含参量反常积分一致收敛的判别法

题 目 含参量反常积分一致收敛的判别法

学生姓名 学 号 系 别 数学系 年 级 2010级 专 业 数学与应用数学 指导教师 职 称 完成日期

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摘 要

含参变量的反常积分是研究和表达函数的的有力工具。要更好的研究含参量反常积分所表达的函数，关键问题在于判断他的一致收敛性。本文通过研究判断含参量反常积分一致收敛的判别法,以帮助研究含参量反常积分所表达的函数。 关键词：含参量反常积分;一致收敛;判别法

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Abstract

Improper integral with variable is the study and expression tool function. To better function of parameter improper integral expression of the key problem lies in the judgment, the uniform convergence of his. Through the study of judging function discriminant method of parameter improper integral converges uniformly to help the study of parameter improper integral expression.

Key words: Improper integral with variable; uniform convergence; discriminant analysis

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目 录

1引言 ·····································································································(1) 2基本概念 ·······························································································(1)

2.1含参量反常积分·················································································(1) 2.2含参量反常积分一致收敛·································································(2)

3含参量反常积分一致收敛的判别方法 ········································(2)

3.1定义法·································································································(2) 3.2柯西准则法·························································································(3) 3.3变上限积分的有界性法·····································································(3) 3.4确界法·································································································(4) 3.5微分法·································································································(5) 3.6级数判别法·························································································(6) 3.7维尔斯特拉斯判别法（简称M判别法） ·······································(6) 3.8狄里克莱判别法·················································································(8) 3.9阿贝尔判别法·····················································································(8)

4结束语 ··············································································· (1)

参考文献 ····································································································(10) 致谢 ·············································································································(11)

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含参量反常积分一致收敛的判别法

柯美蓉

（闽江学院 数学系；福建 福州 350108）

1.引言

含参量反常积分是微积分学中一类重要的积分,是研究和表达函数，特别是非初等函数的有力工具.为了讨论含参变量反常积分的连续性、可微性和可积性，我们需要引进含参变量反常积分的一致收敛性的概念，它和函数项级数的一致收敛性的意义是相当的.

现行的数学分析教材[1-3

、5]

给出的含参量反常积分的一致收敛的判别法主要

是一致收敛定义、柯西准则、维尔斯特拉斯判别法、狄里克莱判别法及阿贝尔判别法，它们都有一定的局限性，不适用于每种含参量反常积分的一致收敛性的判别.

为了更好的判别含参量反常积分的一致收敛性，本文研究、归纳了判别含参量反常积分的一致收敛性的九种方法:一致收敛定义、柯西准则法、变上限积分的有界法、确界法、微分法、级数辨别法、魏尔斯特拉斯M判别法、狄克雷判别法和阿贝尔判别法,并且给出了典型例子以说明每种判别法的特点，以便于人们的研究、理解.

2.基本概念

2.1 含参量反常积分

设函数f(x,y)定义在无界区域R?{(x,y)a?x???,y?I}上，其中I为区间

?c,d?,反常积分?a

??f(x,y)dx都收敛，则它的值是 y在?c,d?上取值的函数，当记

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这个函数为?(y)时，则有

?(y)??称???a??a f(x,y)dx,y?I， （2-1）

f(x,y)dx式为定义在I上的含参量y的无穷限反常积分，或简称含参量反常

积分[1].

2.2 含参量反常积分一致收敛 若含参量反常积分???af(x,y)dx与函数?(x)对任给的正数,存在某一实数N?a，使得当M?N时,对一切y??c,d?都有 即 则称含参量反常积分?积分? ??a???Ma （2-2） f(x,y)dx??(y)??，???M f(x,y)dx??， （2-3）af(x,y)dx在I上一致收敛于?(y)，或者简单的说含参量f(x,y)dx在I上一致收敛. 3.含参量反常积分一致收敛的判别方法 3.1 定义法 定义判别法：根据以上2.2 关于含参量反常积分一致收敛的定义进行判别. 例3-1 证明：含参量反常积分?xe?xydy在?0,???内不一致收敛，但是在??,???上0??一致收敛（其中??0）[2]. 分析 由含参量反常积分一致收敛定义可知，含参量反常积分???0f?x,y?dy在?0,???上不一致收敛指：存在?0?0对任何实数A0?0,总存在A?A0和x??0,???， st证明 1）当x?0时， ???A（3-1） f?x,y?dy??0. ?

??Axedy??xy令t?xy???Axe?tdt ??Ax ??e?t6

?e?Ax 11取?0? ，?A0?0，取A?A0,x???0,???, 10A有 ??1A???Axedy?e?xy?Ax?e?A??e?1?1??0， 10?含参量反常积分?xe?xydy在?0,???内不一致收敛. 02)由1）可知 ?xe?xydy?e?Ax， A??1111???0，e?Ax??可知A?ln，故可取A0?ln， x???则当A?A0时，对所有的x???,???有 ?????Axe?xydy?e?Ax??， 从而含参量反常积分?xe?xydy在??,???上一致收敛. 0用含参量反常积一致收敛的定义证明含参量反常积分的一致收敛性，通常使用的方法是适量放大. 3.2 柯西准则法 定理3-1（一致收敛柯西准则） 含参量反常积分???af(x,y)dx在I区间上一致收敛????0,?N?a,stA1,A2?N，A2?A1时，对?y?I，有 ?A2A1（3-2）f(x,y)dx??. 注：使用柯西准则讨论一致收敛性具有很大的优越性，难度大大减少，这是因为使用这方法只要考虑充分后的有限区间?A?,A???,而不要考虑充分后的无穷区间?A,???[3]. 例3-2 设f?x,y?在无界区域R?{(x,y)a?x?b,c?y???}上连续，对所有x??a,b?，含参量反常积分???cf?x,y?dy收敛，但x?b时积分发散，证明：???cf?x,y?dy在x??a,b?上非一致收敛. ??c证明 1）??

f?b,y?dy发散， 7

A?? ???0?0，?A0?0,?A???A??A0,st?f?b,y?dy?2?A?0. 2）?f?x,y?在无界区域R?{(x,y)a?x?b,c?y???}上连续， ?在有界闭区域R?{(x,y)a?x?b,A??y?A??}上一直连续， ?对?0?0，???0，当x1,x2??a,b?，y1,y2??A?,A???， x1?x2??， y1?y2??，有 f?x1,y1??f?x2,y2?? ?当x?b??时，有 f?x,y??f?b,y?? ??0A???A?， ?0A???A?， ??f?x,y??f?b,y??dy??A?A??0 3）根据1）、2）可得 ?A??A?f?x,y?dy???f?x,y??f?b,y??dy??A?A??A??A?f?b,y?dy ??A??A?f?b,y?dy???f?x,y??f?b,y??dy A?A?? ??0, ???0?0，?A0?c，?A???A??A0,x??a,b?， st?f?x,y?dy??0. A?A??所以???cf?x,y?dy在x??a,b?上非一致收敛. 3.3 变上限积分的有界性法 定理3-2 若函数f(x,y)在无界区域R?{(x,y)a?x???,y?I}，(a?0)连续，且?M?0,??x,y??R，有 F?x,y??x （3-3） ?f?t,y?dt?M，ax即F?x,y???f?t,y?dt在R有界，则当??0,含参量反常积分?aI上一致收敛[4]. ??af?x,y?dy在区间x?（分析：由给定的条件可以推理出满足狄利克雷判别法的条件的） 证明 1）??M?0,??x,y??R，有 F?x,y??即F?x,y???f?t,y?dt在R有界； ax?f?t,y?dt?M， ax 8

2）对所有的y??c,d?，当x???时，对于参变量y，1关于x是单调递减的； 则由狄利克雷判别法可得到含参量反常积分?例3-3 判断含参量反常积分?e??x0????ax?一致收敛于0，且1x?f?x,y?dy在区间I上一致收敛. ?xsinxdx在区间?0,???的一致收敛性. 5x解 依题意可得：F?x,???F1?x,???F2?x,??， 其中 F1?x,????e??tsintdt， 01F2?x,????e??tsintdt， 1x???x,???R?1?x???,0??????， 有 F2?x,???10?x1e??tsintdt?2?1?????e?0?????? 1??2而F1?x,????e??tsintdt是定积分，所以必然有界， 即?M，??x,???R，使得 F?x,???又?n?5?0 ?含参量反常积分?e??x0??x?0e??tsintdt?M； sinxdx在区间?0,???是一致收敛的. 5x3.4 确界法 定理3-3 含参量积分???af?x,y?dx在I上一致收敛?limsup?[y?I??Af?x,y?dx?0. 例3-4 分析讨论含参量积分??e?x?dx????0,????的一致收敛性[5]. 0??解 1）当??0时，令t?x?，可得 ???A?e?x?dx??e?tdt ?A???A?? ??e?t ?e??A， ?F?A??sup???0,???A????e?x?dx?1 ， 9

即 A?????limF?A??1?0， ?含参量反常积分?xe?xydy在?0,???内不一致收敛. 02）若任取??0，就能发现 F?A??sup?limF?A??0 A???????,???A????e?x?dx?e??A， 从而含参量反常积分?xe?xydy在??,???上一致收敛. 0??3.5 微分法 定理3-4 设1）函数f?x,y?关于y??c,d?可微； 2）???afy?x,y?dx关于y??c,d?一致收敛； ??a3）存在一点y???c,d?，使得含参量积分?则含参量反常积分???af(x,y?)dx收敛； f(x,y)dx在?c,d?上一致收敛[6]. 证明 对?y??c,y??，在?y,y????c,d?，对?x??a,???有 f?x,y???f?x,y???fy?x,y?dy??????????1? yy???????a??fy?x,y?dx关于y??c,d?一致收敛， fy?x,y?dx关于y??c,y??也是一致收敛的， a??y??c,y??，?A1???,st对?A?,A???A1???有 ??含参量积分?A??A?fy?x,y?dx??2?y??c??????????????2? ??af(x,y?)dx收敛, ????0,?A2??,y??，st对?A?,A???A2??,y??有 ?A??A?f?x,y??dx?????????????????3? 2?令A0?max?A1???,A2??,y???，则对?A?,A???A0，式子（2）、（3）同时成立， ?当y??c,y??时，?f?x,y?dx??A?A??A??A?y???f?x,y????yfy?x,y?dy??dx ?? 10

A??A??y? ? ? ?即含参量积分?????A?f?x,y??dx?y???A?yfy?x,y?dydx 2??y?A??A?fy?x,y?dxdy ?2??2?y??c??y??y???????， 22af(x,y)dx关于y??c,y??一致收敛， ??a??同理可得含参量积分?总结可得含参量积分?f(x,y)dx关于y??y?,d?也一致收敛， f(x,y)dx关于y??c,d?一致收敛. ??2a例3-5 判断含参量积分?e?4ycos2xydy在x????,???上的一致收敛性. 0解 ?对固定的x????,???，有 limyey??2?4y2cos2xy?limy????y2e4y2cos2xy?0， ?对固定的x????,???，含参量积分?e?4ycos2xydy在x????,???上收敛， 20设f?x,y??e?4ycos2xy， 2则 ??sup?limx????,?????0fx?x,y?dy??2?ye0???4y2sin2xydy， y?ye2?4y2sin2xy?2y3e4y2， y???x????,???supy2?ye?4ysin2xy?0， ???由一致收敛柯西判别法可知???20fx?x,y?dy在x????,???内一致收敛， ?含参量积分?e?4ycos2xydy在x????,???范围上的一致收敛. 03.6 级数判别法 定理3-5 含参量反常积分???af(x,y)dx在?c,d?上一致收敛?函数项级数??n?1?An?1An其中An是数列?An?的项，数列?An?f?x,y?dx??un?y?在?c,d?上一致收敛，n?1?满足以下条件： 1）A1?a;

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2）数列?An?为递增数列； 3）数列?An?趋于??.[7] 例3-6 证明含参量反常积分???1ln1?u2v2du关于v在?0,1?是一致收敛的. 3u??ln1?u2v2证明 令f?u,v??， u3?u??1,???，v??0,1?， ??ln1?u2v2?0， ?f?u,v??u3??同时可知：二元函数f?u,v?关于u在?1,???上单调递减， ln?1?n2v2?令函数项级数为?,?v??0,1??， 3nn?1?ln1?n2v2ln1?n2， ??n3n3ln1?n2?0， 又?limn?n??n32??????ln?1?n2v2?收敛， ?函数项级数为?3nn?1?根据函数项级数一致收敛的维尔斯特拉斯判别法（M判别法）可得到： ln?1?n2v2?函数项级数?关于v在?0,1?是一致收敛的， 3nn?1?由级数判别方法定理可知含参量反常积分?收敛的. ??1ln1?u2v2du关于v在?0,1?是一致u3??3.7 维尔斯特拉斯判别法（简称M判别法） 定理3-6 (维尔斯特拉斯判别法)： 设存在函数g?x?，满足以下条件： 1）使得f?x,y??g?x?，x??a,???，y??c,d?， 2）?g?x?dx收敛， a??则含参量反常积分???af(x,y)dx在?c,d?上一致收敛.[8] 12

要点：使用M判别法关键在于将被积函数绝对值f?x,y?放大，从而找出符合条件的g?x?. 值得注意的是:维尔斯特拉斯的M判别法虽然比较简单，但是有一定的局限性，能用M判别法证明是一致收敛的含参量反常积分一定是绝对一致收敛的，但是绝对一致收敛的含参量反常积分并不能全用M判别法证明它的一致收敛性，同时条件一致收敛的含参量反常积分也不能用M判别法来判别一致收敛性. 1?1?例3-7 判断??1?a?a2???an??ln?dx?n?1,2,??是否一致收敛. 0?a?12解 a?0为奇点， ?1?a?a21?1??1????an?ln???ln?， a1?a???x??1212?1??ln?1111a???而lima2?ln??lim???1?0?0， ?1a?0a?01?a1?a?a??1?2???a?1212故积分?1?1??ln?dx收敛， 01?a?a?1121?1?从而??1?a?a2???an??ln?dx?n?1,2,??一致收敛. 0?a?2例3-8 证明积分?e????u?sintdu，??0在t??0,???中一致收敛. 12??0证明 ?当t?0时， e??tsint?0， t????0，st当0?t??时，有 e??tsint2?， ?t?于是 ?

??Ae????u2?sintdu?e??tsint??e?A?tu2du 13

e??tsint???x2 ?edx ?tAt ??当t?0时，有 2?????0e?xdx??. 2??当t??0,??时，?A?0，有 ??A2e????u?sintdu??， ?当??t???时，有 ??A2e????u?sintdu??， 222e????u?sint?e?????u??e??u, ??e??udu收敛， 02?由维尔斯特拉斯判别法可知:积分?e????u?tsintdu在t???,???时一致收敛， ??2?当t???,???时，?A0?0,st对?A?A0,有 ?t??0,???成立. ?积分?e???0???u2??A2e????u?sintdu??， 2e????u?sintdu??对每个?综合上述得：???0，?A0?0,st当A?A0时，???A?sintdu，??0在t??0,???中一致收敛. 3.8 狄利克莱判别法 定理3-7（狄利克莱判别法）：设f?x,y??g?x,y?h?x,y?，若满足以下条件： 1）存在N?0，对所有满足A?a的实数A以及y??c,d?，都有A?h?x,y?dx?N，aA即对所有对所有满足A?a的实数A，含参量正常积分?h?x,y?dx对参量y在a?c,d?上一致有界； 2）对于所有y??c,d?，函数g?x,y?关于x是单调递减的，而且当x???时，对参量y，g?x,y?一致收敛于0； 则含参量反常积分???af(x,y)dx在?c,d?上一致收敛. 14

例3-9 证明含参量积分?证明 ??y?y?，函数??0sinxydx在?y?,???上一致收敛，其中y??0. x?y111关于x单调下降，且?， x?yx?yx1关于y在?y?,???上一致收敛于0， x?y?当x???时，函数又??A?0，?y?y??0，有 ?A0sinxydx?1?cosAyy???2， y??根据狄利克莱判别法可得到：含参量积分?0sinxydx在?y?,???上一致收敛. x?y3.9 阿贝尔判别法 定理3-8（阿贝尔判别法）：设f?x,y??g?x,y?h?x,y?，若满足以下条件： 1）对所有y??c,d?，函数g?x,y?是关于x的单调函数，且对参量y，g?x,y?在?c,d?上一致有界； ??2）?h(x,y)dx在?c,d?上一致收敛； a则含参量反常积分???af(x,y)dx在?c,d?上一致收敛.[9] ??0例3-10 证明含参量积分?sinx??xedx在??0范围上关于?一致收敛. x证明 1）?e??x关于x是单调函数， ?e??x关于?是x上的一致有界函数， 即 0?e??x?1???0,x?0?， sinxdx收敛，不含参数?， 0x??sinxdx关于?一致收敛， ??0x2）????综合1）、2），由阿贝尔判别法可得到含参量积分?于?一致收敛. ??0sinx??xedx在??0范围上关x4.结束语

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含参量反常积分是很重要的积分，研究它的连续性、可微性和可积性的关键在于研究它的一致收敛性.本文介绍一致收敛定义、柯西准则法、变上限积分的有界法、确界法、微分法、级数辨别法、魏尔斯特拉斯M判别法、狄克雷判别法和阿贝尔判别法这九种判别方法，这些方法适用于不同含参量反常积分一致收敛的判定，每个判别法都有它的优点，同时也存在着一定的局限，选用恰当的方法能使判定过程变得方便、简单.

然而，含参量反常积分一致收敛的判别法不只有这九种，还有很多方法等着人们去发现，去探讨，去挖掘.

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参考文献

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