2024年深圳市高三年级第一次调研考试(理科数学)

绝密★启用前 试卷类型：A

2011年深圳市高三年级第一次调研考试

数学（理科） 2011.3

本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：

1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．

3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．

4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．

5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回． 参考公式：

如果事件A、B互斥，那么P(A?B)?P(A)?P(B)； 如果事件A、B相互独立，那么P(AB)?P(A)P(B)； 若柱体的底面积为S，高为h，则柱体的体积为V?Sh；

1若锥体的底面积为S，高为h，则锥体的体积为V?Sh．

3

一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，

有且只有一项是符合题目要求的．

1．已知a，b?R，若a?bi?(1?i)?i3（其中i为虚数单位），则

A．a??1，b?1 C．a?1，b??1

B．a??1，b??1 D．a?1，b?1

2011年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科）试题 第1页 共19页

2．已知p：“a?2”，q：“直线x?y?0与圆x2?(y?a)2?1相切”．则p是q的

A．充分非必要条件 C．充要条件

B．必要非充分条件

D．既非充分也非必要条件

SS3．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若S1?1，4?4，则6的值为

S2S4A．

9 4 B．

3 2 C．

5 4 D．4

4．如图，圆O:x2?y2??2内的正弦曲线y?sinx与x轴围

成的区域记为M（图中阴影部分），随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是 A．C．

y 4 2?2 ?2

B．D．

4 3?2 ?3?? ? ? x

5．在一条公路上每隔10公里有一个仓库，共有5个仓库．一号仓库存有10吨货物，二号仓库存有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两个仓库是空的．现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里，若每吨货物运输1公里需要0.5元运输费，则最少需要的运费是

10200040一号 二号 三号 四号 五号

A．450元

B．500元

C．550元

D．600元

6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积（单位：cm3）为

A．2 B．1

1 1 1 1 1 2C．

3正(主)视图 侧(左)视图

1D．

3

俯视图

2011年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科）试题 第2页 共19页

y27．设平面区域D是由双曲线x??1的两条渐近线和直线6x?y?8?0所围成三角形的

42边界及内部．当(x,y)?D时，x2?y2?2x的最大值为

A．24 B．25 C．4 D．7

，]，部分对应值如下表．f(x)的导函数y?f?8．已知函数f(x)的定义域为[?1 5(x)的图象

如图所示．

x f(x) -1 1 0 2 4 2 5 1

y?1o245x下列关于函数f(x)的命题： ①函数y?f(x)是周期函数； 2]是减函数； ②函数f(x)在[0， t]时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4； ③如果当x?[?1，④当1?a?2时，函数y?f(x)?a有4个零点． 其中真命题的个数有 A．4个 C．2个

B．3个 D．1个

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．本大题分为必做题和选做题

两部分．

（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9．已知全集U?R，集合A为函数f(x)?ln(x?1)的定义域，则eUA= ． 10．设随机变量X~N(1 3，2)，且P(X?0)?P(X?a?6)，则实数a的值为 ． 11．在?ABC中，已知a，b，c分别为?A，?B，?C所对的边，S为?ABC的面积．若

????????222向量p?(4，a?b?c)， q?(1，S)满足p//q，则?C= ．

12．已知命题“?x?R，x?a?x?1?2”是假命题，则实数a的取值范围是 ．

2011年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科）试题 第3页 共19页

13．已知a为如图所示的程序框图中输出的结果，

16)的展开式中含x2项的则二项式(ax?x系数是 ．

（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或 “：=” ）

开始 a?2，i?1 i < 2011 是 否

a?1 1?a输出a 结束 a?11??1ai?i （二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题

的得分．

14．（坐标系与参数方程）在极坐标系中，设P是直线 l:?(cos??sin?)?4上任一点，Q是圆C:?2?4?cos??3上任一点，则PQ的最小值是 ． 15．（几何证明选讲）如图，割线PBC经过圆心O，

OB?PB?1，OB绕点O逆时针旋转120?到OD，连

CDEOBPPD交圆O于点E，则PE? ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步

骤．

16．（本小题满分12分）

x?x?已知函数f(x)?23sin(?)cos(?)?sin(x??)．

2424（1）求f(x)的最小正周期； （2）若将f(x)的图象向右平移[0，?]上的最大值和最小值．

?个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间6

2011年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科）试题 第4页 共19页

17．（本小题满分12分）

第26届世界大学生夏季运动会将于2011年8月12日至23日在深圳举行，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者．将这30名志愿者的身高编成如下茎叶图（单位：cm），这30名志愿者的身高如下： 男 女

9 15 7 7 8 9 9 9 8 16 1 2 4 5 8 9 8 6 5 0 17 2 3 4 5 6 7 4 2 1 18 0 1 1 19

若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”．

（1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？

（2）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用?表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出?的分布列，并求?的数学期望．

18．（本小题满分14分）

如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，?BAC?30?，BM?AC交AC于点M，

EA?平面ABC，FC//EA，AC?4，EA?3，FC?1．

（1）证明：EM?BF；

（2）求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．

E

A

O

? B

2011年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科）试题 第5页 共19页

F

M C

19．（本小题满分14分）

x2 0)、N(0， n)分别是x轴、y已知点F是椭圆?y2?1(a?0)的右焦点，点M(m，21?a??????????????????????轴上的动点，且满足MN?NF?0．若点P满足OM?2ON?PO．

（1）求点P的轨迹C的方程；

（2）设过点F任作一直线与点P的轨迹C交于A、B两点，直线OA，OB与直线

????????，试判断FS?FT是否为定值？若是，求出这个x??a分别交于点S，T（O为坐标原点）定值；若不是，请说明理由．

20．（本小题满分14分）

已知数列?an?是各项均不为0的等差数列，公差为d，Sn为其前n项和，且满足

2an?S2n?1，n?N*．数列?bn?满足bn?1，Tn为数列?bn?的前n项和．

an?an?1（1）求a1，d和Tn；

（2）若对任意的n?N*，不等式?Tn?n?8?(?1)n恒成立，求实数?的取值范围； （3）是否存在正整数m，n(1?m?n)，使得T1,Tm,Tn成等比数列？若存在，求出所有

m，n的值；若不存在，请说明理由．

21．（本小题满分14分）

已知函数f(x)?lnx?（1）当a?a(a?R)． x?19时，如果函数g(x)?f(x)?k仅有一个零点，求实数k的取值范围； 2（2）当a?2时，试比较f(x)与1的大小；

1111(n?N*)． （3）求证：ln(n?1)??????3572n?1

2011年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科）试题 第6页 共19页

2011年深圳市高三年级第一次调研考试

数学(理科)答案及评分标准

说明：

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数． 一、选择题：本大题每小题5分，满分40分． 1 C 2 A 3 A 4 B 5 B 6 C 7 A 8 D

二、填空题：本大题每小题5分，满分30分．

8 ．(??,?3)?(1,??)．9． (??,1] ． 10． 11．． 12．

?413． ?192． 14． 三、解答题 16．（本小题满分12分） 已知函数f(x)?23sin(2?1． 15．

37． 7x?x??)cos(?)?sin(x??)． 2424（1）求f(x)的最小正周期； （2）若将f(x)的图象向右平移

?个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间6[0,?]上的最大值和最小值．

解：（1）f(x)?3sin(x??2)?sinx

?3cosx?sinx ???????????????????2

分

2011年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科）试题 第7页 共19页

13?2(sinx?cosx)

22?2sin(x?分

所以f(x)的最小正周期为2?． ???????????????????6分

（2）?将f(x)的图象向右平移

?3)． ???????????????????4

?个单位，得到函数g(x)的图象， 6?63??????g(x)?f(x?)?2sin?(x?)?? ?6?2sin(x?分

?6)． ???????????????????8

?x?[0,?]时，x?分

??7??[,]， ???????????????????9666?3时，sin(x??当x?分

当x??6??2，即x??6)?1，g(x)取得最大值2． ????10

?6?7??1，即x??时，sin(x?)??，g(x)取得最小值?1．???12662分

【说明】 本小题主要考查了三角函数中诱导公式、两角和与差的正余弦公式、二倍角公式、三角函数的性质和图象，以及图象变换等基础知识，考查了化归思想和数形结合思想，考查了运算能力． 17．（本小题满分12分）

第26届世界大学生夏季运动会将于2011年8月12日至23日在深圳举行，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者，调查发现，这30名志愿者的身高如下：（单位：cm ）

男 女

9 15 7 7 8 9 9 9 8 16 1 2 4 5 8 9 8 6 5 0 17 2 3 4 5 6 7 4 2 1 18 0 1 1 19 2011年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科）试题 第8页 共19页

若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”．

（1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，则至少有一人是“高个子”的概率是多少？

（2）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用?表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出?的分布列，并求?的数学期望．

解：（1）根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，??????????1分

用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是分

所以选中的“高个子”有12?分

用事件A表示“至少有一名“高个子”被选中”，则它的对立事件A表示“没有一名“高个子”被选中”，

237C3? 则P(A)?1?2 ?1?． ????????????51010C551?， ??????????230611?2人，“非高个子”有18??3人．???????366分

因此，至少有一人是“高个子”的概率是分

（２）依题意，?的取值为0,1,2,3． ???????????7分

32C8C114284C8 P(??0)?3?， P(??1)?， ?3C1255C12551C212C314C84 P(??2)?， ． ??????????9分 ?P(??3)??33C1255C12557． ???????????610 因此，?的分布列如下：

? 0 1 2 3 2011年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科）试题 第9页 共19页

p 14 5528 5512 551 55??????10分

?E??0?1428121?1??2??3??1． ??????????1255555555分

【说明】本题主要考察茎叶图、分层抽样、随机事件的概率、对立事件的概率、随机变量的分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，

数

据处理能力和应用意识．

18．(本小题满分14分)

如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，?BAC?30?，BM?AC交AC于点 M，EA?平面ABC，FC//EA，AC?4，EA?3，FC?1． （1）证明：EM?BF；

（2）求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值． 解：（法一）（1）?EA?平面ABC，BM?平面ABC， ?EA?BM．?????1分

又?BM?AC，EA?AC?A， E ?BM?平面ACFE， 而EM?平面ACFE，

?BM?EM． ???????????????3分

?AC是圆O的直径，??ABC?90?． 又??BAC?30?，AC?4，

?AB?23，BC?2，AM?3,CM?1． O M ? A ?EA?平面ABC，FC//EA，FC?1，

?FC?平面ABCD．

??EAM与?FCM都是等腰直角三角形． B ??EMA??FMC?45?．

??EMF?90?，即EM?MF（也可由勾股定理证得）．????????????5

分

F C

?MF?BM?M， ?EM?平面MBF． 而BF?平面MBF，

?EM?BF． ??????????????????????????????6

分

（2）延长EF交AC于G，连BG，过C作CH?BG，连结FH． 由（1）知FC?平面ABC，BG?平面ABC， ?FC?BG．

E

2011年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科）试题 第10页 共19页

而FC?CH?C，?BG?平面FCH． ?FH?平面FCH， ?FH?BG，

??FHC为平面BEF与平面ABC所成的 二面角的平面角． ????????8分 在Rt?ABC中，??BAC?30?，AC?4，

?BM?AB?sin30??3．

由

FCGC1??，得GC?2． EAGA3?BG?BM2?MG2?23．

又??GCH~?GBM，

?GCCHGC?BM2?3?，则CH???1． ????????????11分 BGBMBG23??FCH是等腰直角三角形，?FHC?45?．

?平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为

2． ?????????12分 2（法二）（1）同法一，得AM?3，BM?3． ?????????3分 如图，以A为坐标原点，垂直于AC、AC、AE所在的直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系．

由已知条件得A(0,0,0),M(0,3,0),E(0,0,3),B(3,3,0),F(0,4,1)， z ?????????ME?(0,?3,3),BF?(?3,1,1)． ???4分 ????????由ME?BF?(0,?3,3)?(?3,1,1)?0，

得MF?BF， ?EM?BF． ?????6分 F O ? M C y ????????（2）由（1）知BE?(?3,?3,3),BF?(?3,1,1)． 设平面BEF的法向量为n?(x,y,z)，

A x B 2011年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科）试题 第11页 共19页

?????????????3x?3y?3z?0由n?BE?0,n?BF?0, 得?，

???3x?y?z?0?令x?3得y?1,z?2，?n?3,1,2， ??????????9

??分

????由已知EA?平面ABC，所以取面ABC的法向量为AE?(0,0,3)，

设平面BEF与平面ABC所成的锐二面角为?，

??3?0?1?0?2?32则cos??cos?n,AE??， ??????????11分 ?23?22?平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为2． ????????12分 2【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，考查应用向量知识解决数学问题的能力，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．

19．(本小题满分14分)

x22?y?1(a?0)的右焦点，已知点F是椭圆点M(m,0)、N(0,n)分别是x轴、21?ay轴上的动点，且满足MN?NF?0．若点P满足OM?2ON?PO．

（1）求点P的轨迹C的方程；

B两点，OB与直线x??a（2）设过点F任作一直线与点P的轨迹交于A、直线OA、

????????分别交于点S、T（O为坐标原点），试判断FS?FT是否为定值？若是，求出这个定值；

若不是，请说明理由．

x2?y2?1(a?0)右焦点F的坐标为(a,0)，??????1分 解：（1）?椭圆21?a?????NF?(a,?n)． ??????MN?(?m,n)，

?由MN?NF?0，得n2?am?0． ??????????3分

设点P的坐标为(x,y)，由OM?2ON?PO，有(m,0)?2(0,n)?(?x,?y)，

2011年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科）试题 第12页 共19页

?m??x,?22?y代入n?am?0，得y?4ax． ??????????5分 n?.?2?y12y22（2）(法一)设直线AB的方程为x?ty?a，A(,y1)、B(,y2)，

4a4a则lOA:y?4a4ax，lOB:y?x． ????????????6分 y1y24a?y?x,4a24a2?

y1，得S(?a,?由?)， 同理得T(?a,?)．??????????8

y1y2?x??a?

分

????????????????4a24a216a42． ???9?FS?(?2a,?)，FT?(?2a,?)，则FS?FT?4a?y1y2y1y2分

?x?ty?a,由?2，得y2?4aty?4a2?0，?y1y2??4a2． ????????11?y?4ax分

16a422则FS?FT?4a??4a?4a?0． ??????????132(?4a)2分

????????因此，FS?FT的值是定值，且定值为0． ?????????????14

分

(法二)①当AB?x时， A(a,2a)、B(a,?2a)，则lOA:y?2x， lOB:y??2x．

?????y?2x,由? 得点S的坐标为S(?a,?2a)，则FS?(?2a,?2a)．

x??a??????y??2x,由? 得点T的坐标为T(?a,2a)，则FT?(?2a,2a)． ?x??a?????????FS?FT?(?2a)?(?2a)?(?2a)?2a?0． ???????????????7分

y②当AB不垂直x轴时，设直线AB的方程为y?k(x?a)(k?0)，A(1,y1)、

4a22011年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科）试题 第13页 共19页

2????????16a4y22． ?????????????10B(,y2)，同解法一，得FS?FT?4a?4ay1y2分

?y?k(x?a),由?2，得ky2?4ay?4ka2?0，?y1y2??4a2．????????11?y?4ax分

16a4则FS?FT?4a??4a2?4a2?0． ??????????132(?4a)2分

????????因此，FS?FT的值是定值，且定值为0． ?????????????14

分

【说明】本题主要考查椭圆的方程与性质、向量、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合思想、分类讨论思想、化归与转化思想．

20．(本小题满分14分)

已知数列?an?是各项均不为0的等差数列，公差为d，Sn为其前n项和，且满足

2an?S2n?1，n?N*．数列?bn?满足bn?1，Tn为数列?bn?的前n项和．

an?an?1（1）求a1、d和Tn；

（2）若对任意的n?N*，不等式?Tn?n?8?(?1)n恒成立，求实数?的取值范围； （3）是否存在正整数m,n(1?m?n)，使得T1,Tm,Tn成等比数列？若存在，求出所有

m,n的值；若不存在，请说明理由．

2解：（1）（法一）在an?S2n?1中，令n?1，n?2，

22???a1?S1,?a1?a1,得?2 即? ??????????????2

2???(a1?d)?3a1?3d,?a2?S3,分

2011年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科）试题 第14页 共19页

解得a1?1，d?2， ???????????????3分

?an?2n?1．

?bn??Tn?11111??(?)， anan?1(2n?1)(2n?1)22n?12n?1111111n(1???????)?． ????????5分 23352n?12n?12n?1（法二）??an?是等差数列， ?a1?a2n?1?an 2?S2n?1?a1?a2n?1(2n?1)?(2n?1)an． ??????????2分 222由an?S2n?1，得 an?(2n?1)an，

又?an?0，?an?2n?1，则a1?1,d?2． ?????????3分

(Tn求法同法一)

（2）①当n为偶数时，要使不等式?Tn?n?8?(?1)n恒成立，即需不等式

(n?8)(2n?1)8?2n??17恒成立． ?????????????6分

nn8 ?2n??8，等号在n?2时取得．

n?? ????????????????7分 ?此时? 需满足??25．

②当n为奇数时，要使不等式?Tn?n?8?(?1)n恒成立，即需不等式

??分

(n?8)(2n?1)8?2n??15恒成立． ?????????????8

nn ?2n?88是随n的增大而增大， ?n?1时2n?取得最小值?6． nn2011年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科）试题 第15页 共19页

????????????????9分 ?此时? 需满足???21．

综合①、②可得?的取值范围是???21． ????????????????10分 （3）T1?1mn,Tm?,Tn?， 32m?12n?1m2nm21n)?()，即? 若T1,Tm,Tn成等比数列，则(．?1122m?132n?14m?4m?16n?3分

m2n3?2m2?4m?1??0， （法一）由， 可得?4m2?4m?16n?3nm22即?2m?4m?1?0， ?????????????12分

?1?66． ??????????????13分 ?m?1?22又m?N，且m?1，所以m?2，此时n?12．

因此，当且仅当m?2， n?12时，数列?Tn?中的T1,Tm,Tn成等比数列．????14分

m21n11?，即2m2?4m?1?0， （法二）因为??，故24m?4m?166n?36?36n?1?66，（以下同上）． ????????????????13分 ?m?1?22【说明】考查了等差数列、等比数列的概念及其性质，以及数列的求和、利用均值不等式求最值等知识；考查了学生的函数思想方法，及其推理论证和探究的能力． 21．（本小题满分14分）

2011年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科）试题 第16页 共19页

已知函数f(x)?lnx?（1）当a?

a(a?R)． x?19

时，如果函数g(x)?f(x)?k仅有一个零点，求实数k的取值范围； 2

（2）当a?2时，试比较f(x)与1的大小； （3）求证：ln(n?1)?解：（1）当a?

1111?????（n?N*）． 3572n?199时，f(x)?lnx?，定义域是(0,??)， 22(x?1)f?(x)?分

119(2x?1)(x?2)?x?x?2． ?2f(x)?0， 令，得??2或x2(x?1)22x(x?1)211或x?2时，f?(x)?0，当?x?2时，f?(x)?0， 22

11 ?函数f(x)在(0,)、(2,??)上单调递增，在(,2)上单调递减． ?????4

22?当0?x?分

13?f(x)的极大值是f()?3?ln2，极小值是f(2)??ln2．

22?当x??0时，f(x)???； 当x???时，f(x)???， ?当g(x)仅有一个零点时，k的取值范围是k?3?ln2或k?2，定义域为(0,??)． x?12?1， 令h(x)?f(x)?1?lnx?x?1 （2）当a?2时，f(x)?lnx?3?ln2．?????5分 212x2?1 ?h?(x)????0，

x(x?1)2x(x?1)2 ?h(x)在(0,??)上是增函数． ?????????????7分

①当x?1时，h(x)?h(1)?0，即f(x)?1； ②当0?x?1时，h(x)?h(1)?0，即f(x)?1；

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③当x?1时，h(x)?h(1)?0，即f(x)?1． ?????????????9

分

（3）（法一）根据（2）的结论，当x?1时，lnx?2x?1?1，即lnx?． x?1x?1nk?1k?11k?1n1?令x?，则有ln， ??ln． ?????12分 ??kk2k?1k2k?1k?1k?1n?ln(n?1)??lnk?1k?1， k?ln(n?1)?分

111????． ??????????????14352n?1 (法二)当n?1时，ln(n?1)?ln2．

?3ln2?ln8?1，?ln2?分

1，即n?1时命题成立． ????????????103111????． 352k?1时

，

设当n?k时，命题成立，即 ln(k?1)? ?n?k?1k?21k?1n????k???ln( ?．k?1352k?1k?12x?1?1，即lnx?根据（2）的结论，当x?1时，lnx?． x?1x?1k?2k?21?令x?，则有ln，

k?1k?12k?31111?则有ln(k?2)?????，即n?k?1时命题也成立．?????13

352k?12k?3ln?分

因此，由数学归纳法可知不等式成立． ????????????14y分

（法三）如图，根据定积分的定义，

n1111?1??dx．??11分 得?1??1???12x?1572n?1 nn111 ??dx??d(2x?1) 12x?1o1 2 3 4 5 6 212x?1 ? n-1 n x k2011年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科）试题 第18页 共19页

11nln(2x?1)1?[ln(2n?1)?ln3]， 22n111111111??(???)???dx ??????3572n?1352n?1312x?111??[ln(2n?1)?ln3]． ????????????1232?分

112?3ln31??[ln(2n?1)?ln3]?ln(n?1)??[ln(2n?1)?ln(n2?2n?1)]， 3262又?2?3?3ln3，ln(2n?1)?ln(n2?2n?1)，

11??[ln(2n?1)?ln3]?ln(n?1)． 32111??????ln(n?1)． ?????????????14分 352n?1【说明】本题主要考查函数导数运算法则、利用导数求函数的极值、证明不等式等基础知识，考查分类讨论思想和数形结合思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力和创新意识．

命题人：喻秋生 周后来 李樱梅 殷木森

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