扫雷(数学建模论文)

今天，你扫雷了么？

学校：北京大学附属中学 年级：高二 小组：PC小组

目录

前言—选题意义------------------------------------------1 前言—说明----------------------------------------------1 前言—论文摘要------------------------------------------1

正文—基本玩法简介-------------------------------------2 正文—游戏策略-----------------------------------------2 正文—数据的收集统计-----------------------------------6 正文—数学模型的建立-----------------------------------6 正文—结论---------------------------------------------8 正文—误差分析-----------------------------------------9

小组成员感受--------------------------------------------10 相关注解------------------------------------------------11 参考文献------------------------------------------------11

第一部分：前言

一、选题意义： 我们认为，此类游戏有益于开发脑力，是在学习之余的一个放松的有意义的好方法。然而现在的扫雷游戏，只有简单的初级、中级、高级三档，所以我们决定对相同格子不同雷数，以及相同雷数，不同格子数进行多次实验，从而制出一张随格数（雷数）变化时胜率的函数图，这样可以更清楚的知道其难度的变化。

二、说明：在本篇论文中，我们会先针对于扫雷游戏的初学者，制定一套战术策略方案，之后对一些经典情况进行分析：比如在一些不确定的情况下对于雷的概率分析。最后对于我们所进行的实验进行数学模型的建立，并根据数学模型为扫雷定义难度。并对扫雷游戏进行一个创新，增加其趣味性及难度。

三、论文摘要 在本篇论文中，我们针对于扫雷游戏做了相关的胜率研究，在论文中首先对扫雷这款游戏进行了基本说明，之后我们的实验数据以表格的形式呈现在论文中，再根据由数据画出来的图像进行相关胜率分析，这幅图与我们预想中的差异以及误差分析和问题延展都会在论文中呈现。

关键词：

扫雷 Ming-sweeping 策略 Tactic

1

胜率 Wining Percentage

第二部分：正文

一、 基本玩法简介

在扫雷游戏界面中，每一个数字的意义是它周围的8格方块中所存在的雷数，据此进行相关的推理，来确定雷所在的格子。

二、 游戏策略

（注明：又有本次数学建模的前提是建立在最优情况下的胜率讨论，及把所有能够通过计算排除的雷全部排除的基础上的胜率，所以在论文开始必须进行相应策略介绍。） 1、对于几种常见的图形分布要很熟悉，寻找常见的数字组合，这通常会指示地雷的常见组合。例如，在一组未挖开的方块的边上相邻的三个数字 2-3-2 表示这三个数旁边有一排有三个地雷。

2、在所有可以算的都算完的情况下，选择胜的概率最大格子去猜，比如可以推出两个格子中有一颗是，另外三个格子中一颗是，那么一定从三个格子的地方进行猜测，这就是我们的前提条件之一：最优情况

几种简单情况的分析

1、在右图这种情况中，根据游戏规则，我们可以首先推断出a和d一定是雷，又因为左下角这9个方格中中心数字是2，又已经确定了a和d都是雷，所以可以推断b和c一定不是雷。

这样，这一区域内的就算是解完了。

2、右图这种情况中，根据规则首先可以推出c一定是雷，又因为正中心是数字2，也就说明了b一定也是雷，由此便可以推断出，a位置一定不是雷。

3、这一情况中，根据规则首先推得a是雷，又因为左下角中央数字2，所以b一定是雷，因为ab都是雷了，所以c不是雷，同理d不是雷。因此e一定是雷，因为中心数字都是1，所以f不是雷。同理推断g一定是雷，于是h不是雷。

2

以上列举的三种情况都是完全可以算出来的，那么以下将展示几种无法算出的，所谓胜率也就由此产生了。

1、如图所示，这是某一局扫雷玩到最后的情景，经分析发现abcd四个格子中无法确定那两颗是雷，ad是，或者cb是都说得通，这样就只能靠蒙的了，那么这一局胜利的概率就成了50%

2、又如右图这种情况，已有的数字给出的信息都是重复信息，无法确定ab中那一刻是雷，这时候赢的概率就是50%。

3、再如这种状况，已知还剩下2颗雷，那么经过分析发现在ac或是在bd都说得通，于是胜率又是50%。

诸如此类的情况不再一一列举，正是因为有了这些个算不出来的情况，才使得我们的胜率统计有了意义，因为随着雷的颗数的增多，这种解不出来的情况也会越来越多，我们最终想要得到的也正是胜率曲线。

3

由于担心字母不够用，所以换为数字。

观察图像可知，11号为一定无雷。但此时，此图出现了多种可能。所以现在进行具体分析。 由于个人喜好问题，从a号位开始入手。

a号位为3，现在其周围已经有2个雷，所以5、6、7中只有一颗雷。 （1） 假设5号位有雷（此时胜率为33.3%）

因为5有雷，所以3、4号位一定无雷，则2号位一定有雷，1号位一定无雷。

因为5有雷，所以6、7不能有雷，则8一定为雷，则9、10一定无雷。 但是12、13号位还不能确定哪里有雷，所以需要猜测。（此时胜率为16.7%） 14、15、16号位中只有一颗雷。

（1a）假设14号位有雷（此时胜率为5.6%） 则15、16号位一定无雷。

那么17、18、19号位中有两颗雷；18、19、20号位中有两颗雷。 （1aa）17、18、20有雷（此时胜率为1.8%） （1ab）17、19、20有雷（此时胜率为1.8%） （1ac）18、19有雷（此时胜率为1.8%） （1b）假设15号位有雷（此时胜率为5.6%）

则14、16号位一定无雷。

4

那么17、18、19号位中有两颗雷；18、19、20号位中有两颗雷。 （1ba）17、18、20有雷（此时胜率为1.8%） （1bb）17、19、20有雷（此时胜率为1.8%） （1bc）18、19有雷（此时胜率为1.8%） （1c）假设16号位有雷（此时胜率为5.6%）

则14、15号位一定无雷。

那么17、18、19号位中有一颗雷；18、19、20号位中有两颗雷。 则可判断17号位一定无雷。

（1ca）18、20号位有雷（此时胜率为2.8%） （1cb）19、20号位有雷（此时胜率为2.8%）

2）假设6号位有雷（此时胜率为33.3%） 则5、7、8一定无雷。

由于5无雷，所以3、4中必有一雷，则2不是雷，一必是雷。 此处需要猜测3、4谁为雷。（此时胜率为16.7%）

由于7、8无雷，则9一定有雷，10一定无雷

但是12、13号位还不能确定哪里有雷，所以需要猜测。（此时胜率为8.3%）14、15、16号位中只有一颗雷。

（2a）假设14号位有雷（此时胜率为2.7%） 则15、16号位一定无雷。

那么17、18、19号位中有两颗雷；18、19、20号位中有两颗雷。 （1aa）17、18、20有雷（此时胜率为0.9%） （1ab）17、19、20有雷（此时胜率为0.9%） （1ac）18、19有雷（此时胜率为0.9%） （2b）假设15号位有雷（此时胜率为2.7%）

则14、16号位一定无雷。

那么17、18、19号位中有两颗雷；18、19、20号位中有两颗雷。 （2ba）17、18、20有雷（此时胜率为0.9%） （2bb）17、19、20有雷（此时胜率为0.9%） （2bc）18、19有雷（此时胜率为0.9%） （2c）假设16号位有雷（此时胜率为2.7%）

则14、15号位一定无雷。

那么17、18、19号位中有一颗雷；18、19、20号位中有两颗雷。 则可判断17号位一定无雷。

（2ca）18、20号位有雷（此时胜率为1.4%） （2cb）19、20号位有雷（此时胜率为1.4%）

3）假设7号位有雷（此时胜率为33.3%）

则5、6、8、9一定无雷。10号位就一定有雷

由于5无雷，所以3、4中必有一雷，则2不是雷，一必是雷。 此处需要猜测3、4谁为雷。（此时胜率为16.7%）

但是12、13号位还不能确定哪里有雷，所以需要猜测。（此时胜率为8.3%）14、15、16号位中只有一颗雷。

（3a）假设14号位有雷（此时胜率为2.7%）

5

（

（

则15、16号位一定无雷。

那么17、18、19号位中有两颗雷；18、19、20号位中有两颗雷。 （3aa）17、18、20有雷（此时胜率为0.9%） （3ab）17、19、20有雷（此时胜率为0.9%） （3ac）18、19有雷（此时胜率为0.9%） （3b）假设15号位有雷（此时胜率为2.7%）

则14、16号位一定无雷。

那么17、18、19号位中有两颗雷；18、19、20号位中有两颗雷。 （3ba）17、18、20有雷（此时胜率为0.9%） （3bb）17、19、20有雷（此时胜率为0.9%） （3bc）18、19有雷（此时胜率为0.9%） （3c）假设16号位有雷（此时胜率为2.7%）

则14、15号位一定无雷。

那么17、18、19号位中有一颗雷；18、19、20号位中有两颗雷。 则可判断17号位一定无雷。

（3ca）18、20号位有雷（此时胜率为1.4%） （3cb）19、20号位有雷（此时胜率为1.4%）

所以综上所述，猜测5号位有雷时，胜率最大，为2.8%

三.数据的收集与整理

收集思路与方法：

1、 思路：依照控制变量法的思想，我们从两方面进行了实验：

第一方面是在格子定在16x16的情况下对雷的颗数进行变换。经过认真研究和讨论，综合推测的胜率以及研究时间等方面的因素，得出以5颗雷为一档变换，每种情况分别进行20到60局的实验（对于雷数很少或者雷数很多的情况基本上胜率为100%或0%，所以进行的实验比较少。）的试验方法，

第二方面是在雷的颗数固定在40颗的情况下，对格子数进行变换，进行多组实验后，得出数据。

2、 收集方法：我们在完成每一组的试验后都会进行截屏，建立我们自己的数据库，在进行

完所有试验后，再进行数据统计

数据统计与整理

一、格子数目确定雷颗数不定时 16X16 16X16

雷数 10 15 试验局数 20 20 通关局数 20 20 失败局数 0 0 胜率 100.00% 100.00% 6

16X16 16X16 16X16 16X16 16X16 16X16 16X16 16X16 16X16 16X16 16X16 16X16 16X16 16X16 16X16 16X16 20 25 30 35 40 43 47 50 55 60 65 70 75 80 85 90 20 20 50 50 50 50 50 58 46 49 42 29 26 34 34 20 20 20 47 43 45 41 35 29 10 7 4 1 0 0 0 0 0 0 3 7 5 9 15 29 36 42 38 28 26 34 34 20 100.00% 100.00% 94.00% 86.00% 90.00% 82.00% 70.00% 50.00% 21.73% 14.29% 9.52% 3.45% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 说明：由于10、15、20、25以及75、80、85、90颗雷数时的胜率基本为100.00%或0.00%，所以游戏局数较少。

二、雷定格子数不定时 雷数 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 格子数 9X9 10X10 11X11 12X12 13X13 14X14 15X15 16X16 17X17 18X18 19X19 20X20 21X21 22X22 23X23 24X24 25X25 试验局数 40 40 40 40 50 53 51 51 53 56 54 49 50 37 24 20 20 通关局数 0 0 0 2 5 10 19 26 34 41 45 45 48 37 24 20 20 失败局数 40 40 40 38 45 43 27 25 19 15 6 4 2 0 0 0 0 胜率 0.00% 0.00% 0.00% 5.00% 10.00% 18.87% 37.25% 50.98% 64.15% 73.21% 83.33% 91.84% 96.00% 100.00% 100.00% 100.00% 100.00% 说明：由于格子数为9X9，10X10以及23X23，24X24，25X25时的胜率基本为0.00%或100.00%，所以游戏局数就少。

数学模型的建立

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建立过程：根据我们对扫雷游戏的理解与设想，进行了以上两组平行的实验：

1格子数为定量，雷数为变量，依照不同情况进行多组实验，根据胜负局数算出各自胜率，将数据统计入表中，绘制出胜率-雷数的曲线图。

2雷数为定量，格子数为变量，依照不同情况进行多组实验，根据胜负局数算出各自胜率，将数据统计入表中，绘制出胜率-格子数的曲线图。

在经行以上两次统计后，比较两曲线图，从而得出雷数、格子数与胜率的关系。

结论

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1、 在格子数不变的情况下，随着雷数的升高，胜率大体上逐渐呈下降趋势，此下降趋势的

特点如下：一、这是一条S形曲线，在30颗到60颗中间产生胜率的陡降现象。 二、在25颗雷之前胜率的变化率基本为零。 三、在70颗雷之后胜率的变化率基本为零。

2、雷数为50颗固定不变的时候，随着格子数的升高，胜率大体上呈上升趋势，次上升趋势的特点与上边下降趋势的特点相同，如下：

一、这是一条S形曲线，在14x14到19x19中间产生胜率的陡升现象。

二、在12x12之前胜率的变化率基本为零。 三、在21x21 之后胜率的变化率基本为零。

3、综合分析以上两张图像，发现图像中雷数比格子数基本相同的两个点，它们的胜率也基本相同。由此我们可以为扫雷重新定义难度。

4、根据以上图像特点，我们为扫雷重新定义了难度，如下

在16x16的格子中，根据我们的图像将难度分为5档（依照胜率从0%到100%，平均分为5份）

低级：雷数在40颗以下（胜率在80%到100%）

中低级：雷数在40颗到48颗之间（胜率在60%到80%） 中高级：雷数在48颗到53颗之间（胜率在40%到80%） 高级：雷数在53颗到55颗之间（胜率在20%到40%之间） 超高级：雷数在55颗以上（胜率在0%到20%之间） 低级：在雷数比格子数小于5/32时。（胜率在80%到100%）

中低级：在雷数比格子数在5/32到3/10之间时（胜率在60%到80%） 中高级：在雷数比格子数在3/10到53/256之间时（胜率在40%到80%） 高级：在雷数比格子数在53/256到55/256之间时（胜率在20%到40%之间） 超高级：在雷数比格子数大于55/256以上时（胜率在0%到20%之间）

我们重新定义了扫雷游戏的难度，目的在于今后可以编写新的扫雷游戏的程序，把上述比例编入程序，即可实现重新定义。

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误差的分析

1,在格子定雷不定的情况下,我们的数据在35颗雷和40颗雷的时候出现了一个波动,理论上来说这是一个误差,产生误差的原因有如下几点:

一. 我们进行的试验数量太少了,还不足以说明我们想要得到的胜率.因为在同样的格

子的情况下,雷的分布情况过于多,而每种情况对应的胜利几率必定是不同的,于是也就导致了误差.并且根据大数法则(注1),在试验进行的足够多的情况下才可以得到我们想要得理论数值.我们的时间和精力都不够进行那么多次的试验,误差也就在所难免了. 二. 个人原因:在试验过程中,一定存在个人失误的情况,比如一时大意没有算出本可以

算出的雷.

2.在雷定格子不定的情况下,出现波动的原因同上.

问题延展

1. 我们目前最大的问题就是试验进行的次数不够,针对于这一问题,我们觉得如

果有可能的话可以编写一个相关程序进行自动扫雷,这样就可以将试验误差缩小到最小,也更利于进行后续的分析.

2．我们所留下的很多数据很有价值，其中包含了多样性的概率问题, 我们认为这段时间对于扫雷游戏的研究对我们的数学概率学习很有帮助，所以我们认为可以节选其中经典,供之后的概率教学使用.

参考文献：http://zhidao.http://m.njliaohua.com//question/28137179.html?an=0&si=1 http://baike.http://m.njliaohua.com//view/30088.html?wtp=tt

注解1: 大数法则原本是经济学中的概念，准确地说是统计学中的概念，但至今在学术上并没有精确的定义。根据英国经济家保罗·西布莱特的说法，“大数法则大致是说，相似个体所组成的大型群体的平均行为要比小型群体或群体中的个体行为更加容易预见。”大数法则来源于统计数字所表现出来的规律性。本性看似最为变幻莫测的事件，单独看待时似乎是随机的和偶然的，但一旦涉及到足够多的次数，就能够表现出近似于数学规律的现象，人们凭此可以作出预见。因此，尽管单一事件没有意义，但如果该事件多次重复，实际结果的分布就会呈现出一定的比率。这就是大数定律。

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