2总体分布的估计、频率分布表

2.2 第4课时 总体分布的估计、频率分布表

三、数学运用

例1． 从某校高一年级的1002名新生中用系统抽样的方法抽取一个容量为100的身高样

本，如下（单位：cm）．作出该样本的频率分布表．并估计身高不小于170的同学的所占的百分率． 168 1654 171 167 170 165 170 152 175 174 165 170 168 169 171 166 164 155 164 158 170 155 166 158 155 160 160 164 156 162 160 170 168 164 174 170 165 179 163 172 180 174 173 159 163 172 167 160 164 169 151 168 158 168 176 155 165 165 169 162 177 158 175 165 169 151 163 166 163 167 178 165 158 170 169 159 155 163 153 155 167 163 164 158 168 167 161 162 167 168 161 165 174 156 167 166 162 161 164 166 解：（1）在全部数据中找出最大值180与最小值151，它们相差（极差）29，确定全距为30，决定组距为3；

（2）将区间[150.5,180.分，5成10组；分别是[150.5,153.5),[153.5,15…，[177.5,180.5)

（3）从第一组[150.5,153.5)开始分别统计各组的频数，再计算各组的频率，列频率分布

表： 分组 频数累计 频数 频率 [150.5,153.5) 4 4 0．04 [153.5,156.5) 12 8 0．08 100 3 0．03 100 1 合计 根据频率分布表可以估计，估计身高不小于170的同学的所占的百分率为： [156.5,159.5) [159.5,162.5) [162.5,165.5) [165.5,168.5) [168.5,171.5) [171.5,174.5) [174.5,177.5) [177.5,180.5] 20 31 53 72 86 93 97 8 11 22 19 14 7 4 0．08 0．11 0．22 0．19 0．14 0．07 0．04 [0.14?171.5?170?0.07?0.04?0.03]?100%?21%．

171.5?168.5一般地编制频率分布表的步骤如下：

（1）求全距，决定组数和组距；全距是指整个取值区间的长度，组距是指分成的区间的长度

（2）分组，通常对组内的数值所在的区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间； （3）登记频数，计算频率，列出频率分布表．

1

例2．下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高(单位ｃｍ)

[122,126) [126,130) [130,134) [134,138) [138,142) [142,146) 人数 5 8 10 22 33 20 区间界限 [146,150) [150,154) [154,158) 人数 11 6 5 区间界限 (1)列出样本频率分布表﹔

(2)估计身高小于134ｃｍ的人数占总人数的百分比.。

分析：根据样本频率分布表、频率分布直方图的一般步骤解题。 解：（１）样本频率分布表如下：

分组频数频率

[122,126)50.04

[126,130)80.07

[130,134)100.08

[134,138)220.18

[138,142)330.28

[142,146)200.17

[146,150)110.09

[150,154)60.05

[154,158)50.04

合计1201

（2）由样本频率分布表可知身高小于134cm 的男孩出现的频率为0.04+0.07+0.08=0.19，所以我们估计身高小于134cm的人数占总人数的19%． 2．练习：

（1）课本第53页 练习第2题．

（2）列出情境中近年来北京地区7月25日至8月10日的气温的样本频率分布表． （3）有一个容量为45的样本数据,分组后各组的频数如下:

?12.5,15.5?,3;?15.5,18.5?,8;?18.5,21.5?,9;?21.5,24.5?,11;?24.5,27.5?,10;?27.5,30.5?,4.

由此估计，不大于27.5的数据约为总体的 ( A ) A．91% B．92% C．95% D．30% （4）一个容量为20的样本数据，数据的分组及各组的频数如下：

（10，20），2；（20，30），3；（30，40），4；（40，50），5；（50，60），4；（60，70），

则样本在区间（－∞，50）上的频率为 （ B ） A．0.5

B．0.7

C．0.25

D．0.05

2

频率分布直方图与折线图

1．频数条形图

例1．下表是某学校一个星期中收交来的失物件数，请将5天中收交来的失物数用条形图表示．

星期 件数 累计 解：

一 6 6 二 2 8 三 3 11 四 5 16 五 1 17

象这样表示每一天频数的柱形图叫频数条形图． 2．频率分布直方图：

例2．下表是1002名学生身高的频率分布表，根据数据画出频率分布直方图． 分组 频数累计 频数 频率 [150.5,153.5) 4 4 0.04 100 3 0.03 100 1 合计 解：（1）根据频率分布表，作直角坐标系，以横轴表示身高，纵轴表示频率/组距；

[153.5,156.5) [156.5,159.5) [159.5,162.5) [162.5,165.5) [165.5,168.5) [168.5,171.5) [171.5,174.5) [174.5,177.5) [177.5,180.5] 12 20 31 53 72 86 93 97 8 8 11 22 19 14 7 4 0.08 0.08 0.11 0.22 0.19 0.14 0.07 0.04

3

（2）在横轴上标上表示的点；

（3）在上面各点中，分别以连接相邻两点的线段为底作矩形，高等于该组的频率/组距．

频率分布直方图如图：

一般地，作频率分布直方图的方法为：

把横轴分成若干段，每一段对应一个组的组距，以此线段为底作矩形，高等于该组的频率/组距，这样得到一系列矩形，每一个矩形的面积恰好是该组上的频率．这些矩形构成了频率分布直方图． 2．频率分布折线图

在频率分布直方图中，取相邻矩形上底边的中点顺次连结起来，就得到频率分布折线图（简称频率折线图）例2的频率折线图如图：

3．密度曲线

如果样本容量取得足够大，分组的组距取得足够小，则相应的频率折线图将趋于一条光滑的曲线，称这条光滑的曲线为总体的密度曲线．

三、回顾小结：

1．什么是频数条形图、频率直方图、折线图、密度曲线？ 2．绘制频率分布直方图的一般方法是什么？ 3．频率分布直方图的特征：

（1）从频率分布直方图可以清楚的看出数据分布的总体趋势．

（2）从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了．

4

茎叶图

三、建构数学

1．茎叶图的概念：

一般地：当数据是一位和两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物茎上长出来的叶子，因此通常把这样的图叫做茎叶图。茎按从小到大的顺序从上向下列出，共茎的叶一般按从大到小（或从小到大）的顺序同行列出。 2．茎叶图的特征：

（１）用茎叶图表示数据有两个优点：一是从统计图上没有原始数据信息的损失，所有

数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记录与表示；

（２）茎叶图只便于表示两位（或一位）有效数字的数据，对位数多的数据不太容易

操作；而且茎叶图只方便记录两组的数据，两个以上的数据虽然能够记录，但是没有表示两个记录那么直观，清晰；

（３）茎叶图对重复出现的数据要重复记录，不能遗漏． 四、数学运用 1．例题： 例1．（1）情境中的运动员得分的茎叶图如图： （2）从这个图可以直观的看出该运动员平均得分及中位数、众数都在20和40之间，且分布较对称，集中程度高，说明其发挥比较稳定．

例2．甲、乙两篮球运动员在上赛季每场比赛的得分如下，试比较这两位运动员的得分水平． 甲 12，15，24，25，31，31，36，36，37，39，44，49，50．

乙 8，13，14，16，23，26，28，33，38，39，51

解：画出两人得分的茎叶图

从这个茎叶图可以看出甲运动员的得分大致对称平均得分及中位数、众数都是３０多分；乙运动员的得分除一个５１外，也大致对称，平均得

分及中位数、众数都是２０多分，因此甲运动员发挥比较稳定，总体得分情况比乙好．

5

2．练习：

（1） 右面是甲、乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图，据图可知 （ A ） A．甲运动员的成绩好于乙运动员

B．乙运动员的成绩好于甲运动员

C．甲、乙两名运动员的成绩没有明显的差异

D．甲运动员的最低得分为0分

6

甲 乙 0 8 50 1 247 32 2 199 875421 3 36 944 4 1 5 2

2．练习：

（1） 右面是甲、乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图，据图可知 （ A ） A．甲运动员的成绩好于乙运动员

B．乙运动员的成绩好于甲运动员

C．甲、乙两名运动员的成绩没有明显的差异

D．甲运动员的最低得分为0分

6

甲 乙 0 8 50 1 247 32 2 199 875421 3 36 944 4 1 5 2

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