中考数学热身 一次函数的应用(含解析)

一次函数的应用

一.课前热身

1．为了增强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过10吨时，水价为每吨1.2元，超过10吨时，超过的部分按每吨1.8元收费，该市某户居民5月份用水x吨（x＞10），应交水费y元，则y关于x的函数关系式是 ．

2．弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系图象如图所示，由图象可知不挂物体时弹簧的长度为 cm．

3．蜡烛在空气中燃烧的长度与时间成正比，如果一支原长15cm的蜡烛燃烧4分钟后，其长度为13cm，请写出剩余长度y（cm）与燃烧时间x（分钟）的关系式为 ．

4．如图，表示的是某航空公司托运行李的费用y（元）与托运行李的质量x（千克）的关系，由图中可知行李的质量，只要不超过 千克，就可以免费托运．

5．某市自来水公司为限制单位用水，每月只给某单位计划内用水3000吨，计划内用水每吨收费0.5元，超计划部分每吨按0.8元收费．

（1）写出该单位水费y（元）与每月用水量x（吨）之间的函数关系式： ①用水量小于等于3000吨 ； ②用水量大于3000吨 ．

（2）某月该单位用水3200吨，水费是 元；若用水2800吨，水费 元． （3）若某月该单位缴纳水费1540元，则该单位用水多少吨？

6．杨嫂在再就业中心的扶持下，创办了“爱家”报刊零售点，对经营的某种晚报，杨嫂提供了如下信息：

①买进每份0.20元，卖出0.30元；

②在一个月内（以30天计），其中有20天每天可以卖出200份，其余的10天每天就只能卖出120份；

③一个月内，每天从报社买进的报纸份数必须相同，当天卖不掉的报纸以每份0.10元退回给报社． （1）填表：

一个月每天买进该晚报的份数 当月利润（元） 100 150 （2）设每天从报社买进晚报x份（120≤x≤200）时，月利润为y元，试写出y和x的函数关系式，并求月利润的最大值．

二、中考演练

7．从甲地向乙地打长途电话，按时间收费，3分钟内收费2.4元，每加1分钟加收1元，若时间t≥3（分）时，电话费y（元）与t（分）之间的函数关系式是 ．

8．在一定范围内，某种产品购买量y吨与单价x元之间满足一次函数关系式，若购买1000吨，每吨800元，购买2000吨时，每吨700元，一客户购买4000吨单价为 元．

9．汽车工作时油箱中的燃油量y（升）与汽车工作时间t（小时）之间的函数图象如下中图所示，汽车开始工作时油箱中有燃油 升，经过 小时耗尽燃油，y与t之间的函数关系式是 ．

10．如图所示的折线ABC为某地出租汽车收费y（元）与乘坐路程x（千米）之间的函数关系式图象，当x≥3千米时，该函数的解析式为 ，乘坐2千米时，车费为 元，乘坐8千米时，车费为 元．

11．一根弹簧的原长为12cm，它能挂的重量不能超过15kg并且每挂重1kg就伸长cm，写出挂重后的弹簧长度y（cm）与挂重x（kg）之间的函数关系式是（ ） A．y=x+12（0＜x≤15） B．y=x+12（0≤x＜15） C．y=x+12（0≤x≤15） D．y=x+12（0＜x＜15）

12．中国电信公司最近推出的无线市话小灵通的通话收费标准为：前3分钟（不足3分钟按3分钟）为0.2元；3分钟后每分钟收0.1元，则一次通话实际那为x分钟（x＞3）与这次通话的费用y（元）之间的函数关系是（ ）

A．y=0.2+0.1x B．y=0.1x C．y=﹣0.1+0.1x D．y=0.5+0.1x

13．巫溪某中学组织初一初二学生举行“四城同创”宣传活动，从学校坐车出发，先上坡到达A地后，宣传8分钟；然后下坡到B地宣传8分钟返回，行程情况如图．若返回时，上、下坡速度仍保持不变，在A地仍要宣传8分钟，那么他们从B地返回学校用的时间是（ ）

A．45.2分钟 B．48分钟 C．46分钟 D．33分钟

14．附加题：将长为30cm，宽为10cm的长方形白纸，按如图所示的方发粘合起来，粘合部分的宽为3cm．设x张白纸粘合后的总长度为ycm，写出y与x的函数关系式，并求出当x=20时，y的值．

15．某市的A县和B县春季育苗，急需化肥分别为90吨和60吨．该市的C县和D县分别储存化肥100吨和50吨，全部调配给A县和B县，已知C、D两县运化肥到A、B两县的运费（元/吨）如下列表所示：

目的地运费出发地 A B C 35 30 D 40 45 （1）设C县到A县的化肥为x吨，求总运费W（元）与x（吨）的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）求最低总运费，并说明总运费最低时的运送方案．

一次函数的应用 参考答案与试题解析

一.课前热身

1．为了增强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过10吨时，水价为每吨1.2元，超过10吨时，超过的部分按每吨1.8元收费，该市某户居民5月份用水x吨（x＞10），应交水费y元，则y关于x的函数关系式是 y=1.8x﹣6 ． 【考点】根据实际问题列一次函数关系式． 【专题】函数思想．

【分析】根据水费y=10吨的水费+超过10吨的水费得出． 【解答】解：依题意有y=1.2×10+（x﹣10）×1.8=1.8x﹣6． 所以y关于x的函数关系式是y=1.8x﹣6（x＞10）． 故答案为：y=1.8x﹣6．

【点评】此题考查的知识点是根据实际问题列一次函数关系式，解题的关键是根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．本题水费y=10吨的水费+超过10吨的水费．

2．弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系图象如图所示，由图象可知不挂物体时弹簧的长度为 10 cm．

【考点】一次函数的应用．

【分析】根据图象，列出直线解析式后，求直线与y轴交点即可． 【解答】解：设解析式为y=kx+b，把（5，12.5）（20，20）代入得：， 解之得：，即y=0.5x+10，当x=0时，y=10．即不挂物体时弹簧的长度为10cm． 【点评】本题通过考查一次函数的应用来考查从图象上获取信息的能力．

3．蜡烛在空气中燃烧的长度与时间成正比，如果一支原长15cm的蜡烛燃烧4分钟后，其长度为13cm，请写出剩余长度y（cm）与燃烧时间x（分钟）的关系式为 ． 【考点】根据实际问题列一次函数关系式．

【分析】蜡烛点燃后所剩长度=原来长度﹣x分钟点燃的长度，把相关数值代入即可求解．

【解答】解：∵一支原长15cm的蜡烛燃烧4分钟后，其长度为13cm， ∴1分钟燃烧0.5cm， ∴x分钟可燃烧0.5xcm， ∴y=15﹣x（0≤t≤30）． 故答案为：y=15﹣x．

【点评】本题考查列一次函数关系式，得到蜡烛点燃后所剩长度的等量关系是解决本题的关键．

4．（2012秋?富顺县校级期末）如图，表示的是某航空公司托运行李的费用y（元）与托运行李的质量x（千克）的关系，由图中可知行李的质量，只要不超过 20 千克，就可以免费托运．

【考点】一次函数的应用．

【分析】免费托运即是y=0，所以只要利用待定系数法求出解析式，解方程即可． 【解答】解：设一次函数的解析式为y=kx+b， 由图象过点（30，300）和（50，900）得 ， 解得：，

∴解析式为y=30x﹣600，

当y=0时，x=20，即重量不超过20千克可免费托运． 故答案为：20．

【点评】此题主要考查了一次函数的简单应用，理解免费的意义得出y=0是解题关键．

5．某市自来水公司为限制单位用水，每月只给某单位计划内用水3000吨，计划内用水每吨收费0.5元，超计划部分每吨按0.8元收费．

（1）写出该单位水费y（元）与每月用水量x（吨）之间的函数关系式： ①用水量小于等于3000吨 y=0.5x （x≤3000） ； ②用水量大于3000吨 y=0.8x﹣900 （x＞3000） ．

（2）某月该单位用水3200吨，水费是 1660 元；若用水2800吨，水费 1400 元． （3）若某月该单位缴纳水费1540元，则该单位用水多少吨？ 【考点】一次函数综合题． 【专题】代数综合题．

【分析】（1）题目给出了每吨的不同收费，根据具体的情况，写出不同的函数关系式，注意要由自变量的取值范围；（2）计算水费时要根据不同的情况，代入相应的函数关系式计算即可； （3）要首先判断此月超过3000吨，可代入第二个函数关系式进行求解． 【解答】解：（1）①y=0.5x （x≤3000）；

②y=3000×0.5+（x﹣3000）×0.8=1500+0.8x﹣2400=0.8x﹣900（x＞3000）；

（2）当x=3200时，y=3000×0.5+200×0.8=1660， 当x=2800时， y=0.5×2800=1400；

（3）某月该单位缴纳水费1540＞1500元，说明该月用水已超过3000吨， ∴1540=0.8x﹣900， 解得x=3050（吨）． 答：该单位用水3050吨．

【点评】本题考查了一次函数的综合应用；当标准不一样时要分段写出函数关系式，计算时还要特别注意使用相应的关系式是正确解答此类问题的关键．

6．杨嫂在再就业中心的扶持下，创办了“爱家”报刊零售点，对经营的某种晚报，杨嫂提供了如下信息：

①买进每份0.20元，卖出0.30元；

②在一个月内（以30天计），其中有20天每天可以卖出200份，其余的10天每天就只能卖出120份；

③一个月内，每天从报社买进的报纸份数必须相同，当天卖不掉的报纸以每份0.10元退回给报社． （1）填表：

一个月每天买进该晚报的份数 当月利润（元） 100 150 （2）设每天从报社买进晚报x份（120≤x≤200）时，月利润为y元，试写出y和x的函数关系式，并求月利润的最大值． 【考点】一次函数的应用． 【专题】综合题．

【分析】（1）当每天进报纸是100份时，根据有20天每天可以卖出200份，其余的10天每天就只能卖出120份可知道报纸都能卖出，从而求得利润；当进150份报纸时，有10天卖出120份，所以有剩下的报纸，再根据当天卖不掉的报纸以每份0.10元退回给报社可求出利润．

（2）设每天从报社买进晚报x份（120≤x≤200）时，利润y=20天全卖掉情况的利润+10天卖掉120份的利润﹣10天中每天卖不掉的报纸赔的钱，根据此关系式可列出函数式．

【解答】解：（1）一个月每天买进该晚报的份数为100时：30×（0.30﹣0.20）×100=300（元）． 一个月每天买进该晚报的份数为150时：20×（0.30﹣0.20）×150+10×（0.30﹣0.20）×120﹣10×（0.20﹣0.10）×（150﹣120）=390（元）． 故答案为：300，390．

（2）设每天从报社买进晚报x份（120≤x≤200且为整数）时，

y=20（0.30﹣0.20）x+10×（0.30﹣0.20）×120﹣10（x﹣120）（0.20﹣0.10）=x+240． 当x取最大值时，y取到最大值． x的最大值为200， ∴y=200+240=440． 月利润的最大值为440．

【点评】本题考查一次函数的应用，根据题意列出函数式，以及根据函数式的特点和自变量的取值范围求出最值．

二、中考演练

7．从甲地向乙地打长途电话，按时间收费，3分钟内收费2.4元，每加1分钟加收1元，若时间t≥3（分）时，电话费y（元）与t（分）之间的函数关系式是 y=t﹣0.6 ． 【考点】函数关系式．

【分析】根据题意可得需付电话费=3分内收费+3分以外的收费，把相关数值代入即可求解． 【解答】解：3分钟内收费2.4元，3分以外的收费为（t﹣3）×1=t﹣3， 则电话费y（元）与t（分）之间的函数关系式是：y=2.4+t﹣3=t﹣0.6． 故答案为：y=t﹣0.6．

【点评】此题主要考查了根据实际问题列函数关系式，解决本题的关键是得到超过3分钟的电话付费的等量关系．

8．在一定范围内，某种产品购买量y吨与单价x元之间满足一次函数关系式，若购买1000吨，每吨800元，购买2000吨时，每吨700元，一客户购买4000吨单价为 500 元． 【考点】一次函数的应用．

【分析】首先设出一次函数的解析式，再利用待定系数法求出解析式，最后将y=4000代入解析式就可以求出单价．

【解答】解；设购买量y吨与单价x元之间的一次函数关系式为y=kx+b，由题意，得 ， 解得：，

解析式为：y=﹣10x+9000． 当y=4000时， 4000=﹣10x+9000， 解得x=500． 故答案为：500．

【点评】此题考查了运用待定系数法求一次函数的解析式的运用，利用函数的解析式和函数值求自变量的值的运用．解答时求出函数的解析式是关键．

9．汽车工作时油箱中的燃油量y（升）与汽车工作时间t（小时）之间的函数图象如下中图所示，汽车开始工作时油箱中有燃油 50 升，经过 5 小时耗尽燃油，y与t之间的函数关系式是 y=﹣10t+50（0≤t≤5） ．

【考点】一次函数的应用．

【分析】利用图象可得出汽车开始工作时油箱中燃油数量以及耗尽燃油时间，再利用待定系数法求一次函数解析式即可．

【解答】解：由图象可得出：汽车开始工作时油箱中有燃油50升，经过5小时耗尽燃油， 设y与t之间的函数关系式为：y=kt+b， ， 解得：，

∴y与x之间的函数关系式是：y=﹣10t+50（0≤t≤5）． 故答案为：y=﹣10t+50（0≤t≤5）．

【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数的应用，利用数形结合得出是

解题关键．

10．如图所示的折线ABC为某地出租汽车收费y（元）与乘坐路程x（千米）之间的函数关系式图象，当x≥3千米时，该函数的解析式为 y=x ，乘坐2千米时，车费为 3 元，乘坐8千米时，车费为 8 元．

【考点】一次函数的应用．

【分析】观察图象可设当x≥3千米时，该函数的解析式为y=kx+b，由点B（3，3）与点C（5，5）在其函数图象上，利用待定系数法即可求得该函数的解析式；观察图象即可求得乘坐2千米时的车费，将x=8代入所求函数，即可求得乘坐8千米时的车费． 【解答】解：设当x≥3千米时，该函数的解析式为y=kx+b， ∵点B（3，3）与点C（5，5）在其函数图象上， ∴， 解得：，

∴当x≥3千米时，该函数的解析式为：y=x； 观察图象可得：坐2千米时，车费为3元， 当x=8时，y=x=8，

∴乘坐8千米时，车费为8元． 故答案为：y=x，3，8．

【点评】此题考查了一次函数的应用问题．题目比较简单，解题的关键是仔细观察图象，根据图象解题，注意待定系数法的应用．

11．一根弹簧的原长为12cm，它能挂的重量不能超过15kg并且每挂重1kg就伸长cm，写出挂重后的弹簧长度y（cm）与挂重x（kg）之间的函数关系式是（ ） A．y=x+12（0＜x≤15） B．y=x+12（0≤x＜15） C．y=x+12（0≤x≤15） D．y=x+12（0＜x＜15） 【考点】根据实际问题列一次函数关系式． 【专题】常规题型．

【分析】根据函数的概念：函数中的每个值x，变量y按照一定的法则有一个确定的值y与之对应，解答即可．

【解答】解：设挂重为x，则弹簧伸长为x，

挂重后弹簧长度y（cm）与挂重x（kg）之间的函数关系式是：y=x+12 （0≤x≤15）． 故选C．

【点评】本题考查根据实际问题列一次函数关系式的问题，解题关键在于根据题意列出等式，然后再变形为要求的形式．

12．中国电信公司最近推出的无线市话小灵通的通话收费标准为：前3分钟（不足3分钟按3分钟）为0.2元；3分钟后每分钟收0.1元，则一次通话实际那为x分钟（x＞3）与这次通话的费用y（元）之间的函数关系是（ ）

A．y=0.2+0.1x B．y=0.1x C．y=﹣0.1+0.1x D．y=0.5+0.1x 【考点】根据实际问题列一次函数关系式．

【分析】话费=三分钟以内的基本话费0.2+超过3分钟的时间×0.1，把相关数值代入即可求解． 【解答】解：根据题意可知：超过3分钟的话费为0.1×（x﹣3），

则通话时间x分钟（x＞3）与通话费用y之间的函数关系是：y=0.2+0.1（x﹣3）=0.1x﹣0.1． 故选C．

【点评】本题考查根据实际问题列一次函数关系式的知识，解决本题的关键是理解话费分为规定时间的费用+超过规定时间的费用．

13．巫溪某中学组织初一初二学生举行“四城同创”宣传活动，从学校坐车出发，先上坡到达A地后，宣传8分钟；然后下坡到B地宣传8分钟返回，行程情况如图．若返回时，上、下坡速度仍保持不变，在A地仍要宣传8分钟，那么他们从B地返回学校用的时间是（ ）

A．45.2分钟 B．48分钟 C．46分钟 D．33分钟 【考点】一次函数的应用．

【分析】由图象可知校车在上坡时的速度为200米每分钟，长度为3600米；下坡时的速度为500米每分钟，长度为6000米；又因为返回时上下坡速度不变，总路程相等，根据题意列出各段所用时间相加即可得出答案．

【解答】解：由上图可知，上坡的路程为3600米，速度为200米每分钟； 下坡时的路程为6000米，速度为6000÷（46﹣18﹣8×2）=500米每分钟； 由于返回时上下坡互换，变为上坡路程为6000米，所以所用时间为30分钟；

停8分钟；

下坡路程为3600米，所用时间是7.2分钟； 故总时间为30+8+7.2=45.2分钟． 故选A．

【点评】此题主要考查学生对分段问题的处理能力和往返问题的理解．

14．附加题：将长为30cm，宽为10cm的长方形白纸，按如图所示的方发粘合起来，粘合部分的宽为3cm．设x张白纸粘合后的总长度为ycm，写出y与x的函数关系式，并求出当x=20时，y的值．

【考点】根据实际问题列一次函数关系式． 【专题】几何图形问题．

【分析】白纸粘合后的总长度=x张白纸的长﹣（x﹣1）个粘合部分的宽，把相关数值代入即可求解． 【解答】解：由题意得：y=30x﹣（x﹣1）×3=27x+3， ∴当x=20时，y=543．

【点评】解决本题的关键是得到白纸粘合后的总长度的等量关系，注意x张白纸之间有（x﹣1）个粘合．

15．某市的A县和B县春季育苗，急需化肥分别为90吨和60吨．该市的C县和D县分别储存化肥100吨和50吨，全部调配给A县和B县，已知C、D两县运化肥到A、B两县的运费（元/吨）如下列表所示：

目的地运费出发地 A B C 35 30 D 40 45 （1）设C县到A县的化肥为x吨，求总运费W（元）与x（吨）的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）求最低总运费，并说明总运费最低时的运送方案． 【考点】一次函数的应用． 【专题】方案型．

【分析】（1）可设由C县运往A县的化肥为x吨，则C县运往B县的化肥为（100﹣x）吨，D县运往A县的化肥为（90﹣x）吨，

D县运往B县的化肥为（x﹣40）吨，所以W=35x+40（90﹣x）+30（100﹣x）+45（x﹣40）．其中40≤x≤90；

（2）由函数解析式可知，W随着x的增大而增大，所以当x=40时，W最小．因此即可解决问题． 【解答】解：（1）由C县运往A县的化肥为x吨，则C县运往B县的化肥为（100﹣x）吨，D县运往B县的化肥为（x﹣40）吨

依题意W=35x+40（90﹣x）+30（100﹣x）+45（x﹣40）=10x+4800，40≤x≤90； ∴W=10x+4800，（40≤x≤90）；

（2）∵10＞0，

∴W随着x的增大而增大，

当x=40时，W最小=10×40+4800=5200（元）， 即运费最低时，x=40，

∴100﹣x=60，90﹣x=50，x﹣40=0，

运送方案为C县的100吨化肥40吨运往A县，60吨运往B县，D县的50吨化肥全部运往A县． 【点评】本题需仔细分析题意，利用函数解析式即可解决问题．

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