课时跟踪检测(二十五) 平面向量的概念及其线性运算

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课时跟踪检测（二十五） 平面向量的概念及其线性运算

一抓基础，多练小题做到眼疾手快

1．(2016·苏州测试)在△ABC中，已知M是BC中点，设CB＝a，CA＝b，则AM＝________.

11解析：AM＝AC＋CM＝－CA＋CB＝－b＋a.

221答案：－b＋a

2

2．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，CD＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是________．

解析：由已知，得AD＝AB＋BC＋CD＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2BC，故AD∥

BC.又因为AB与CD不平行，所以四边形ABCD是梯形．

答案：梯形

3．已知O，A，B，C为同一平面内的四个点，若2AC＋CB＝0，则向量OC＝________.(用OA，OB表示)

解析：因为AC＝OC－OA，CB＝OB－OC，所以2AC＋CB＝2(OC－OA)＋(OB－OC)＝OC－2OA＋OB＝0，所以OC＝2OA－OB.

答案：2OA－OB

4.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB＋AD＝λ

AO，则λ＝________.

解析：因为ABCD为平行四边形， 所以AB＋AD＝AC＝2AO， 已知AB＋AD＝λAO，故λ＝2. 答案：2

5．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC2＝16，|AB＋AC|＝|AB－

AC|，则|AM|＝________.

解析：由|AB＋AC |＝|AB－AC|可知，AB⊥AC， 则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线，

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1

因此，|AM|＝|BC|＝2.

2答案：2

二保高考，全练题型做到高考达标

1．(2016·南通中学月考)设O是△ABC的外心，则AO，BO，CO是________．(填序号)

①相等向量；②模相等的向量；③平行向量；④起点相同的向量．

解析：由题意，知点O到三个顶点A，B，C的距离相等，所以AO，BO，CO是模相等的向量．显然AO，BO，CO的起点不同且方向均不相同，故填②.

答案：②

2．已知向量a，b，c中任意两个都不共线，但a＋b与c共线，且b＋c与a共线，则向量a＋b＋c＝________.

解析：依题意，设a＋b＝mc，b＋c＝na，则有(a＋b)－(b＋c)＝mc－na，即a－c＝mc－na.又a与c不共线，于是有m＝－1，n＝－1，a＋b＝－c，a＋b＋c＝0.

答案：0

3．在?ABCD中，AB＝a，AD＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则MN＝________(用a，b表示)．

13解析：由AN＝3NC，得4AN＝3AC＝3(a＋b)，AM＝a＋b，所以MN＝(a

24111

a＋b?＝－a＋b. ＋b)－??2?44

11答案：－a＋b

44

4．(2016·启东中学月考)在边长为1的正方形ABCD中，设AB＝a，AD＝b，AC＝c，则|a－b＋c|＝________.

解析：如图所示，

∵a－b＋c＝AB－AD＋AC ＝AB－AD＋AB＋AD ＝2AB＝2a， ∴|a－b＋c|＝2. 答案：2

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5．设O在△ABC的内部，D为AB的中点，且OA＋OB＋2OC＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为________．

1

解析：∵D为AB的中点，则OD＝(OA＋OB)，又OA＋OB2＋2OC＝0，

∴OD＝－OC，∴O为CD的中点， 又∵D为AB中点， 11∴S△AOC＝S△ADC＝S△ABC，

24则

＝4. S△AOCS△ABC

答案：4

33

6．设M是△ABC所在平面上的一点，且MB＋MA＋MC＝0，D是AC的中点，

22|MD|

则的值为________． |BM|

解析：∵D是AC的中点，延长MD至E，使得DE＝MD，

1133

∴四边形MAEC为平行四边形，∴MD＝MD＝(MA＋MC)．∵MB＋MA＋

2222

MC＝0，∴MB＝－2(MA＋MC)＝－3MD，∴1

答案：

3

3

|MD||BM|

＝

1＝.

|－3MD|3

|MD|

7．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|OB－OC|＝|OB＋OC－2OA|，则△ABC的形状为________．

解析：OB＋OC－2OA＝OB－OA＋OC－OA＝AB＋AC，OB－OC＝CB＝AB－AC，

∴|AB＋AC|＝|AB－AC|. 故AB⊥AC，△ABC为直角三角形． 答案：直角三角形

8．已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且BC＝a，CA＝b，给

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1111

出下列命题：①AD＝a－b；②BE＝a＋b；③CF＝－a＋b；④AD＋BE＋CF＝

22220.

其中正确命题的个数为________．

11

解析：BC＝a，CA＝b，AD＝CB＋AC＝－a－b，故①错；

22

BE＝BC＋2CA＝a＋2b，故②正确；

11

CF＝2(CB＋CA)＝2(－a＋b)＝－2a＋2b，故③正确；

1111

∴AD＋BE＋CF＝－b－a＋a＋b＋b－a＝0.

2222∴正确命题为②③④. 答案：3

9.在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设AB＝a，AC＝b，试用a，b表示AD，AG.

111

解：AD＝(AB＋AC)＝a＋b.

222

1111

AG＝AB＋BG＝AB＋3BE＝AB＋3(BA＋BC)

21

＝AB＋(AC－AB) 3311

＝AB＋AC 3311＝a＋b. 33

10．设e1，e2是两个不共线的向量，已知AB＝2e1－8e2，CB＝e1＋3e2，CD＝2e1

－e2.

(1)求证：A，B，D三点共线；

(2)若BF＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求k的值．

解：(1)证明：由已知得BD＝CD－CB＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，∵AB＝2e1

－8e2，∴AB＝2BD.

又∵AB与BD有公共点B， ∴A，B，D三点共线． (2)由(1)可知BD＝e1－4e2，

21

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∵BF＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线， ∴BF＝λBD (λ∈R)， 即3e1－ke2＝λe1－4λe2，

??λ＝3，得? ??－k＝－4λ.

解得k＝12.

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1．在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝23，BC＝2，点E在线段CD上，若AE＝AD＋μAB，则μ的取值范围是________．

解析：由题意可求得AD＝1，CD＝3，所以AB＝2DC. ∵点E在线段CD上， ∴DE＝λDC (0≤λ≤1)．

2μ2μ∵AE＝AD＋DE，又AE＝AD＋μAB＝AD＋2μDC＝AD＋λDE，∴λ＝λ1

1，即μ＝.∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤. 22

1

0，?. 即μ的取值范围是??2?1

0，? 答案：??2?

2.如图，在△ABC中，延长CB到D，使BD＝BC，当点E在线段AD上移动时，若AE＝λAB＋μAC，t＝λ－μ，则t的最大值是________．

解析：设AE＝kAD (0≤k≤1)，则AE＝k(AC＋2CB)＝k[AC＋

2(AB－AC)]＝2kAB－kAC.∵AE＝λAB＋μAC，∴λ＝2k，μ＝－k，∴t＝λ－μ＝3k,0≤k≤1，∴当k＝1时，t取得最大值3.

答案：3

3．已知O，A，B是不共线的三点，且OP＝mOA＋nOB (m，n∈R)． (1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线； (2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.

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证明：(1)若m＋n＝1， 则OP＝mOA＋(1－m)OB ＝OB＋m(OA－OB)， ∴OP－OB＝m(OA－OB)， 即BP＝mBA，∴BP与BA共线． 又∵BP与BA有公共点B， ∴A，P，B三点共线． (2)若A，P，B三点共线， 存在实数λ，使BP＝λBA， ∴OP－OB＝λ(OA－OB)． 又OP＝mOA＋nOB.

故有mOA＋(n－1)OB＝λOA－λOB， 即(m－λ)OA＋(n＋λ－1)OB＝0. ∵O，A，B不共线，∴OA，OB不共线，

??m－λ＝0，∴?∴m＋n＝1. ?n＋λ－1＝0，?

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证明：(1)若m＋n＝1， 则OP＝mOA＋(1－m)OB ＝OB＋m(OA－OB)， ∴OP－OB＝m(OA－OB)， 即BP＝mBA，∴BP与BA共线． 又∵BP与BA有公共点B， ∴A，P，B三点共线． (2)若A，P，B三点共线， 存在实数λ，使BP＝λBA， ∴OP－OB＝λ(OA－OB)． 又OP＝mOA＋nOB.

故有mOA＋(n－1)OB＝λOA－λOB， 即(m－λ)OA＋(n＋λ－1)OB＝0. ∵O，A，B不共线，∴OA，OB不共线，

??m－λ＝0，∴?∴m＋n＝1. ?n＋λ－1＝0，?

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