?2? 所以：an?2n?n?2?，由于a1b1?2?3?6，a1?2，所以an?2n （2）∵Tn?a1?a2?a3?a4?...???1?∴Tn?2?4?6?8?...???1?n?1n?1?an，

?2n

n?2∴??1?Tn??2?4?6?8?...???1?∴2Tn?2?2?2?2?...???1?n?2n

n?2n?1?2???1??2n

1???1?n?1???1??n（n为奇数时，Tn?n?1；n为偶数时Tn??n） ∴Tn?2（3）

11...11?11...1????????2? ?22222a1a2an4?12n??1?111...????1???????n?1??n?4?1?22?3 19. 解：（I）由f??x??a?1?1?1?1?1??? 4?n?2a2?，则f??1??2?a?1?，直线l的方程为：x2xy?2?a?1??x?1?

6

?y?2?a?1??x?1?e?????a?1x?1?由?，得，即?a?1?x2??a?1?x?e?0， 2exy??x?i）当a?1时，方程无解；

a?1?4e。ii）当a?1时，由△??a?1??4?a?1???e??0，得a?1?4e，综上可得，

2

a2ax2?2x?a（II）f??x??a?2??，

xxx2i）若函数f?x?在它的定义域内是单调递增函数，由f??x??0，对?x??0,???，即

a?2x2xy??，，而函数???x?0,??1?x21?x221x?x在x??0,???的值域为(0,1]，

所以，a?1。

ii）若函数f?x?在它的定义域内是单调递减函数，由f??x??0，对?x??0,???，

即a?2x2xy???，，而函数在x??0,???的值域为(0,1]，所以?x?0,??1?x21?x2a?0。

综上可得，若函数f?x?在它的定义域内是单调函数，a的取值范围是

[1,??)?(??,0]。

an?1an2n?12n1 20. 解：（I）由已知可得n?1?，即??n?，

1?2an?1an2?n?n??an?22??

12n?12n1即??n?即bn?1?bn?n?

2an?1an2∴b2?b1?1?

111,b3?b2?2?，…，bn?bn?1??n?1?? 222

2??n?1n?1nn?1n?1???累加得bn?b1?1?2?3?...??n?1?? 2222

n2?1n2?122?1?又b1? ??1，∴bn?22a122n2n?1（II）由（I）知an?n?2，

bn?1

7

2?n?1??1∴an?1?，cn?2n?n?1?2n?2?n?1??12n?21n2?2n?2 ??2n?n?1??2n?1

?1?1?1?n2?nn?211?????? ?n?1nn?1?2?n?n?1?2n?1n?n?1??2n?1?2???2n?2n?12??Sn?1?1...1?1??11????????2n?12??1?...?11??1?? ???????23?nn?1???2?22?2??1?22?2??2?23?2??n?21?122???1?1??2n??1?11?1??1?n?1n?2?1?12??2??n?1??2n?1???2??1????2?? 2??2?n?1??n?1易知?n?1?1???2???n?2n?1???1??2???1?1??n?1??递减

n?11?1∴0???1??2???n?2n?1???1??2???1?231?1?8 ∴516?1?2??1???1?n?1???n?2???1，即5?S?1??2n?1??216n2。

8

?n?1??2??

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