四川省成都实验外国语学校2024届高三3月月考数学理试题(3)

2ab·10·

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椭圆C交于M,N两点。 ⑴求椭圆C的方程；

2?AB?⑵若AB是椭圆C经过原点O的弦，且MN??AB，W?，试判断W是否为定值？若W为定

?MN?值，请求出这个定值；若W不是定值，请说明理由。

解、⑴椭圆C的右焦点为(1,0)， ∴c?1，椭圆C的左焦点为(?1,0)

∴2a?3353(1?1)2?(?)2?(1?1)2?(?)2???4， a?2

222222x2y2??1 ∴b?a?c?4?1?3 ∴C:4322b2⑵①当直线斜率不存在时，AB?(2b)?4b,MN?

a222AB?2a?4 ∴W?MN②当直线斜率存在时，设直线l的方程为y?k(x?1)(k?0)且M(x1,y1),N(x2,y2)

2?x2y2?1??2222由?4得(3?4k)x?8kx?4k?12?0 3?y?k(x?1)?8k24k2?12x1?x2? x1?x2?

3?4k23?4k28k224k2?1212(k2?1)MN?(1?k)[(x1?x2)?4x1x2]?(1?k)[()?4()]?

3?4k23?4k23?4k2222?x2y2?112??2由?4得x?32 设A(x3,y3),B(x4,y4)，则

3?4k?y?kx?48(1?k2)22?AB?3(1?k2)3?4k2??4 AB?1?kx3?x4?4 ∴W?2212(1?k)?MN?3?4k3?4k2·11·

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综上所述，W为定值4。

21、设函数f(x)?lnx?x?ax(a?R)。 ⑴求函数f(x)的单调区间；

⑵已知A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))(x1?x2)是函数f(x)在x?[1,??)的图象上的任意两点，且满足

2f(x1)?f(x2)?2，求a的最大值；

x1?x2⑶设g(x)?xe1?x，若对于任意给定的x0?(0,e]，方程f(x)?1?g(x0)在(0,e]内有两个不同的

实数根，求a的取值范围。

1?2x2?ax?12解：⑴f?(x)??2x?a? 由f?(x)?0得?2x?ax?1?0，

xxa?a2?8 该方程的判别式??a?8?0，可知方程有两个实数根

42a?a2?8 又x?0 ∴取x?

4a?a2?8)时f?(x)?0，函数f(x)单调递增； 当x?(0,4a?a2?8,??)时f?(x)?0，函数f(x)单调递减。 当x?(4a?a2?8a?a2?8)；单减区间是(,??) ∴f(x)的单增区间是(0,44f(x1)?f(x2)?2转化为f(x1)?2x1?f(x2)?2x2 ⑵不妨设x1?x2?1，不等式

x1?x2令?(x)?f(x)?2x 可知函数?(x)在区间[1,??)上单调递减，

∴??(x)?f?(x)?2?0恒成立，故

1?2x?a?2?0恒成立 x即a?2x?1?2恒成立。 x·12·

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当x?[1,??)时，函数y?2x?1?2单调递增。∴x?1时ymin?3 x∴实数a的取值范围是(??,3] amax?3 ⑶g?(x)?(1?x)e1?x，当x?(0,1)时，g?(x)?0,g(x)是增函数；当x?(1,e)时，

g?(x)?0,g(x)是减函数。∴函数g(x)在(0,e]上的值域为(0,1]。

?2x2?ax?1令F(x)?f(x)?1，则F?(x)?f?(x)?。由F?(x)?0，结合⑴可知，方程

xF?(x)?0在(0,??)上有一个实数根x3。若x3?e，则F(x)在(0,e]上单调递增，不合题意。∴

a?a2?8a?a2?8)上单调递增；在F?(x)?0在(0,e]上有唯一的解x3?，且F(x)在(0,44a?a2?8(,??)单调递减。

4∵?x0?(0,e]，方程f(x)?1?g(x0)在(0,e]内有两个不同的实数根 ∴F(e)?0且F(x)max?1

2由F(e)?0得lne?e?ae?1?0，解得a?e?2 e2由F(x)max?f(x3)?1?1得lnx3?x3?ax3?1?1，lnx3?x3?ax3?0 ∵?2x3?ax3?1?0 ∴a?2x3?2lnx3?x3?1?0

2212代入lnx3?x3?ax3?0得 x3令h(x)?lnx3?x3?1，可知函数h(x)在(0,e]上单调递增， 而h(1)?0 ∴h(x3)?h(1)?0 ∴1?x3?e 又a?2x3?211在1?x3?e上单调递增。∴1?a?2e?

ex3·13·

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综上所述，a?(1,e?

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