第一二章概率论的答案

一、习题详解

1.1 写出下列随机试验的样本空间，并表示下列事件的样本点集合： (1) 10件产品中有一件是不合格，从中任取2件得1件不合格品。 (2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，（i）得白球；（ii)得红球。

分析：该题考查了样本空间和样本点的基本定义.

详解：（1）依题意可知，记9个合格品分别为：A1,A2,...A9,记“不合格”为B,则

???A1，A2??，A1，A3?，...?A1，A9??，A1，B?,?A2，A3??，A2，A4?...?A2，A9??，A2，B?,?A3，A4?,...?A3，A9??A3，B???A8，A9??，A9，B?,共有C10个样本点，其中任取两件得一不合格品的样本点集

2为：??A1，B?,?A2，B?...?A9，B??

(2)记2个白球分别为：?1，?2，3个黑球分别为：a1,a2,a3，4个红球分别为：

?2?, b1,b2,b3,b4，则????1,?2,a1,a2,a3,b1,b2,b3,b4?，所以（i)=??1，(ii)=?b1,b2,b3,b4?.

1.2 设A,B,C为三件事，用A,B,C及其运算关系表示下列事件：（1）A发生而B与C不发生；（2）A,B,C中恰好发生一个；（3）A,B,C中至少有一个发生；（4）A,B,C中至少有两个发生；（5）A,B,C中至少有两个发生；（6）A,B,C中有不多于一个事件发生。

分析：本题考查了事件间的关系与运算，可以利用韦恩图进行辅助做出相关的运算。

详解：（1）“B与C不发生”意味着B,C均发生，即有：ABC；

(2)“A,B,C中恰好发生一个”，但未指定哪个发生，于是可以是恰好A发生或恰好B发生或恰好C发生，即：ABC?ABC?ABC；

(3)由和事件的含义知，事件A?B?C即表示“A,B,C中至少有一个发生”，即

A?B?C；

(4)“A,B,C恰好有两个发生”，但未指定哪两个发生，于是可以是恰好有AB或

BC或AC,即ABC?ABC?ABC；

(5)“A,B,C中至少有两个发生”，即：ABC?ABC?ABC?ABC 或

AB?AC?BC；

(6)“A,B,C中有不多于一个事件发生”表示A,B,C都不发生或恰有一个发生，即：ABC?ABC?ABC?ABC 或 AB?AC?BC；

1.9在分别写有2、4、6、7、8、11、12、13的八张卡片中人去两张，把卡片上的两个数字组成一个分数，求所得分数为既约分数的概率。

分析：利用罗列法，将问题要求的事件罗列出来，再结合样本空间的实验的次数可求。

详解1： ?2?只能与?7,11,13? 构成既约分数 ?4?只能与?7,11,13?构成既约分数 ?6?只能与?7,11,13? 构成既约分数 ?7?只能与?8,11,12,13? 构成既约分数

11,13?构成既约分数 ?8?只能与?11?只能与?12,13? 构成既约分数 ?12?只能与?13?构成既约分数 ?以上总共有18?2种可能构成既约分数（因为分子和分母对调依然是既约分数），而总的基本事件却有A82种，因此，所得的分数为既约分数的概率为

18?29?。 A8214小小说：对于较少的基本事件或样本点和实在想不出其他有效简便的办法，可用

罗列法。

详解2：因为由两个偶数所组成的分数不是既约分数即最简分数，故既约分数必须分子分母或为7、11、13中的两个或为2、4、6、8、12中的一个和7、11、

21113中的一个组合，则事件A“所得分数为既约分数”包含A3?2A3A5?36个样本

369? 5614ba小小说：由于任意两个数a,b所组成的分数有两种，即或，因此事件A的样

ab点，又样本空间样本点总数为A82?56,故 p(A)?211本点个数不应为C3. ?C3?C5

1.11 一幢10层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客，电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率。

分析：该题考查了古典概型的应用，该题其实与课本的10页的例5中的球投盒子问题的本质上是一样，人都是等可能的从每个楼层口离开和球等可能的投入盒子。因此，可以利用球投盒子的基本思想求解。

详解：由于每个人都等可能的从任意一个电梯口离开（9个），所以总共有97种基本事件。而没有两位及两位以上乘客在同一楼层离开，即为每个楼层至多只有

77一位乘客离开，因此有C9种可能的基本事件（其表示为在9个楼梯口中有7?A77个楼梯口是有乘客离开，因此是C9，而每个人在每个楼层离开都是等可能的，7因此是个全排列问题，即A7）

777C?AA979由上，易知没有两位及两位以上乘客在同一楼层离开的概率为?7 799小小说：这道题其实是与例题中的球投盒子问题一样，所以做概率的题亦可类比

自己所做过的题，譬如球投盒子问题亦可类比计算人生日的概率等问题，有待读者自行思考！

详解2：每位乘客可在除底层外的9 层中任意一层离开电梯，现有7 位乘客，所以样本点总数为9。事件A“没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于“从9 层中任取7 层，各有一位乘客离开电梯”。所以包含A92个样本点，于是

A97P?A??7.

97小小说：其实我们计算生日概率问题也是用到球投盒子问题模型哦！

1.13 一个人把6根草握在手中，仅露出它们的头和尾，然后请一个人把6个头两两相接，6个尾也两两相接。求放开手以后6根草恰好连成一个环的概率。 分析：该题考查了古典概型的用法.

详解：6 根草的情形。取定一个头，它可以与其它的5 个头之一相接，再取另一头，它又可以与其它未接过的3 个之一相接，最后将剩下的两个头相接，故对头而言有?5?3?1?种接法，同样对尾也有?5?3?1?种接法，所以样本点总数为用A表示“6根草恰好连成一个环”，这种连接，对头而言仍有?5?3?1??5?3?1?2。

种连接法，而对尾而言，任取一尾，它只能和未与它的头连接的另4 根草的尾

连接。再取另一尾，它只能和未与它的头连接的另2 根草的尾连接，最后再将其余的尾连接成环，故尾的连接法为?4?2?。所以A包含的样本点数为

2?8? ?5?3?1??4?2?，于是P(A)?5?3?1??4?215?5?3?1?小小说：说实在，这道题也是一种模型，用该模型来解决生活中的连环问题等很

有帮助，所以，大家就稍注意这种类型的模型的应用吧！

1.14某公交汽车站每隔5分钟有一辆汽车到达，乘客到达汽车站的时刻是任意的，求一个乘客候车时间不超过3分钟的概率。

分析：该题考查了几何概型的应用，利用5分钟的时间转为线段的长度来计算。 详解：首先将两车间距的五分钟的时间视为x轴上的A点到B点之间，如图1。 其中B表示为刚离开的车，A表示为快要来的车，若人来到3分钟的区间内即等A车不超过3分钟，

3因此不超过3分钟的概率为。

5小小说：学会将问题转化为别的形式进行求解，

其中，几何概型一维空间有线段，二维空间有平面，三维空间有立体，一般是这三种。

1.15两艘轮船都要停靠同一泊位，他们可能在一昼夜的任意时刻到达。设两船停靠泊位的时间分别为1小时与2小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率。

分析: 甲、乙到达泊位的时间是任意的，等可能性的，是典型的几何概型. 详解:只有当甲船比乙船早到1小时内,或乙船比甲船早到2小时内时,有一艘船停靠泊位时必须等等一段时间.以0点为计算时刻的0时, x,y分别表示甲,乙到达泊位的时间,单位为小时,若以

?x,y?表示平面上的点的坐标,则样本

空间为

???(x,y)|0?x?24,0?y?24?. 设事件

?A??有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间,则

A??(x,y)|(x,y)??,?2?x?y?1?.

如图1.9中阴影部分所示,所求概率为

11?22?22??23?232P(A)?2?0.121小小说：该题将生活中的实际问题巧妙的24?24转化为数学模型解决！还有，在应用几何概型中，一般可以将问题转为线段、平面和立体等.

1.16在线段AB上任取三点x1,x2,x3,，求： (1) x2 位于x1 与x3 之间的概率。 (2) Ax1,Ax2,Ax3能构成一个三角形的概率。 分析：该题考查了几何概型的立体模型的应用！

11详解:(1)由题意可知, x1,x2,x3三点的位置是在线段AB内任意的,故共有A3A2种排列方式, x2位于x1与x3之间,则x1可在x2左边或右边两个位置其中一个,

1x1,x2两点位置确定, x3位置也就唯一确定,故共有C2种情况,记

11C2?,则P(A)?1C11?2?1. A??x2位于x1与x3之间A3A263(2)设线段AB为1个单位长度, x1,x2,x3分别为线段Ax1,Ax2,Ax3的长度, 若以?x1,x2,x3?表示正方体上的点的坐标,则样本空间为

???(x1,x2x3)|0?x1?1,0?x2?1,0?x3?1?.

?,则 设事件B??Ax1,Ax2,Ax3能构成一个三角形若Ax3最长, B???x1,x2,x3?|?x1,x2,x3???,x1?x2?x3?x1?x2? 如图1.10中阴影部分(三角锥体)所示,所求概率为

11??1?1?1132P1(B)??

1?1?161同理,当Ax2,Ax1分别最长时,有P2(B)?P3(B)?

61111故P(B)?P1(B)?P2(B)?P3(B)????

6662

图1.10

小小说：自己都觉得繁琐的说，注意转换为什么样的模式解决问题才更加方面.

1.4设P?AB??PAB,且P?A??p,当A与B相互独立时，求P?B?. 分析：

详解1：因为P?A?B??P?A??P?B??P?AB?

所以P(AB)?P(A?B)1?P(A?B)?1??P(A)?P(B)?P(AB)? ?1?p?P(B)?P(AB) 又因为P(AB)?P(AB)?P(B)?1?p 详解2：?A与B相互独立 ?A与B也相互独立 因此，P(AB)?P(A)P(B),又P?A??p，故PA?1?p 由P(AB)?P(AB),得 p?P(B)??1?p??1?P(B)? 故得P?B??1?p.

小小说：此题亦可删减掉独立条件，也就是详解1中的解法。

1.5 设事件A,B及A?B的概率分别为p,q及r，求P?AB?，PAB，PAB,PAB. 分析：本题考查概率的运算性质。 详解：依题意可得，

P?AB??P?A??P?B??P?A?B??p?q?r

???????????? P?AB??P?B??P?AB??r?p

PAB?P?A??P?AB??p??p?q?r??r?q

PAB?1?PAB?1?P?A?B??1?r

小小说：要掌握基本的定义和公式，请查看我们的教科书和本书的知识点归纳.

1.6设三个事件

A,B,C,P?A??0.4，P?B??0.5，P?C??0.6，P?AC??0.2，P?BC??0.4且AB??,

????求P?A?B?C?.

分析：该题考查了基本定义。 详解：由题，?AB?空集，

?P?AB??0，P?AB??P?ABC??0

P?A?B?C??P?A??P?B??P?C??P?AB??P?AC??P?BC??P?ABC?因此， ?0.4?0.5?0.6?0?0.2?0.4?0?0.9

1.21 12个乒乓球中9个新、3个旧，第一次比赛取出了3个，用完了放回去，第二次比赛又取出3个，求第二次取出的3个球中有2个新球的概率。

分析：该题是一个条件概型，用分类思想较清晰的将解答出. 详解1：该题可分为4种情况考虑：

30C9?C3① 若第一次取出3个新球，发生的概率为P?A1??,当第二次取得时候，3C12就只有6个新球，6个旧球，因此在第一次的条件下,第二次取出2个新球1个旧球的概率为

3011C9?C3C6?C6 P?B|A1???33C12C121C92?C3② 若第一次取出2个新球1个旧球，发生的概率为P?A2??,当第二次取3C12得时候，就只有6个新球，6个旧球，因此在第一次的条件下,第二次取出2个新球1个旧球的概率为

121C92?C3C7?C5 P?B|A2???33C12C12

1C9?C32③ 若第一次取出1个新球2个旧球，发生的概率为P?A3??,当第二次取3C12得时候，就只有6个新球，6个旧球，因此在第一次的条件下,第二次取出2个新球1个旧球的概率为

11C9?C32C82?C4 P?B|A3???33C12C12

03C9?C3④ 若第一次取出3个旧球，发生的概率为P?A1??,当第二次取得时候，3C12就只有6个新球，6个旧球，因此在第一次的条件下,第二次取出2个新球1个旧球的概率为

031C9?C3C92?C3 P?B|A4???33C12C12

因此，其发生的总概率为

P(B)?P?B|A1??P?B|A2??P?B|A3??P?B|A4??0.4552

详解2：解：分析在“第一次取出的3个球中有k个球是新的?k?0,1,2,3?”背景下划分，设事件A表示“第二次比赛时取出的3个球中有2个新球”，事件Bk表示“第一次比赛时用了k个新球?k?0,1,2,3?，所以A??ABk。

k?033,k?0,1,2,3 由古典概型和排列组合知：P?Bk??C9C3k3?kC12如果第一次比赛时用了k个新球，则盒子中还有9-k个新球，有

k?3P?A|Bk??C9?kC,(k?0,1,2,3) 321C123于是按全概率公式得，所求概率P?A???P?Bk?P?A|Bk?

k?0

?C9C3C9C3?C9C3C8C4?C9C3C7C5?C9C3C6C6

0321122121213021?0.455

小小说：其实这两种解法的思想是一样的，不过还是建议大家用第二种解法答题，较为专业，同时也较为简便。

2.23 已知一个母鸡生k个蛋的概率为

?k

k!

e?????0?，而每一个蛋能孵化成小鸡

的概率为p??p?r??pe。 ，证明：一个母鸡恰有r个下一代（即小鸡）的概率为

r!分析：该考查了k重伯努利试验，直接其盖面解答.

详解：令Ak?“母鸡生k个蛋”，A?“母鸡恰有r个下一代”，则在Ak发生的条件下，这k个蛋能否孵化成小鸡相当于做了一个k重伯努利试验：

P?AAk??Ckpr?1?p?rk?r?k?r?，显然A0,A1，A2，....构成一个完备事件，所以由全

?rrk?r概率公式可得：

P?A???P?AAk?P?Ak???Ckp?1?p?k?0k?r??kk!e????p?r???er!???1?p??k?r???p?re??e??1?p????p?re??p

??k?r?!r!r!k?r?????1?p??k?r小小说：大家注意，其中??k?r?!k?r??e??1?p?是利用到泰勒公式来化简的，即

xk为??ex，希望大家有空查阅一下下泰勒展式的几个经典例子. k?0k!

1.23 在某工厂里有甲、乙、丙三台机器生产螺丝钉，它们的产量各占25%，35%，40%，并在各自的产品里，不合格品各占有5%，4%，2%。现在从产品中任取一只恰是不合格品，问此不合格品是机器甲、乙、丙生产的概率分别等于多少？

分析：该题考查了全概型和贝叶斯概型的定义.

详解：设?表示“次品”，A1,A2,A3,A4分别表示“该次品由甲、乙、丙间生产”，那么依题意可知：P?A1??25% P?A2??35% P?A3??40%

P?B|A1??5% P?B|A2??4% P?B|A3??2%

由全概率公式可得：P?B??P?A1?P?B|A1??P?A2?P?B|A2??P?A3?P?B|A3? =25%?5%?35%?4%?40%?2%

=0.0345

由贝叶斯公式知该产品由甲车间生产的概率为：

P?A1|B??P?A1B?P?A1?P?B|A1?25%?5%?= ?3.45%P?B?P?B?69P?A2?P?B|A2?35%?4(?=

3.45iP?B?同理：由乙车间生产的概率：P?A2|B??由丙车间生产的概率：P?A3|B??P?A3?P?B|A3?40%?2??

??PB3.45i

1.20 有朋友自远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是0.3、

1110.2、0.1、0.4。如果他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别是，，，

4312而乘飞机不会迟到。结果他迟到了，试问他是乘火车来的概率是多少？ 详解：设B表示“迟到”，A1，A2，A3，A4分别表示“乘火车、船、汽车、飞机”，则B??BAi

i?14111由题意知P?B|A1??，P?B|A2??，P?B|A3??，P?B|A4??0

4312由全概率公式得：

1113P?B???P?Ai?P?B|Ai??0.3??0.2??0.1??0.4?0?

431220i?14由贝叶斯公式知：他迟到的情况下，乘火车的概率为：10.3?P?A1?P?B|A1?4?0.5 P?A1|B???3P?B?20

小小说：大家当心了，如果我们在开会等候某人时，很无聊很不耐烦，就握起笔根据其平常的习惯计算其迟到的概率，消除自己的不爽.

1.24 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4,0.5,0.7.飞机被一人击中而击落的概率为0.2，被两人击中而击落的概率为0.6，若三人都击中，飞机必定被击落，求飞机被击落的概率。 分析：该题考查了独立事件的应用. 详解：设Ai??第i人击中

??i?1,2,3?，B,C,D分别表示有一人，二人，三人

击中，E表示“飞机被击落”。由于事件E可伴随B,C,D三种情况发生，且B,C,D互不相容。则P?E?属于全概率问题。利用Ai事件的独立性及一些事件的不容性可得：P?B??PA1A2A3?A1A2A3?A1A2A3 ?PA1A2A3?PA1A2A3?PA1A2A3

?0.4?0.5?0.3?0.6?0.5?0.3?0.6?0.5?0.7 ?0.36

????????P?C??PA1A2A3?A1A2A3?A1A2A3??

?PA1A2A3?PA1A2A3?PA1A2A3 ?0.4?0.5?0.3?0.4?0.5?0.7?0.6?0.5?0.7 ?0.41

??????P?D??P?A1A2A3??0.4?0.5?0.7?0.14

又因为P?E|B??0.2 P?E|C??0.6 P?E|D??1 所以P?E??P?B?P?E|B??P?C?P?E|C??P?D?P?E|D?

?0.36?0.2?0.41?0.6?0.14?1 ?0.458

1.20 做一系列独立的试验，每次试验中成功的概率为p ，求在成功n 次之前 已失败了m 次的概率。

分析：该题考查伯努利试验的理解与应用.

详解：用A表示“在成功n次之前已经失败了m次”，B表示“在前n?m?1次试验中失败了m次”，因为每一次试验只有“成功”和“失败”两个结果发生，故在前n?m?1试验是n?m?1重伯努利试验，因此有：

n?1n?1P(B)?B(n?1;n?m?1;p)?Cn(1?p)m ?m?1p用C表示“第n?m次试验成功”则：

n?1n?1mn?1nmP(A)?P(BC)?P(B)P(C)?Cnp(1?p)?p?Cp(1?p) ?m?1n?m?1小小说：伯努利试验室一种非常重要的概率模型，它表示“在同一条件下进行重

复独立试验或观察”的一种数学模型，注意它的应用！

第二章

2.1 解：根据概率的性质，可知：满足?pk?1,k?1?pk?0条件的?pk?为随机变量

的分布律.

(1) ?p1?p2?p3?0.5?0.3?0.2?1，∴是随机变量的分布律. (2) ?p1?p2?p3?0.7?0.1?0.1?0.9?1, ∴不是随机变量的分布律.

n?11?1??3?1?1??1??3(3) ?lim?pi?lim???????????lim??1?n?1????1，

n??n??2n??42?3?2?3??i?1??3??4???n∴不是随机变量的分布律.

n?1?1?21??1???(4) ?lim?pi?lim???????????lim?1?n??1

n??n??2?2??2??i?1??n???2??n ∴是随机变量的分布律.

2.2 解：X的可能取值为3,4,5,且有

2C32C412612P?X?3??3??0.1,P?X?4??3??0.3,P?X?5??3??0.6

C520C520C520则随机变量X的分布律见表2.2.

表2.2

X P

3 0.1

4 0.3

5 0.6

2.3分析：利用概率的性质?Pi?1,(i?1,2,?)可求解得。

i?1? 解：由题意得：?服从几何分布，则有?P???i??1,(i?1,2,3)

i?1327?2?即?C???1,(i?1,2,3)得，C?.

38?3?i?13i

2.4 解：?的可能取13,4,5, 1,2,k,? 依题意，??k表示第k次首次测到合格品，也就是前k?1次都测到不合格品，故有?的分布律为：

?1?P???k?????4?k?1?3???,k?1,2,? ?4?

2.5 解:设X代表所抽取的次数,.讨论以下两种情况. (1)放回情况. X的可能取值为1,2,k,?.

?,B??抽到不合格品?,则有 设事件A??抽到合格品P?A??103,P?B??. 1313依题意，X?k表示第k次首次抽取到合格品，也就是前k?1次都抽取到不合格品，所以, 所抽取的次数X的分布律为:

?3?P?X?k?????13?k?1?10???,k?1,2,? ?13?(2)不放回情况. X的可能取值为1,2,3,4. 且有,

P?X?1??103105,P?X?2????,1313122632105321101P?X?3?????,P?X?4??????

13121114313121110286则抽取的次数X的分布律见表2.5.

表2.5

X P 1 10 132 5263 5 1434 1 286

2.8 解：分别记这两名篮球队员A,B，X,Y分别代表队员A、B投篮次数，则X,Y可能的取值为1,2,k,?.

X?k表示队员A投篮次数为k，也就是前k?1轮回中队员A,B每人各投k?1次，在第k轮回A首先投中，或者A投不中而B投中，所以X的分布律为:

P?X?k???0.6?k?1?0.4?k?10.4??0.6?k?0.4?k?10.6?0.76??0.6?k?1?0.4?k?1,k?1,2,?

同理，投中所以Y的分布律为:

P?Y?k???0.6??0.4?0.6??0.6??0.4?0.4?0.76??0.6??0.4?kk?1kkkk?1,k?1,2,?

2.10设?为该种商品当月销售数，x为该种商品每月进货数，由?~P?7?，则有

7k??P???k??e,k?0,1,2,???0

k!7k??由题意得：P???x??e?0.999,k?0,1,2,?7?0，查泊松分布的数值表，

k!得x?16.

2.8 解：由?~P???，有P???k??则P???1???kk!e??,k?0,1,2,??0

?11e,P???2?????22!e??，

又由P???1??P???2?，可得：??2.

2k?223?24?2??k??e,k?0,1,2,??0，故P???3??e?e 所以P?k!3!3

2?2??2，??cos?的可能取值为1,0,-12.12 解：????2的可能取值为2,?2,333且有

P???2??P???0??1???1???,P????2??P?????,432?2???2?1??P????2??P??????

34??同理：P???1??P???0??1??11?,P???0??P?????,P????1??P?????? 42?24?2则????2与??cos?的分布律见表2.9.1与表2.9.2..

3表2.9.1

?

P

2

1 4??2 31 22??2 31 4表2.9.2

?

1

1 40

1 2?1

1 4P

2.14 解：?X,Y?的可能取值为?1,2?,?1,3?,?1,4?,?1,5?,?2,3?,?2,4?,?2,5?,?3,4?,?3,5?,?4,5?， 依题意，有：P??X,Y???1,2????1231?0.1,P??X,Y???1,3??????0.1, 4543232123211P??X,Y???1,4???????0.1,P??X,Y???1,5????????0.1,

5432543213213221P??X,Y???2,3??????0.1,P??X,Y???2,4???????0.1,

5435432321113221P??X,Y???2,5????????0.1,P??X,Y???3,4???????0.1,

5432154323221132121P??X,Y???3,5????????0.1,P??X,Y???4,5????????0.1.

543215432125故X和Y的联合分布律见表2.10.

表2.10

X Y 1 0.1 0.1 0.1 0.1 2 0 0.1 0.1 0.1 3 0 0 0.1 0.1 4 0 0 0 0.1 2 3 4 5

2.15 解：??,??的可能取值为?0,3?,?1,1?,?2,1?,?3,1?，依题意，有：

130?1?1?1??1?P???,????0,3???C3???,P???,????1,1???C3?????,

8?2?8?2??2?1?1??1?33?1?P???,????2,1???C?????,P???,????3,1???C3???.

?2??2?8?2?8232332所以??,??的联合分布律及边缘分布律见表2.11.

表2.11

? ? 0 1 3 82 3 83 P????i? 3 41 41 3 0 1 81 80 1 81 80.1 3 80 3 8P????i?

1 2.18 解：由题意，可知?????的可能取值为0,1,2,3,4. 且?与?相互独立，

??0??则P???0??P???0，??0??P???0?P?111??， 236P???1??P???1,??0??P???0，??0??P???1?P???0??P???0?P???1? 311211?????,832324321??， 834111P???3??P???3，??0??P???3?P???0????，

8324121P???4??P???3，??1??P???3?P???1????.

8312P???2??P???1，??1??P???1?P???1??因而，?????的分布律见表2.12.

表2.12.

?????

P

0

1 61

11 242

1 43

1 244

1 12

2.13 解：法一：由于随机变量?与?分别服从二项分布：B?k,n1,p?与B?k,n2,p?，故有：

n1?kkk ??P???k??B?k,n1,p??Cnp1?p1kk2 P???k??B?k,n2,p??Cn ??p1?p2n?k所以，

P?????k???P???i,??k?i???P???i?P???k?i?i?0ki?oik?ik?i??Cnpi?1?p?1?Cnp?1?p?12n?ii?0kik?ik??CnCnp?1?p?112i?0n2?k?ikk

n?n2?kn?n2?kk?Cnpk?1?p?11?n2?为法二：设?为n1重伯努利试验中事件A发生的次数(在每次试验中P?A??p)，

n2重伯努利试验中事件A发生的次数(在每次试验中P?A??p)，而?与?相互独

立，所以???为n1?n2重伯努利试验中事件A发生的次数，因而

kP?????k??Cnpk?1?p?11?n2n?n2?k,k?1,?,n1?n2

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