1?613?2a??a(?)，解得a?3或a??2（舍） 2222x2?椭圆的方程为：?y2?1????????????????????????5分
3（Ⅱ）设M(x1,y1)，N(x2,y2) ??x22??y?1由?3可得：(3k2?1)y2?2my?m2?3k2?0 ?y?kx?m?2mm2?3k2，y1y2???③?????????????????6分 ?y1?y2?23k?13k2?1（ⅰ） ?直线l过E(1,0)，?k?m?0??④ ???????????EM?2EN?0，?(x1?1,y1)?2(x2?1,y2)?(0,0)
从而y1?2y2?0??⑤
由③④⑤可得：k?1,m??1，或k??1,m?1
?直线l的方程为y?x?1或y??x?1 ???????????????????9分
（ⅱ） ?坐标原点O到直线l的距离为3， 2?|m|k2?1?33?m2?(k2?1)??⑥
42结合③：|MN|?1?112|y?y|?1??(y?y)?4y1y2 211222kk12m2m2?3k2??⑦ ?1?2?(2)?4?2k3k?13k?13(k2?1)(9k2?1)由⑥⑦得：|MN|? 22(3k?1)1333(k2?1)(9k2?1)??????????????11分 S?MON??|MN|??224(3k2?1)22令3k?1?t?(1,??)
则S?MON33(k2?1)(9k2?1)3(t?2)(3t?2) ??4(3k2?1)24t233t2?4t?431213112???4()?4()?3??4(?)?4 24t4tt4t211332当?，即3k?1?2，亦即k??时，?MON面积的最大值为????14分 t232
命题意图:本题考查圆与椭圆的方程,直线与椭圆的位置关系,三角形面积及最值问题。
山东省临沂市2018届高三统一质量检测（一模）
数学理试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 注意事项：
1．答卷前，考生务必用2B铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
＝{x||x?1|?1}，B?{x|x??1}，则(e RA)?B? 1. 已知集合AA．[?1,0]
B．[?1,0)
C．(?2,?1)
D．(?2,?1]
2. 设(1?i)(x?yi)?2，其中x,y是实数，i为虚数单位，则x?y? A．1 B．2 C．3 D．2
????3. 已知??R,向量a??3,??,b????1,2?，则“??3”是“a//b”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4. 中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横式，如图，
当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样， 把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码
中国古代的算筹数码
的筹式
1 2 3 4 5 6 7 8 9
小竹棍
纵式 横式
两种形
需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如6613用
算筹表示就是，则8335用算筹可表示为 A． B． C． D．
n?1 开始 输入x
n?n?1 5. 已知实数x?[1,10]，执行如右图所示的程序框图，
x?2x?1 则输出的x不大于63的概率为
n?3? 否 输出x 结束 是 31A． B．
10332C． D．
53?x?y?2?0?6. 若x,y满足?x?y?4?0，则z?y?2x的最大值为
?y?0?A．8 B．4 C．1 D．2 7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
816?8?2 A．?8? B．
33C．
8. 在?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若1?2 主视图 4 侧视图
816?16? D．?16? 332 2 tanA2c?，则A? tanBb俯视图
A．30? B．45? C．60? D．120? 9. 已知x?1，y?1，且lgx，A．最小值10
1，lgy成等比数列，则xy有 4D．最大值10 B．最小值10 C．最大值10
32x2y22210. 已知双曲线C1:2?2?1(a?0,b?0),圆C2:x?y?2ax?a?0,若双曲线C1的一条渐近线
4ab与圆C2有两个不同的交点，则双曲线C1的离心率的范围是 A．(1,
2323) B．(,??) C．(1,2) D．(2,??) 33第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 已知变量x,y具有线性相关关系,它们之间的一组数据如下表所示,若y关于x的线性回归方程为
??1.3x?1，则m? ； y
x y 1 2 3 4 0.1 1.8 m 4 12. 设随机变量?~N(?,?2)，且P(???3)=P(???)=0.2， 则P(?1????)= ；
?2x,x?2,13. 已知函数f(x)?? 则f(log27)? ；
f(x?1),x?2,?14. 已知m??2 0 ?9cosxdx，则(1?x)m展开式中常数项为 ； xx2x3x2x3?，设函数F(x)?f(x?4)?g(x?3)， 15. 已知函数f(x)?1?x??，g(x)?1?x?2323且函数F(x)的零点均在区间[a,b]（a?b,a,b?Z）内，则b?a的最小值为 ．
三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
16. （本小题满分12分）
已知函数f(x)?sin(2x??)?cos(2x?)?2sinxcosx.
36?（Ⅰ）求函数f(x)图象的对称轴方程；
?个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐12?标不变，得到函数y?g(x)的图象，求y?g(x)在[,2?]上的值域.
3（Ⅱ）将函数y?f(x)的图象向右平移
17．（本小题满分12分）
已知数列{an}的前n项和为Sn,a1?1,且an?1?2Sn?1,n?N. （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）令cn?log3a2n，bn?求实数?的取值范围.
18．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是边长为3的菱形，?ABC?60?，PA?平面ABCD，
?1 ，记数列{bn}的前n项和为Tn，若对任意n?N?，??Tn恒成立，
cn?cn?2PA?3，F是棱PA上的一个动点，E为PD的中点．
（Ⅰ）若AF?1，求证：CE//平面BDF； （Ⅱ）若AF?2，求平面BDF与平面PCD 所成的锐二面角的余弦值．
PEFADBC19．（本小题满分12分）
某科技博览会展出的智能机器人有A,B,C,D四种型号，每种型号至少有4台.要求每位购买者只能购买1台某种型号的机器人，且购买其中任意一种型号的机器人是等可能的.现在有4个人要购买机器人. （Ⅰ）在会场展览台上，展出方已放好了A,B,C,D四种型号的机器人各一台，现把他们排成一排表演节目，求A型与B型相邻且C型与D型不相邻的概率；
（Ⅱ）设这4个人购买的机器人的型号种数为?，求?的分布列和数学期望．
20．（本小题满分13分）
已知函数f(x)?12x?ax，g(x)?ex，a?R且a?0，e?2.718?，e为自然对数的底数． 2（Ⅰ）求函数h(x)?f(x)?g(x)在[?1,1]上极值点的个数；
（Ⅱ）令函数p(x)?f?(x)?g(x)，若?a?[1,3]，函数p(x)在区间[b?a?ea,??)上均为增函数，求证：
b?e3?7．
21．（本小题满分14分）
x22已知椭圆?:2?y?1(a?1)的左焦点为F1，右顶点为A1，上顶点为B1，过F1、A1、B1三点的圆
aP的圆心坐标为(3?21?6,)． 22（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线l:y?kx?m（k,m为常数，k?0）与椭圆?交于不同的两点M和N．
??????????（ⅰ）当直线l过E(1,0)，且EM?2EN?0时，求直线l的方程；
（ⅱ）当坐标原点O到直线l的距离为
3时，求?MON面积的最大值． 2山东省临沂市2018届高三统一质量检测（一模）
数学理试题参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分． B D A B D B A C B A
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11.3.1； 12. 0.3； 13.
7； 14．?84； 15．6. 2三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）f(x)?sin(2x??)?cos(2x?)?2sinxcosx
36??sin2xcos?3?cos2xsin?3?cos2xcos?6?sin2xsin?6+sin2x，
?3cos2x?sin2x?2sin(2x?) ， ?????????????????4分
3???1+k?,k?Z， 由2x???k?,k?Z可得: x?32122?1+k?,k?Z.????????????6分 ∴函数f(x)图象的对称轴方程为 x?122??（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)?2sin(2x?)，将函数y?f(x)的图象向右平移个单位得到函数
312?y?2sin(2x?)的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数
61?g(x)?2sin(x?)的图象，????????????????10分
26??1?7∵?x?2?，∴?x??? 332661??22∴当x??，即x??时，ymax?g(?)?2
262331?7当x???，即x?2?时，ymin?g(2?)??1 266∴函数y?g(x)的值域为[?1,2] ?????????????????????12分
命题意图:本题考查三角变换,三角函数的对称轴的性质,图象平移,最值问题。 17．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）当n?2时，an?1?2Sn?1，an?2Sn?1?1 两式相减得：an?1?an?2(Sn?Sn?1)?2an
??an?1?3 ???????????????????????????????3分 an?a1?1，?a2?2S1?1?2a1?1?3，即
a2
a?3 1
?{an}是以1为首项，以3为公比的等比数列
从而an?3n?1 ?????????????????????????????5分 （Ⅱ）?cn?log3a2n，?cn?2n?1，?cn?2?2n?3
b1n??2n?1??2n?3??1114(2n?1?2n?3)
∴T11111111n?4(1?5?3?7?5?9???2n?3?12n?1?12n?1?12n?3) =11111114(1?3?2n?1?2n?3) =3?4(2n?1?12n?3) ????????????10分 由于Tn的增大而增大，所以T1n随着n最小值为T1?5? 所求?的取值范围为：??1 5??????????????????????12分
命题意图:本题考查an,Sn的关系,等比数列的通项公式,裂项相消求和及恒成立问题。
18．（本小题满分12分）
Pz解：（Ⅰ）证明：过E作EG//FD交AP于G,连接CG,
BD于O,连接FO. GE∵EG//FD,EG?面BDF,FD?面BDF，
∴EG//面BDF， ???????????2分
F?底面ABCD是菱形，?O是AC的中点，
A?E为PD的中点，?G为PF的中点，
D?AF?1，PA?3，?F为AG的中点，
O?OF//CG
?CG?面BDF,OF?面BDF， xBCy∴CG//面BDF，????????????????????????????4分 又EG?CG?G，EG,CG?面CGE，
∴面CGE//面BDF，
又CE?面CGE，∴CE//面BDF, ????????????????????5分 （Ⅱ）?底面ABCD是边长为3的菱形，?AC?BD
以O为原点，OB所在的直线为x轴，建立坐标系如图所示， ?底面ABCD是边长为3的菱形，?ABC?60?，
?AC?3，BD?33 又?PA?3，PA?面ABCD，
?B(332,0,0)，D(?332,0,0)，C(0,32,0)，P(0,?32,3) ?AF?2，?F(0,?32,2)， ??????????????????????7分
设平面BDF的法向量为?n?1?(x1,y1,z1)
???BD??(?33,0,0)，???BF??(?332,?32,2) 连接AC交
???n????1?BD???x1?0由?33x1?0?????n???BF???333???33 1?2x1?2y1?2z1?0??2x?312y1?2z1?0令y3??31?2，则z1?2，取n1?(0,2,) ????????????????????9分
设平面PCD的法向量为?n??22?(x2,y2,z2)
???PC??(0,3,?3)，???PD??(?33,3,?3) ???n?????222?PC?3y2?3z2?0由???????????33?y2?z2?n2?PD??2x?3?? 22y2?3z2?0???3x2?y2?2z2?0令x???2?3，则y2?z2??3，取n2?(3,?3,?3)??????????????11分
设平面BDF与平面PCD所成锐二面角的平面角为cos??cos???n?????n1???n??6?921,n2??2|??n???|??21????????????12分 1|?|n2552?21命题意图:本题考查线面平行的判定定理,面面平行的性质定理, 用向量求二面角。 19．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）4台机器人排成一排的情况有A44种，
A型与B型相邻且C型与D型不相邻的情况有A222A2
故所求的概率为P?A2A222A4?1 ???????????????????????4分 46（Ⅱ）由题意：??1,2,3,4 P(??1)?C14144?64
C31C11211P(??2)?4C43?2C4C4C32144?64 P(??3)?C2124C4A3944?16 4P(??4)?A4344?32
所以?的分布列为：
? 1 2 3 4
P 1 2193
6464 16 32 ????????????????????????????????10分
，则
?所以E(?)?1?12193175?2??3??4????????????????12分 6464163264命题意图:本题考查排列组合的邻与不邻、分组问题,随机变量的分布列及期望问题。
20．（本小题满分13分） 解:（Ⅰ）?h(x)?f(x)?g(x)?(x?ax)e
122x1212x[x?2(a?1)x?2a]ex ?????????1分
22令h?(x)?0，得x2?2(a?1)x?2a?0
则h?(x)?(x?a)e?(x?ax)e?x因为??4(a?1)2?8a?4a2?4?0
22所以x1??(a?1)?a?1,x2??(a?1)?a?1 令v(x)?x2?2(a?1)x?2a，则v(?1)?1?2(a?1)?2a??1?0
所以v(x)?x2?2(a?1)x?2a?0的两个根x1??1,x2??1 ??????????3分 因为v(1)?1?2(a?1)?2a?4a?3 所以当4a?3?0，即a??3时，x2?1，?在(?1,1)上v(x)?0，h?(x)?0， 4h(x)在(?1,1)单调递减，不存在极值点????????????????????4分
3当4a?3?0，即a??时，x2?1，在(?1,x2)上v(x)?0，h?(x)?0，h(x)在(?1,x2)上单调递减，
4在(x2,1)上v(x)?0，h?(x)?0，h(x)在(x2,1)上单调递增，所以h(x)有一个极小值点
x2??????????????????????????????6分
3综上可知，当a??时，h(x)的极值点个数为0；
43当a??时，h(x)的极值点个数为1 ????????????????????7分
4x（Ⅱ）由题意p(x)?f?(x)?g(x)?(x?a)e
xxx则p?(x)?e?(x?a)e?(x?a?1)e
所以(x?a?1)e?0在[b?a?e,??)上恒成立 ???????????????9分 化简得x?a?1?0即x??a?1在[b?a?e,??)上恒成立
所以b?a?e??a?1即b?e?2a?1 ??????????????????11分 令u(a)?e?2a?1，则u?(a)?e?2
因为a?[1,3]，所以u?(a)?0，u(a)在[1,3]上单调递增
所以u(a)?u(3)?e?7，所以b?e?7 ?????????????????13分 命题意图:本题考查函数的极值,二次函数图象,恒成立,分类讨论问题。 21．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）?A1(a,0)，B1(0,1)，?A1B1的中点为(,)，A1B1的斜率为?∴A1B1的垂直平分线方程为y?33aaxaaaaa1221 a1a?a(x?)?????????????????2分 22P在A1B1的垂直平分线上. ∵圆P过点F1、A1、B1三点，∴圆心
1?613?2a??a(?)，解得a?3或a??2（舍） 2222x2?椭圆的方程为：?y2?1????????????????????????5分
3（Ⅱ）设M(x1,y1)，N(x2,y2) ??x22??y?1由?3可得：(3k2?1)y2?2my?m2?3k2?0 ?y?kx?m?2mm2?3k2，y1y2???③?????????????????6分 ?y1?y2?23k?13k2?1（ⅰ） ?直线l过E(1,0)，?k?m?0??④ ???????????EM?2EN?0，?(x1?1,y1)?2(x2?1,y2)?(0,0)
从而y1?2y2?0??⑤
由③④⑤可得：k?1,m??1，或k??1,m?1
?直线l的方程为y?x?1或y??x?1 ???????????????????9分
（ⅱ） ?坐标原点O到直线l的距离为3， 2?|m|k2?1?33?m2?(k2?1)??⑥
42结合③：|MN|?1?112|y?y|?1??(y?y)?4y1y2 211222kk12m2m2?3k2??⑦ ?1?2?(2)?4?2k3k?13k?13(k2?1)(9k2?1)由⑥⑦得：|MN|? 22(3k?1)1333(k2?1)(9k2?1)??????????????11分 S?MON??|MN|??224(3k2?1)22令3k?1?t?(1,??)
则S?MON33(k2?1)(9k2?1)3(t?2)(3t?2) ??4(3k2?1)24t233t2?4t?431213112???4()?4()?3??4(?)?4 24t4tt4t211332当?，即3k?1?2，亦即k??时，?MON面积的最大值为????14分 t232
命题意图:本题考查圆与椭圆的方程,直线与椭圆的位置关系,三角形面积及最值问题。
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