胡寿松自动控制原理习题解答第二章
2—1 设水位自动控制系统的原理方案如图 1—18 所示，其中 Q1 为水箱的进水流量， Q2 为水箱的用水流量，
H 为水箱中实际水面高度。假定水箱横截面积为 F，希望水面高度 为 H 0 ，与 H 0 对应的水流量为 Q0 ，试列出
水箱的微分方程。
解 当 Q1 ? Q2 ? Q0 时，H ? H 0 ；当 Q1 ? Q2 时，水面高度 H 将发生变化，其变化率与流量差 Q1 ?? Q2 成 正比，此时有
d (H ?? H 0 ) ?? F ? (Q1 ?? Q (Q2 Q 0 ) ??0)
dt
于是得水箱的微分方程为
F
dH
? Q Q2 1 ??dt
2—2 设机械系统如图 2—57 所示，其中 xi 为输入位移， x0 为输出位移。试分别列写各系统的微分方程式
及传递函数。
图 2—57 机械系统
解 ①图 2—57(a)：由牛顿第二运动定律，在不计重力时，可得
胡寿松自动控制原理习题解答第二章
&i ??&0 ) ??&0 ? m&&0 f1 ( x x f 2 xx
整理得
2 d xdx0 dxi 0
m 2? ( f1 ? f ? f1 2 ) dt dt dt
将上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即初始条件全部为零，可得
?ms ? ( f ? f )s?X (s) ??fsX (s)
2
1
2
0
1
i
?
于是传递函数为
f1 X 0 (s) ?
?
X i (s) ms ? f1 ? f 2
②图 2—57(b)：其上半部弹簧与阻尼器之间，取辅助点 A，并设 A 点位移为 x ，方向朝下；而在其下半部工。 引出点处取为辅助点 B。则由弹簧力与阻尼力平衡的原则，从 A 和 B 两点可以分别列出如下原始方程：
?
& ??&0 ) K1 ( xi ?? x) ??f ( x x& ??&0 ) K 2 x0 ??f ( x x
消去中间变量 x，可得系统微分方程
dx0 dxi ) ? K K x? K ff (K1 ? K 2 1 1 2 0 dt dt
对上式取拉氏变换，并计及初始条件为零，得系统传递函数为
fK1 s X 0 (s) ??
X i (s) f (K1 ? K 2 )s ? K1 K 2
③图 2—57(c)：以 x0 的引出点作为辅助点，根据力的平衡原则，可列出如下原始方程：
&i ??&0 ) ? K 2 x0 K1 ( xi ?? x) ? f ( x x
移项整理得系统微分方程
dxdx0
x0 ??f i ? K1 xi f ? (K 2 ) 1? K
dt dt
对上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即
xi (0) ? x0 (0) ? 0
则系统传递函数为
fs ? K1 X 0 (s) ?
?
X i (s) fs ? (K1 ? K 2 )
2-3 试证明图2-58(ａ)的电网络与(b)的机械系统有相同的数学模型。
胡寿松自动控制原理习题解答第二章
图 2-58
电网络与机械系统
?
1 R 1 C s 1 1 ? R1 ? 解：（a）：利用运算阻抗法得： Z1 ? R ? ? ? 1 //1C sR C s T s 1 1 1 ?1 1 ?1 R1 ? C1 s
R 1
1 11
?T2 s ? 1??Z 2 ? R2 ? ? ?R2 C2 s ? 1? ??C2 s C2 s C2 s
?
?
1 ?(Ts ? 1) 2 C s (T s 1)(T s ? 1) U (s) Z2 0 2 1 ? 2
所以： ? ? ?
R1 U i (s) Z1 ? Z 2 R1C2 s ? (T1 s ? 1)(T2 s ? 1) 1
??(T2 s ? 1) T1 s ? 1 C2 s
(b)以 K1 和 f1 之间取辅助点 A，并设 A 点位移为 x ，方向朝下；根据力的平衡原则，可列出如下原始方程：
&i ??&0 ) ??f1 ( x&0 ??&) （1） K 2 ( xi ?? x0 ) ? f 2 ( x x x&0 ??&) （2） K1 x ??f1 ( x x
（3）
&i ??&0 ) ? K1 x 所以 K 2 ( xi ?? x0 ) ? f 2 ( x x
对（3）式两边取微分得
&i ??&0 ) ? f 2 (&&i ??&0 ) ? K1 x& K 2 ( x xx &x
将（4）式代入（1）式中得
（4）
&i ??&0 ) ? K1 f1 x&0 ??&i ??&0 ) ??&i ??&0 ) K1 K 2 ( xi ?? x0 ) ? K1 f 2 ( x x f1 K 2 ( x x f1 f 2 (&x &x
整理上式得
&0 ? f1 K 2 x&0 ? K1 f1 x&0 ? K1 f 2 x&0 ? K1 K 2 x0 f1 f 2 &x
&i ? f1 K 2 x&i ? K1 f 2 x&i ? K1 K 2 xi ? f1 f 2 &x
对上式去拉氏变换得
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?f f s ? ( f K ? Kf? ? f f s ? ( f K ? K
2
1 2
1
2
2
1 2
1
2
1 1
? K1 f 2 )s ? K1 K 2 X 0 (s)f )s ? K1 K 2 X i (s)
所以：
?
1 2
?
?
f 2 f1 ( s ? 1)( s ? 1) K 1K 2
? ff f( 1 s ? 1)( 2 s ? 1) ? 1 K 2 K 2 K 1
f1 f 2 2 f1 f 2
s ? ( ? )s ? 1
X 0 (s) ?K1 K 2 K 1 K 2 f1 f 2 s 2 ? ( f1 K 2 ? K1 f 2 )s ? K1 K 2
???
ff ff1 f 2 2 X i (s) f1 f 2 s 2 ? ( f1 K 2 ? K1 f1 ? K1 f 2 )s ? K1 K 2
s ??( 1 ? 2 )s ? 1 ? 1 K1 K 2 K 2 K 1 K 2
?
???
?
??
所以图 2-58(ａ)的电网络与(b)的机械系统有相同的数学模型。 2—4 试分别列写图 2-59 中个无源网络的微分方程式。
解：（a） :列写电压平衡方程：
duC
dt
ui ?? u0 ? uC iC
? C?uC
iR1 ???
R1 ?
?
?ui ????duC uC ????d ?ui ???? u? u0 0
u? (iC ? iR1 )R2 ? ?C ? ? R2 ? ?C ? ? R2 0 dt R1 ???? dt R1 ? ??
整理得：
?
?
??
??
du0 ?R2 ? R2 dui
? ?CR ? C ? 1u? CR? C ui2 2 0 ? ?dt ??R1 ??dt R1 ?
(b) :列写电压平衡方程：
ui ?? u0 ? uC1
duC1
（1） iC1 ? C1
dt
（2）
uC1 ? iC1 R uC1 duC 2 d (u0 ?? iC1 R)
? 2i iC 2 ??? iC1 ??? C? C C1 2 2
R R dt dt
（3）
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d (u0 ?? iC1 R) （4） uC1 ? 2iC1 ? C2 即： R dt
将（1）（2）代入（4）得：
2
ui ?? u0 d (ui ?? u0 ) du0 d u C1
? 2C1 ? C2 ?? C C1 2 R R dt dt dt 2
2 d d 2 u0 u 0 du i du du 0 0 ui 即： ?? ? ?? 2C? C?? C CR ? C CR 2C1 1 2 1 2 1 2
R R dt dt dt dt 2 dt 2
u
i
整理得：
2 2 d udu0 u0 d uui dui 0 i C C C2 ? 2C ? ? 2 C ? ( 1 ) ? ? C C 1 1 2 R 1 2R 22 dt dt R dt R dt
2-5 设初始条件均为零，试用拉氏变换法求解下列微分方程式，并概略绘制x(t)曲线，指出各方程式的模态。
(1)
&(t ) ? x(t ) ? t; 2 x
?
?解：对上式两边去拉氏变换得： （2s+1）X（s）=1/s→ X (s) ??
2
1 1 1 ?4
?? ??s 2 (2s ? 1) s 2 s 2s ? 1
运动模态 e
??0.5t
1 ?? t 2
所以： x(t ) ? t ?? 2(1 ?? e
)
&(t ) ? x&(t ) ? x(t) ? ? (t）。(２) &x
解：对上式两边去拉氏变换得：
(s ? s ? 1) X (s) ? 1 → X (s) ??
2
1 1 ?
(s 2 ? s ? 1) (s ? 1/ 2) 2 ? 3 / 4
t / 2
运动模态 e ??sin?
?
?
? 3 ??
????2 t ??? ??? 3 ??? t ??sin????? 2 ??
所以： x(t ) ???
2
e
3
??t / 2
&&(t ) ? 2x&(t ) ? x(t ) ? 1(t）。 （3） x
解：对上式两边去拉氏变换得：
1 1 1 ?1 ?1 1
(s 2 ? 2s ? 1) X (s) ? → X (s) ??2 ? ?????
s s(s ? 2s ? 1) s(s ? 1) 2 s s ? 1 (s ? 1) 2
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运动模态 e
??t
(1 ? t )
??t
t t
? 1 ?? e ??(1 ? t) ?? te ??
所以： x(t ) ? 1 ?? e
2-6 在液压系统管道中，设通过阀门的流量满足如下流量方程：
Q ? K P
式中 K 为比例常数， P 为阀门前后的压差。若流量 Q 与压差 P 在其平衡点 (Q0 , P0 ) 附近作微小变化，试导出线性化 方程。
解：
设正常工作点为 A，这时 Q0 ? K P0 在该点附近用泰勒级数展开近似为：
??
df ( x)
y ? f ( x ) ? ? x ) ?( x ??
????0 0
? dx ? x0
即 Q ?? Q0 ? K1 (P ?? P0 )
其中 K1 ? ?
1 1 ? dQ ??
? K ??
2 P0 ? dP ? P ? P 0
2-7 设弹簧特性由下式描述：
F ? 12.65 y1.1
其中，是弹簧力；是变形位移。若弹簧在变形位移附近作微小变化，试推导的线性化方程。
解：
设正常工作点为 A，这时 F y0 0 ? 12.65 在该点附近用泰勒级数展开近似为：
1.1
df ( x)
y ? f ( x ) ? ? x ) ?( x ??
????0 0
dx ? ? x0
即 F ?? F0 ? K1 ( y ?? y0 )
?
?
其中
? dF ??
0.1
0.1
K1 ? ? ??? 12.65 ?1.1y0 ? 13.915 ?1.1y0 dy ? ??y ? y0
?
2-8 设晶闸管三相桥式全控整流电路的输入量为控制角，输出量为空载整流电压，它们之间的关系为：
ed ? Ed 0 cos??
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式中是整流电压的理想空载值，试推导其线性化方程式。
解：
设正常工作点为 A，这时 Ed ? Ed 0 cos? 0
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在该点附近用泰勒级数展开近似为：
??
df ( x)
y ? f ( x ) ? ? x ) ?( x ??
????0 0
? dx ? x0 ? 0 ) 即 ed ?? Ed0 cos? 0 ? K s (? ??? ded ??
其中 K ? ? ??Ed 0 sin ? 0 ? ???s
? d??? ???
2-9 若某系统在阶跃输入r(t)=1(t)时，零初始条件下的输出响应 c(t) ? 1 ?? e 响应。
??2t
t
? e ??，试求系统的传递函数和脉冲
?
?
解：对输出响应取拉氏变换的：
1 1 1 ?s 2 ? 4s ? 2
C (s) ? ?? ? ?
s s ? 2 s ? 1 s(s ? 1)(s ? 2)
因为： C (s) ? ?(s)R(s) ?
1
?(s) s
s s 2 ? 4s ? 2 1 ?2
所以系统的传递函数为： ?(s) ??? 1 ??? 1 ????
(s ? 1)(s ? 2) (s ? 1)(s ? 2) s ? 1 s ? 2
系统的脉冲响应为： g (t ) ? ? (t) ?? e
??t
2t
? e ??
2-10 设系统传递函数为
2 C (s)
??2
R(s) s ? 3s ? 2
& (0)＝０。试求阶跃输入 r(t)=1(t)时，系统的输出响应 且初始条件 c(0)=-1, cc(t)。
解：由系统的传递函数得：
2
d c(t) dc(t)
? 3 ? 2c(t ) ? 2r (t ) 2
dt dt
（1）
对式（1）取拉氏变换得：
&(0) ? 3sC (s) ??s 2 C (s) ?? sc(0) ?? c 3c(0) ? 2C (s) ? 2R(s)
将初始条件代入（2）式得
（2）
1
(s 2 ? 3s ? 2)C (s) ? s ? 3 ? 2 s
?
2
即： C (s) ??
1 ?4 ?2 2 2s ? 6 2 ?? s ?? 3s
???? ? ???
s(s 2 ? 3s ? 2) s s 2 ? 3s ? 2 s s ? 1 s ? 2
??t
2t
? 2e ??
所以： c(t) ? 2 ?? 4e
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2-11 在图 2-60 中，已知和两方框相对应的微分方程分别是
dc(t )
6 ? 10c(t) ? 20e(t ) dt db(t) 20 ? 5b(t ) ? 10c(t)
dt
且初始条件均为零，试求传递函数 C (s) / R(s) 及 E(s) / R(s)
解：系统结构图及微分方程得：
G(s) ??
20
6s ? 10
H (s) ??
10 20s ? 5
20 10 E (s) 10 10 C (s) ?10G(s) 6s ??10 ?? ???? 20 10R(s)1 ? G(s)H (s)20 10 R(s) 1 ? G(s)H (s) 1 ??1 ? 6s ? 10 20s ? 5 6s ? 10 20s ? 5 2
10(20s ? 5)(6s ? 10)1200s ? 1500s ? 500 200(20s ? 5) ?? 200(20s ? 5) ?? ??2 ? ? ?(6s ? 10)(20s ? 5) ? 200120s ? 230s ? 2502
(6s ? 10)(20s ? 5) ? 200 120s ? 230s ? 250
2-12 求图 2-61 所示有源网络的传递函数
1 R 0
C0 s R0 1
解：（a） ? Z 0 ? R0 // ??
1 T s ? 1 C 0 0 sR 0 ??C0 s
T0 ? R0 C0
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U 0 (s) RR
? ?? 1 ? ?? 1 (T s 1) 0 ? U i (s) Z 0 R 0
1 R 0
C0 s R0 （b） Z 0 ? R0 // 1 ??? 1 T s ? 1 C 0 0 sR0 ??
C0 s
T0 ? R0 C0
1 T1 s ? 1 ? Z ? R ? 1 1
C1 s C1 s
?
T 1 ? R C1 1
U 0 (s) Z?1 (T s ? 1)(T s ? 1) ? ?? 1 ? ??1 0
R C s U i (s) Z0 0 1
Ts ? 1 1 Z12 ? R1 //( R2 ? ) ? R1 // 2
C2 s C2 s
T2 s ? 1 （c） R 1
R(Ts ? 1) C2 s ??? 1 2
T2 s ? 1 T2 s ? R1 ? 1 R ? 1
C2 s U 0 (s) T2 s ? 1 ZR
? ?? 12 ? ?? 1
U i (s) R0 R0 T2 s ? R1 ? 1
T2 ? R2 C2
2-13由运算放大器组成的控制系统模拟电路如图2-62所示，试求闭环传递函数Uｃ(ｓ)／Ｕｒ(ｓ)。
图2-62 控制系统模拟电路
U (s) U1 (s) ZU (s) Z R
解： ? ?? 1 （1） 2 ? ?? 2 （2） 0 ? ?? 2 （3）
U 0 (s) ? U i (s) R0 U1 (s) R0 U 2 (s) R0
式（1）（2）（3）左右两边分别相乘得
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U 0 (s) ZZ R
? ?? 1 2 2 即
R0 R0 R0 U 0 (s) ? U i (s)
R U 0 (s) ? U i (s) ? ?? 0
U 0 (s) Z1 Z 2 R2
3 3
R U (s)
1 ? i ? ?? 0
U 0 (s) Z1 Z 2 R2
3
所以：
R U i (s)
? ?? 0 ?? 1 U 0 (s) Z1 Z 2 R2
R1 1
R 2
U 0 (s) 1 Z1 Z 2 R2 T1 s ? 1 C2 s ? ?? ? ?? ? ?? 3 3
1 U i (s) 3 R R R Z R 1 0 ? Z 1 2 2 0 R R 2 ? 1 0 ??Ts ? 1 Cs 1 2 ZZ R
1 2
2
R1 R2
? ?? 3
(T1 s ? 1)C2 sR0 ? R1 R2
2-14 试参照例2-2给出的电枢控制直流电动机的三组微分方程式，画出直流电动机的结构图，并由结构图等效变换求 出电动机的传递函数 ? m (s) / U a (s) 和 ? m (s) / M c (s)
解：由公式（2-2）、（2-3）、（2-4）取拉氏变换
U a (s) ?? Ea (s)
? Ia (s)
L s ? R a a
Cm I a (s) ? M m (s)
?
???
Ea (s) ? Ce ? m (s)
M m (s) ?? M c (s) ? ??m (s)J m s ? f m
得到系统结构图如下：
Ua(s)
Mc 1 － Las+Ra Ia(s) Cm Mm 1 Jms+fm Ωm(s)
Ce
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Cm 1
? m (s) ?La s ? Ra J m s ? f m Cm
??
CC1 U a (s) (La s ? Ra )( J m s ? f m ) ? Ce Cm
1 ? e m La s ? Ra J m s ? f m 1 J m s ? f m La s ? Ra ? m (s) ?
? ?
Ce Cm 1 M c (s) (La s ? Ra )( J m s ? f m ) ? Ce Cm ?1 ?
La s ? Ra J m s ? f m
o
2-15 某位置随动系统原理方块图如图2-63所示。已知电位器最大工作角度???，功率放大级放大系数为K3,要 max ? 330
求：
(1) 分别求出电位器传递系数K0、第一级和第二级放大器的比例系数K1和K2； (2) 画出系统结构图；
(3) 简化结构图，求系统传递函数? 0 (s) / ? i (s) 。
图2-63
位置随动系统原理图
解： （1） K 0 ?
15V 1650
K 1 ?
30
? 310
K 2 ?
20
? 210
（2）? e (s) ? ? i (s) ?? ? 0 (s) U s (s) ? K 0? e (s) U a (s) ? K1 K 2 K sU s (s)
U a (s) ? Ra I a (s) ? La sI a (s) ? Eb (s) Js 2? 0 (s) ? fs? 0 (s) ? M m (s) ?? M c( s)
系统结构图如下：
M m (s) ? Cm I a (s) Eb (s) ? K b? 0 (s)
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Mc
θi θ－ θ
e K 0 Us Ua K K K1 2 s 1 Las+Ra C m M m － 1 Js2+fs θ0 0 － Eb
Kb
(3) 系统传递函数? 0 (s) / ? i (s)
Cm
s(La s ? Ra )( Js ? f ) K 0 K K K1 2 s C KK K K K s m C 0 1 2 m b 1 ?
s(La s ? Ra )( Js ? f ) ? 0 (s) ?s(La s ? Ra )( Js ? f ) ? Cm K b
??
K 0 K1 K 2 K s Cm Cm ? i (s)
1 ?
s(La s ? Ra )( Js ? f ) ? Cm K b
s(La s ? Ra )( Js ? f ) 1 ? K 0 K K K1 2 s C K m b
1 ?
s(La s ? Ra )( Js ? f ) ?
K 0 K1 K 2 K s Cm s(La s ? Ra )( Js ? f ) ? Cm K b ? K 0 K1 K 2 K s Cm
2-16 设直流电动机双闭环调速系统的原理线路如图 2-64 所示：要求
（1） 分别求速度调节器和电流调节器的传递函数
（2） 画出系统结构图（设可控硅电路传递函数为 K 3 /(? 3 s ? 1) ；电流互感器和测速发电机的传递函数分别为
K 4 和 K 5 ；直流电动机的结构图用题 2-14 的结果）；
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（3） 简化结构图，求系统传递函数 ?(s) / U i (s) 解：（1）速调
1 R1 ??U ST (s) C1 s R1C1 s ? 1 T1 s ? 1 Z
? 1 ??? ?
U i (s) ?? U f (s) R RC1 s RC1 s R
流调
?
1 ?R2 ?
U LT (s) C2 s R2 C2 s ? 1 T2 s ? 1 Z 2 ?
? ?? ?
U ST (s) ?? U dlfk (s) R R RC2 s RC2 s
（2）系统结构图如下：
K4 ULT － K3 Ua T2s+1 τ3s+1 RC2s
Ui － Uf
T1s+1 UST RC1s Eb － － 1 Las+Ra Ia Cm Mm 1 Jms+fm Ω Ce
K5
(3) 简化结构图，求系统传递函数 ?(s) / U i (s)
因为求系统传递函数 ?(s) / U i (s) ，所以令 M c ? 0 ，系统结构图如下：
K4 ULT － K3 T2s+1 RC2s 3
Ui － Uf
T1s+1 UST Ua 1 Eb － Las+Ra Ia Ce 1 Jms+fm Ω
K5
将 K4 后移到输出Ω，系统结构图化简如下：
Ui － Uf T1s+1 UST RC1s － ULT K3 Ua T2s+1 τ3s+1 RC2s K4 1 Jms+fm Cm Cm Ce 1 Jms+fm Ω Eb － Las+Ra Ia
K5
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进一步化简得：
Ui － Uf T1s+1 UST RC1s － K4 Jms+fm Cm ULT Ua τ3s+1 K3 Cm （Las+Ra）(Jms+fm)+ Ce Cm Ω T2s+1 RC2s
Jms+fm K5
进一步化简得：
Ui － Uf K5 T1s+1 RC1s 2 K3 Cm (T2s+1) Ω Cm{RC2s [(Las+Ra)(Jms+fm)+ Ce Cm](τ3s+1)}+ K3 K4 Cm(Jms+fm)( T2s+1)
进一步化简得：
Ui
2s+1)}+ KKC(Js+f)( Ts+1)}+ KKC(T33 4 mmm25 3 m 2s+1)( T1s+1)
2K3 Cm (T s+1)( T s+1) 2 1 Ω
RC1s {Cm{RC2s [(Las+Ra)(Jms+fm)+ Ce Cm](τ所以：
?(s) ?
?U i (s)
2
K 3 C m (T s 1)(T s 1) 2 ? 1 ?
2 RC1 s?Cm ?RC2 s?(La s ? Ra )( J m s ? f m ) ? Ce Cm ?(?3? s ? 1)?? K 3 K 4 Cm ( J m s ? f m )?? K 5 K 3Cm (T2 s ? 1)(T1 s ? 1)
2-17 已知控制系统结构图如图2-65所示。试通过结构图等效变换求系统传递函数C(s)/R(s)。
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图2-65
解：（a）
题2-17系统结构图
R(s)
G1(s） G2(s） C(s)
－ G2(s) G3(s)
R(s)
G1(s） G2(s） G2(s) G3(s) C(s) －
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R(s)
G1(s)+ G2(s) 1 C(s) 1+G2(s) G2(s)
C (s) G1 ? G2
所以： ??
R(s) 1 ? G2 G3
（b）
R(s)
C(s)
G1(s） H1(s） G2(s）
1+ H1(s)H2(s）
R(s)
G1 (1+ H1H2) C(s)
G2(s） 1+ H1H2- G1H1
C (s) G1G2 (1 ? H1 H 2 ) 所以： ??
R(s) 1 ? H1 H 2 ?? G1 H1
(c)
G3 R(s) G1 －
G2 C(s) 1+G2H1
H2 G3 G2 － 1+G2H1
R(s) C(s) G1
G1 H2
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R(s)
G1+G3 所以：
G2 C(s) 1+ G2H1+ G1G2H2 G2 (G1 ? G3 ) C (s) ??
R(s) 1 ? G2 H1 ? G1G2 H 2
(d)
H2/G3 R(s) G1 － － G2 － H3 H2 G3 C(s)
H2/ G1G3 R(s) － － G1 G2 G 3 1+ G3H3 C(s)
H2
H2/ G1G3 R(s)
－ G1 1+ G1H1 G2 G3 1+ G3H3 C(s)
G1G2 G3 C (s)
所以： ??
R(s) (1 ? G1 H1 )(1 ? G3 H 3 ) ? G2 H 2
(e)
R(s) G1
C(s) G2 － G3
H2+ H1/ G3 H1/ G3 G4
胡寿松自动控制原理习题解答第二章
R(s)
G1G2G3 C(s) 1+ G2G3H2+ H1G2
H1/ G3 G4
R(s) G1G2G3 C(s)
1+ G2G3H2+ H1G2- G1G2H1
G4
G1G2 G3 C (s)
所以： ??G4 ?? R(s)1 ? G G H 2 ? H 1 2 G ?? G G 2 3 1 2 H1
(f)
H1 G1
R(s)
－ C(s) G2 G1 G3
R(s)
G2 G1+G3 1+ G1G2H1 C(s)
C (s) (G 1 ? G 3 )G2 所以： ?
R(s) 1 ? G1G2 H1
2-18 试简化图2-66中的系统结构图，并求传递函数C(s)/R(s )和C(s)/N(s)。
胡寿松自动控制原理习题解答第二章
C (s) 时， 解：（1）求 N ? 0 这时结构图变为： R(s)
R G 1 － － H1 G 2 C
R
G1G2 － 1+G1G2H1 C
所以：
G1G2 C (s)
??
R(s) 1 ? G1G2 H1 ? G1G2
(s) 时， （2）求 C R ? 0 这时结构图变为： N (s)
N G3 － G2 G1
C
－
H1 － 进一步化简得
胡寿松自动控制原理习题解答第四章
? p1 ? 1800 ? p2 ? 00
146.450 ?? 1350 ?? 900 ?? 75.7 ? 930 ???? p3 ? 1800 ?? ? p2 p3 ?? ? p4 p3 ?? ? p5 p3 ? 1800 ??p1 p3 ??0 0 0 0 0
? 180? 146.45? 135? 90? 75.7 ? ??93 ???? p4 ? 1800 ???? ? ?? ? ?? ? p1 p4 p2 p 4p3 p4p5 p3
根轨迹如图所示。
与虚轴的交点：令 s ??j? 代入特征方程中
s 5 ? 10.5s 4 ? 43.5s 3 ? 79.5s 2 ? 45.5s ? K * ? 0
得到：
胡寿松自动控制原理习题解答第四章
实部方程为：10.5? ?? 79.5? ? K ? 0 虚部方程为：? ?? 43.5? ? 45.5? ? 0 解方程得到：?1 ? 6.5136
5
3
4 2 *
? 2 ? 1.0356 ，将?1 ? 6.5136 代入实部方程得到 K
*
*
? 0 不
符合要求，将? 2 ? 1.0356 代入实部方程得到 K 所以取? ? 1.0356
? 73 满足要求。
即根轨迹与虚轴的交点为? ? ?1.0356
4-7 设单位反馈系统的开环传递函数为
?? K ?(s ? 2)G(s) ??
s(s ? 1)
其根轨迹图见图 4-2。试从数学上证明：复数根轨迹部分是以(-2，j0)为圆心，以 2 为半
径的一个圆。
图 4-2 系统根轨迹图
解：证明如下： 根据辐角条件可知，根轨迹各点应满足
?(s ? 2) ?? ?s ?? ?(s ? 1) ? 1800
?
在复平面上 s ? ? ??j? ，于是得
?(? ? j? ? 2) ?? ?(? ? j? ) ?? ?(? ? j? ? 1) ? 1800
??
????? 亦即 arctan ? 1800 ?? arctan ? arctan 2 ? ??1 ? ????
?
利用反正切公式
可把上式改写为
对上式的两边取正切，整理后即得圆方程式
X ?? Y
arctan X ?? arctan Y ? arctan
1 ? XY
胡寿松自动控制原理习题解答第四章
(? ? 2) 2 ? ? 2 ? 2
它的圆心为（-2，j0）半径等于 2 。这个圆与实轴的交点即为分离点和会合点。
证毕。
4-8 已知开环传递函数为
K *
G(s)H (s) ??
s(s ? 4)(s 2 ? 4s ? 20)
?
试概略画出闭环系统根轨迹图。 解：系统开环传递函数为
K * G(s)H (s) ??
s(s ? 4)(s 2 ? 4s ? 20)
?
有四个极点： p1 ? （0，j0）， p2 ? （-4，ｊ0）， p3 ? （－2，ｊ4）， p4 ? （－2，-ｊ4）， 没有零点。 分离点坐标计
算如下：
1 1 ?1 1 ? ???? 0 d d ? 4 d ? 2. ? j 4 d ? 2. ?? j 4
即 (2d ? 8d ? 20)(2d ? 4) ? 0 解方程的 d 2 ?? j2.45 2 ， d 2 ? ??2 ? j2.45 ， d 3 ? ??1 ? ??取分离点为 d1 ? ??2 ， d 2 ? ??2 ? j2.45 ， d 3 ? ??2 ?? j2.45 起始角：
2
?
? m ??n
? ??
? pi ? ? ??? z j pi ?? ??? pi pi ??k ? 0,?1,?2,L ? (2k ? 1)??
j ?1 ? j ?1 ??( j ?i ) ????
? p1 ? 1800 900 ? p2 ? ??
? p 3 ? ?90 ? p4 ? 00
根轨迹如图所示。
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胡寿松自动控制原理习题解答第四章
4-9 已知开环传递函数为
K * (s ? 2)
G(s) ??2
(s ? 4s ? 9)2
?试概略绘制其闭环系统根轨迹。
解：系统有四个极点： p1 ??p2 ? （－2，j2.24）， p3 ??p4 ? （－2，－ｊ2.24），有一个零 点 z1 ? （－2，ｊ0）。
分离点坐标计算如下：
2 ?1 2
????
d ? 2 ??j2.24 d ? 2 ?? j2.24 d ? 2
即 3d ? 12d ? 7 ? 0 解方程的 d 0.71 ， 3.29 ， d 2 ? ??1 ? ??2
3.29 取分离点为 d1 ? ??
起始角：
? m ??n
? ??
? pi ? ? ??? z j pi ?? ??? pi pi ??k ? 0,?1,?2,L ? (2k ? 1)??
j ?1 ? j ?1 ??( j ?i ) ????
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10
胡寿松自动控制原理习题解答第四章
??2? p1 ? (2k ? 1)1800 ? ?z ?? ? pi pi j pi
k ? 0,?1,?2,L
? (2k ? 1)1800 ? 900 ?? 900 ?? 900 ? (2k ? 1)1800 ?? 900
0 0
?? 135,??45所以：??p1
? 45,225同理?p 2
0 0
系统根轨迹如下图：
4-10 设单位反馈控制系统的开环传递函数
G(s) ??
K
s(0.01s ? 1)(0.02s ? 1)
要求：
(1) 画出准确根轨迹(至少校验三点)； (2) 确定系统的临界稳定开环增益 Kｃ； (3) 确定与系统临界阻尼比相应的开环增益 K。 解：系统开环传递函数为
K 5000K K *
G(s) ? ? ?
s(0.01s ? 1)(0.02s ? 1) s(s ? 100)(s ? 50) s(s ? 100)( s ? 50)
有三个极点： p1 ? （0，j0）， p2 ? （-50，ｊ0）， p3 ? （－100，ｊ0），没有零点。
分离点坐标计算如下：
1 1 1 ? ??? 0 d d ? 50 d ? 100
2
? ??78.9 ， d 2 ? ??即解方程 3d ? 300d ? 5000 ? 0 得 d 21.1 ， 1
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