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湖北省100所重点中学2011年10月高三联考
数学（理科）试卷
集合与常用逻辑用语、函数与导数占50％，数列占50％.
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）.
1． 若函数f?x??1?x的定义域为A，函数g?x??lg?x?1?，x??2,11?的值域为B，
则A?B为（ C ）
?A????,1? ?B????,1? ?C??0,1? ?D??0,1? 2． 已知等比数列?an?的公比q为正数，且2a3?a4?a5，则q的值为（ B ）
35
?B?2 ?C? ?D?3 22
3． 已知命题p:x2?3?0；命题q:log2x2?1，则命题p是命题q的（ D ）
?A??A?充分不必要条件 ?B?必要不充分条件
?C?充要条件 ?D?既不充分也不必要条件
4． 等差数列?an?中，若a2?a3?4，a8?a9?36，则S10等于（ D ） ?A?40 ?B?80 ?C?90 ?D?100
25． 若函数f?x???x?2??x?c?在x?2处有极值，则函数f?x?的图象在x?1处的切
线的斜率为（ A ）
?A??5 ?B??8 ?C??10 ?D??12
6． 数列?an?满足下列条件：a1?1，且对于任意的正整数n（n≥2，n?N），恒有
*2an?2nan?1，则a100的值为（ D ）
?A?1 ?B?2 ?C?2100 ?D?2994950
?f?x?4?,x?0??7． 若f?x???，则f?2012?等于（ C ） x6?2???cos3t?dt,x≤00?45
?A?1 ?B?2 ?C? ?D?
33
8． 已知甲、乙两个车间的月产值在2011年元月份时相同，甲以后每个月比前一个月增加
相同的产值，乙以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同．到2011年8月份发现两个车间的月产值又相同．比较甲、乙两个车间2011年4月份的月产值大小，则有
（ C ）
?A?甲的产值小于乙的产值 ?B?甲的产值等于乙的产值 ?C?甲的产值大于乙的产值 ?D?不能确定
9. 已知数列?an?（n?N）满足an?1??**?an?t,an≥t，且t?a1?t?1，其中t?2，
?t?2?an,an?t若an?k?an（k?N），则k的最小值为（ B ）
?A?3 ?B?4 ?C?5 ?D?6
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10．已知定义在R上的函数y?f?x?1?的图象关于点?1,0?对称，且当x????,0?时，
0.30.3（其中f??x?是f?x?的导函数），若a?3?f?3?，f?x??xf??x??0成立，
1??1?? b??log?3??f?log?3?，c??log3??f?log3?，则a，b，c的大小关系是（ C ）
99???? ?A?a?b ?B?c?b ?C?c?a ?D?a?c?b ?c?a?b二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11．已知数列?an?的通项公式an?3n?26，前n项和为Sn，则当Sn最小时，n?_____.8
?0”的否定是_______.?x?R，2x?1≤0
f?n?1?2x?113．已知数列?an?的前n项和为Sn，f?x??，，则S2011?_____. an?log2x?1f?n?12．命题“?x?R，2x?11341 67114. 设m?N，若函数f?x??2x?m10?x?m?10存在整数零点，则m的取值集合为
1?log2_______，此时x的取值集合为_______.?0,3,14,30? ??5,1,9,10?
15．如图所示，一种树形图为：第一层是一条与水平线垂直的线段，长度为1；第二层在第
一层线段的前端作两条与其成135?角的线段，长度为其一半；第三层按第二层的方法在每一条线段的前端生成两条线段．重复前面的作法作图至第n层，设树形的第n层的最高点至水平线的距离为第n层的树形的总高度，则到第四层的树形图的总高度
h4?_______，当n为偶数时，到第n层的树形图的总高度hn?_______.
n4?2??1???1???? 3???2???20?52 16
三、解答题（本大题共6小题，共75分）
16．(本小题满分10分)
2已知m?R，设P:不等式m?16≤10m；Q:函数f?x??3x?2mx?m?24有两3个不同的零点，求使“P?Q”为真命题的实数m的取值范围。 【解】由m?16≤10m解得2≤m≤8.???2′
又由f?x?有两个不同的零点，得3x?2mx?m?224?0两不等根， 34???4?m?1??m?4??0，解得m??1或m?4.???6′ 3??2≤m≤8故P?Q为真命题时，P、Q都为真命题，即?
m??1或m?4?解得实数m的取值范围是?4，8?.???10′
∴??4m?12?m?2??
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17．(本小题满分12分)
数列?an?中，a1?3，已知点?an,an?1?在直线y?x?2上。
（Ⅰ）求数列?an?的通项公式；（Ⅱ）若bn?an?3n，求数列?bn?的前n项和Tn． 【解】（Ⅰ）∵点?an,an?1?在直线y?x?2上，∴an?1?an?2，即an?1?an?2.
∴数列?an?是以3为首项，2为公差的等差数列。∴an?3?2?n?1??2n?1.?5′ （Ⅱ）∵bn?an?3n??2n?1??3n
∴Tn?3?3?5?32????2n?1??3n?1??2n?1??3n??①
3Tn? 3?32?5?33????2n?1??3n??2n?1??3n?1??②???7′
①-②得：?2Tn?3?3?2?32?33???3n??2n?1??3n?1
???9?2?9?3n?1?1?3?1??2n?1??3n?1?2n?3n?1
故Tn?n?3n?1.???12′
18．(本小题满分12分)
某电视生产企业有A、B两种型号的电视机参加家电下乡活动。若企业投放A、B两种型号电视机的价值分别为a、b万元，则农民购买电视机获得的补贴分别为
1a、10mln?b?1?（m?0，且m为常数）万元。已知该企业投放总价值为10万元的A、B两种
型号的电视机，且A、B两种型号的投放金额都不低于1万元。
（Ⅰ）设投放B型电视机的金额为x万元，将这次活动中农民得到的总补贴表示为它的函数，并求其定义域；
（Ⅱ）当投放B型电视机的金额为多少万元时，农民得到的总补贴最大? 【解】（Ⅰ）∵投放B型电视机的金额为x万元，∴投放A型电视机的金额为10?x万元。
农民得到的总补贴为：
1x?10?x??mln?x?1??mln?x?1???1（1≤x≤9）. ???4′ 1010x??10m?1??m1????.???6′ ?（Ⅱ）f?x????x?11010?x?1?f?x??（1）若10m?1≤1，即0?m≤，则当1?x?9时，f??x??0. ∴f?x?在?1,9?上递减，当x?1时，f?x?取最大值；???7′
15m?1?9 （2）若1?10，即
10m?1?x?9时，f??x??0，∴f?x?在?1,10m?1?上递增，在?10m?1,9?上递减。
∴当x?10m?1时，f?x?取最大值；???9′ （3）若10m?1≥1，即m≥1?m?1，则当1?x?10m?1时，f??x??0；当51，则当1?x?9时，f??x??0. 5∴f?x?在?1,9?上递增，当x?9时，f?x?取最大值；???10′
故当0?m≤时，投放B型电视机的金额为1万元；当
151?m?1时，投放B型电视机5的金额为10m?1万元；当m≥最大。???12′
1时，投放B型电视机的金额为9万元，农民得到的总补贴5第 3 页 共 6 页 金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com
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19．(本小题满分13分)
设函数f?x?是定义在?0,???上的单调函数，对于任意正数x、y都有
f?xyf?x? ???f?y?，且f?2??1.
（Ⅰ）求f??1??的值； 2??*（Ⅱ）一个各项均为正数的数列?an?满足：f?Sn??f?an??f?an?1??1（n?N），其中Sn是数列?an?的前n项和，求数列?an?的通项公式。
【解】（Ⅰ）在f?xy??f?x??f?y?中，令x?y?1得：f?1??0；
1?1?得：f???f?1??f?2??0?1??1.???5′ 2?2??1??1?（Ⅱ）∵f?Sn??f?an??f?an?1??1?f? aa?1?f?faa?1?????nn???nn???22????1又f?x?是定义在?0,???上的单调函数，Sn?0，an?an?1??0
21∴Sn?an?an?1?.
21当n?1时，S1?a1?a1?1?，得a1?1，
211当n≥2时，an?Sn?Sn?1?an?an?1??an?1?an?1?1?
22化简得?an?an?1??an?an?1?1??0
令x?2，y?
∵an?0，∴an?an?1?1，∴数列?an?是以1为首项，以1为公差的等差数列。 ∴an?1??n?1??1?n.???13′ 20．(本小题满分14分)
lnx?x. x（Ⅰ）求函数f?x?的单调区间；
已知函数f?x??（Ⅱ）设m?0，求f?x?在?m,2m?上的最大值； （Ⅲ）试证明：对任意n?N，不等式ln【解】（Ⅰ）∵f??x??*??. 1?lnx?1?x2x22设g?x??x?lnx?1，则g?1??0
1又g??x??2x??0，∴g?x?在?0,???上是增函数
x?g?x??g?x????0；当x?1时，f?x???0， ∴当0?x?1时，f?x??x2x2故函数f?x?的增区间是?0,1?，减区间是?1,???.???5′
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1?n1?n?2恒成立。 nn?x2?lnx?1第 4 页 共 6 页 金太阳新课标资源网
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（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当0?2m≤1，即0?m≤当m?1?2m，即
1ln2m?2m； 时，f?x?max?f?2m??22m1?m?1时，f?x?max?f?1???1； 2lnm?m.???10′ 当m≥1时，f?x?max?f?m??mlnx?x≤?1恒成立 （Ⅲ）由（Ⅰ）知，x??0,???，f?x?max?f?1???1，即x∴对任意的x??0,???恒有lnx≤x?x?1?.
∵
1?n1?n1?n?1?n?1?n?1，∴ln??1??2.???14′ ?nnn?n?n
21．(本小题满分14分)
已知集合A??a1,a2,?,an?中的元素都是正整数，且a1?a2???an，对任意的x，
xy. 2511n?1（Ⅰ）求证：?； ≥a1an25（Ⅱ）求证：n≤9；
（Ⅲ）对于n?9，试给出一个满足条件的集合A.
aa【解】（Ⅰ）依题意有ai?ai?1≥ii?1（i?1、2、3、?、n?1）
25aa又a1?a2???an，∴ai?1?ai≥ii?1
25111≥∴?（i?1、2、3、?、n?1）
aiai?125y?A，且x?y，有x?y≥∴??1?11??11?11n?11?n?1，即?.???4′ ≥????????????≥a1an2525?a1a2??a2a3??an?1an?第 5 页 共 6 页 金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com
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（Ⅱ）由（Ⅰ）得
1n?1n?11，又a1≥1，∴??≤1，得n?26.
a12525a11n?i11n?i1n?i同理由?可得?，又ai≥i，∴?， ≥i25aian25ai25∴i?n?i??25（i?1、2、3、?、n?1）均成立
当n≥10时，取i?5，则i?n?i??5?n?5??25，得n?10.
?i??n?i???n?又当n≤9时，i?n?i?≤??????25
2???2?∴n≤9.???9′
（Ⅲ）对于任意1≤i?j≤n，ai?ai?1≤aj
22由
11111111（i?1、2、3、?、n?1）知，即?≥?≥?≥aiai?125aiajaiai?125aiaj25.
ai?aj≥111成立即可 ?≥aiai?1251111111∵1?≥25，?≥25，?≥25，?≥25
2233445∴可设a1?1，a2?2，a3?3，a4?4，a5?5.
25175111111由，取a6?7；由，取a7?10； ?≥得a6≥?≥得a7≥418a5a625a6a72550111111由由?≥得a9≥100，取a9?100； ?≥得a8≥，取a8?20；
3a7a825a8a925因此，只需对1≤i?n，
故满足条件的一个集合A??1,2,3,4,5,7,10,20,100?.???14′
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（Ⅱ）由（Ⅰ）得
1n?1n?11，又a1≥1，∴??≤1，得n?26.
a12525a11n?i11n?i1n?i同理由?可得?，又ai≥i，∴?， ≥i25aian25ai25∴i?n?i??25（i?1、2、3、?、n?1）均成立
当n≥10时，取i?5，则i?n?i??5?n?5??25，得n?10.
?i??n?i???n?又当n≤9时，i?n?i?≤??????25
2???2?∴n≤9.???9′
（Ⅲ）对于任意1≤i?j≤n，ai?ai?1≤aj
22由
11111111（i?1、2、3、?、n?1）知，即?≥?≥?≥aiai?125aiajaiai?125aiaj25.
ai?aj≥111成立即可 ?≥aiai?1251111111∵1?≥25，?≥25，?≥25，?≥25
2233445∴可设a1?1，a2?2，a3?3，a4?4，a5?5.
25175111111由，取a6?7；由，取a7?10； ?≥得a6≥?≥得a7≥418a5a625a6a72550111111由由?≥得a9≥100，取a9?100； ?≥得a8≥，取a8?20；
3a7a825a8a925因此，只需对1≤i?n，
故满足条件的一个集合A??1,2,3,4,5,7,10,20,100?.???14′
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