高考数学 专题53 解决复数问题的实数化思想黄金解题模板

专题53 解决复数问题的实数化思想

【高考地位】

复数是中学数学中重要内容之一，也是高考考查重点之一。它具有熔代数、三角、几何于一炉特点，应用广泛。复数问题可化归为实数问题,可与三角、几何问题相互转化，在教学(复习)中可纵横联系，不仅有助于学生灵活应用知识,提高解决问题的能力，而且有益于培养学生的数学思想方法、思维能力与创新意识。

在高考中通常是以易题出现，主要以选择题、填空题的形式考查，其试题难度属低中档题.

【方法点评】

方法 实数化法

使用情景：求复数问题

解题模板：第一步 首先观察复数的形式；

第二步 然后根据分母实数化并由复数的概念对其进行求解； 第三步 得出结论.

例1. 【2018河南八市重点高中联考】已知为虚数单位，复数的共轭复数为

，则

A.

B.

( ) C.

D.

，且满足

【答案】A

例2、已知【答案】

，其中是实数， 是虚数单位，则__________．

【解析】由题意， ，则，所以

，且

。 ，

例3、【2018辽宁鞍山市第一中学第二次模拟】设复数则

等于（ ）

A. -4 B. -2 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 复数可得

，且，解得

，所以

，

，故选C.

【变式演练1】【2018豫西南部分示范性高联考】已知是虚数单位，若虚数，则

（ ）

为纯

A. 1 B. -1 C. 0 D. 【答案】D

【解析】为纯虚数，故

故答案为D。

【变式演练2】【2018湖北部分重点中学第一次联考】若复数的点在第二象限，则实数的取值范围是（ ） A.

B.

C.

D.

在复平面内对应

【答案】B

【变式演练3】若复数满足，是虚数单位，则的虚部为（ ）

A． B． C． D．

【答案】B 【解析】 试题分析：由

有

，所以有

，虚部为

考点：复数基本运算.

,选B.

【变式演练4】设复数，则复数的模为（ ）

A．D．

B． C．

【答案】C

考点：1.复数的乘除运算；2.复数的模.

【高考再现】

1. 【2017课标1，理3】设有下面四个命题

：若复数满足：若复数其中的真命题为 A.【答案】B 【解析】

满足

，则

，则

；：若复数满足；

：若复数

，则，则

； .

B． C． D．

试题分析：令故当当对于B.

【考点】复数的运算与性质.

正确； 时，因为

时，满足

，则由得，所以，

，而

，但

知，故，知

不正确； 不正确；

正确，故选

，因为实数没有虚部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故

【名师点睛】分式形式的复数，分子分母同乘分母的共轭复数，化简成的形式进行判断，共轭复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可.

2. 【2017课标II，理1】A．

B．

（ ） C．

D．

【答案】D

3. 【2017山东，理2】已知（A）1或-1 （B）【答案】A

【解析】试题分析：由

,i是虚数单位，若 （C）- （D）

，则a=

得，所以，故选A.

【考点】 1.复数的概念.2.复数的运算. 【名师点睛】复数得的方程即可.

4. 【2017课标3，理2】设复数z满足(1+i)z=2i，则∣z∣=

的共轭复数是

，据此结合已知条件，求

A． B． C． D．2

【答案】C 【解析】

试题分析：由题意可得： ，由复数求模的法则： 可得：

.

故选C.

【考点】 复数的模；复数的运算法则

【名师点睛】共轭与模是复数的重要性质，注意运算性质有： (1)(3)

；(2) ；(4)

；

；

(5) ；(6) .

在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的

5. 【2017北京，理2】若复数取值范围是

（A）（–∞，1） （B）（–∞，–1） （C）（1，+∞） （D）（–1，+∞） 【答案】B

6. 【2017天津，理9】已知【答案】

，i为虚数单位，若为实数，则a的值为 .

【解析】为实数，

则.

【考点】 复数的分类

【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可． 复数当当当

，

时，为虚数， 时，为实数，

时，为纯虚数.

7. 【2017浙江，12】已知a，b∈R，（i是虚数单位）则

，

ab= ．

【答案】5，2

8.【2017江苏，2】 已知复数【答案】【解析】

【考点】复数的模

其中i是虚数单位，则的模是 ▲ .

，故答案为．

【名师点睛】对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如

. 其次要熟悉复数相关基本概

念，如复数共轭为【反馈练习】

的实部为、虚部为、模为

、对应点为

、

1．【2018湖北咸宁联考】若复数满足，则的共轭复数是（ ）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

本题选择D选项.

2. 【2018黑龙江齐齐哈尔八中三模】已知复数（ ） A.

B.

C.

D.

，则复数的共轭复数为

【答案】A 【解析】所以

，故选A。

，所以

，

3. 【2018河南中原名校联考】是虚数单位,复数A. 0 B. 2 C. 【答案】A

D.

（ ）

【解析】A。

4．【2018黑龙江齐齐哈尔一模】设

的共轭复数为（ ） A.

B.

C.

D.

，若

，所以选

（为虚数单位）为正实数，则复数

【答案】B

5．【2018河北衡水中学联考】已知复数应的点位于（ ）

（为虚数单位），则复数在复平面内对

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D

【解析】结合复数的运算法则可得： 即复数在复平面内对应的点位于第四象限. 本题选择D选项.

，

6．【2018云南昆明一中一模】已知A. B. C. 【答案】C

D.

（其中是虚数单位），则（ ）

【解析】,，故选C.

， 为虚数单位，则

7．【2018广西柳州摸底联考】已知复数在复平面内对应点是

（ ）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】 ，选D.

8．【2018四川南充一诊】若复数的实部和虚部互为相反数，那么实数等于（ ）

A. B. C. D. 2

【答案】A

9．【2018河南豫南豫北第二次联考】若原命题为：“若

为共轭复数，则

”，则

该命题的逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次为（ ） A. 真真真 B. 真真假 C. 假假真 D. 假假假 【答案】C

【解析】由题意得原命题为真，由于模相等的复数不一定共轭，所以逆命题为假命题，从而否命题为假命题，逆否命题为假命题。因此真假性的判断为假假真。选C。

10. 【2018湖北八校第一次联考】已知复数的值为（ ）

A. B. 1 C. D. 【答案】D

的实部与虚部和为，则实数

【解析】∵，∴

解得，故选D．

在复平面内对应的点关于虚轴

11. 【2018辽宁沈阳东北育才学校第二次模拟】设复数对称，且A.

，则

B.

（ ） C.

D.

【答案】C 【解析】由题意可得则故答案选

，从而

12. 【2018黑龙江省牡丹江市模拟】已知则“

”是“为纯虚数”的（ ）

为虚数单位），

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C

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