等腰三角形存在性问题(带答案)

等腰三角形存在性问题（两圆一线）

类型一、格点中的等腰三角形

1、在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（ ）

2、.如图，在正方形网格的格点（即最小正方形的顶点）中找一点C， 使得△ABC是等腰三角形，且AB为其中一腰．这样的C点有( )个．

3、如图，A、B是网格中的两个格点，点C也是网格中的一个格点，连接AB、BC、AC，当△ABC为等腰三角形时，格点C的不同位置有 处，设网格中的每个小正方形的边长为1，则所有满足题意的等腰三角形ABC的面积之和等于 ．

4、如图，在图中能画出与△ABC全等的格点三角形有几个？

1

类型二、定边几何法讨论：两圆一线

5、以线段AB为一边的等腰直角三角形有个，请在下列图中画出来

6、（1）如图所示，线段OD的一个端点O在直线AB上，以OD为一边的等腰三角形ODP，并且使点P也在AB上，这样的等腰三角形能画 个（在图中作出点P）

（2）若∠DOB=60°，其它条件不变，则这样的等腰三角形能画 个，（只写出结果）

（3）若改变（2）中∠DOB的度数，其他条件不变，则等腰三角形ODP的个数和（2）中的结果相同，则改变后∠DOB= ．

7、如图，南北向的公路上有一点A，东西向的公路上有一点B，若要在南北向的公路上确定点P，使得△PAB是等腰三角形，则这样的点P最多能确定 （ ）个．

2

8、线段AB和直线l在同一平面上．则下列判断可能成立的有 个 直线l上恰好只有个1点P，使△ABP为等腰三角形 直线l上恰好只有个2点P，使△ABP为等腰三角形 直线l上恰好只有个3点P，使△ABP为等腰三角形 直线l上恰好只有个4点P，使△ABP为等腰三角形 直线l上恰好只有个5点P，使△ABP为等腰三角形 直线l上恰好只有个6点P，使△ABP为等腰三角形．

9、如图?AOB,当?AOB为30，60，120时，请在射线OA上找点P，使?POB为等腰三角形，并分析出当

????AOB发生变化时，点P个数的情况；

类型三、三角形、长方形和正方形中的等腰三角形

10、如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=10，点Q是BC的中点，点P在AD边上运动，若△BPQ是腰长为5的等腰三角形，则满足题意的点P有( )个

3

11、如图所示，在长方形ABCD的对称轴上找一点P，使得△PAB，△PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P有( )个

12、如图，边长为6的正方形ABCD内部有一点P，BP=4，∠PBC=60°，点Q为正方形边上一动点，且△PBQ是等腰三角形，则符合条件的Q点有____个．

13、在等边△ABC所在的平面内求一点P，使△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，请画出所有满足条件的点；

4

等腰三角形存在性问题（两圆一线）答案

类型一、格点中的等腰三角形

1、在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（4 ）

2、.如图，在正方形网格的格点（即最小正方形的顶点）中找一点C， 使得△ABC是等腰三角形，且AB为其中一腰．这样的C点有( B )个． A.8 B.9 C.10 D.11

3、如图，A、B是网格中的两个格点，点C也是网格中的一个格点，连接AB、BC、AC，当△ABC为等腰三角形时，格点C的不同位置有 3 处，设网格中的每个小正方形的边长为1，则所有满足题意的等腰三角形ABC的面积之和等于 15 ．

【解答】解：格点C的不同位置分别是：C、C′、C″， ∵网格中的每个小正方形的边长为1， ∴S△ABC=×4×3=6， S△ABC′=20﹣2×3﹣

=6.5，

S△ABC″=2.5，

∴S△ABC+S△ABC′+S△ABC″=6+6.5+2.5=15． 故答案分别为：3；15．

5

4、如图，在图中能画出与△ABC全等的格点三角形有几个？

类型二、定边几何法讨论：两圆一线

5、以线段AB为一边的等腰直角三角形有个，请在下列图中画出来

6

6、（1）如图所示，线段OD的一个端点O在直线AB上，以OD为一边的等腰三角形ODP，并且使点P也在AB上，这样的等腰三角形能画 4 个（在图中作出点P）

（2）若∠DOB=60°，其它条件不变，则这样的等腰三角形能画 2 个，（只写出结果）

（3）若改变（2）中∠DOB的度数，其他条件不变，则等腰三角形ODP的个数和（2）中的结果相同，则改变后∠DOB= 90° ．

7、如图，南北向的公路上有一点A，东西向的公路上有一点B，若要在南北向的公路上确定点P，使得△PAB是等腰三角形，则这样的点P最多能确定 （ ）个．

7

8、线段AB和直线l在同一平面上．则下列判断可能成立的有 5 个 直线l上恰好只有个1点P，使△ABP为等腰三角形 直线l上恰好只有个2点P，使△ABP为等腰三角形 直线l上恰好只有个3点P，使△ABP为等腰三角形 直线l上恰好只有个4点P，使△ABP为等腰三角形 直线l上恰好只有个5点P，使△ABP为等腰三角形 直线l上恰好只有个6点P，使△ABP为等腰三角形．

9、如图?AOB,当?AOB为30，60，120时，请在射线OA上找点P，使?POB为等腰三角形，并分析出当

????AOB发生变化时，点P个数的情况；

8

【结论】当?AOB为锐角，?AOB?60，有三个点，当?AOB=60，只有一个点； 当?AOB为钝角或直角，只有一个点；

??

9

类型三、三角形、长方形和正方形中的等腰三角形

10、如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=10，点Q是BC的中点，点P在AD边上运动，若△BPQ是腰长为5的等腰三角形，则满足题意的点P有( B ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个

11、如图所示，在长方形ABCD的对称轴上找一点P，使得△PAB，△PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P有( C )

A.1个 B.3个 C.5个 D.无数多个

12、如图，边长为6的正方形ABCD内部有一点P，BP=4，∠PBC=60°，点Q为正方形边上一动点，且△PBQ是等腰三角形，则符合条件的Q点有____个．

10

13、在等边△ABC所在的平面内求一点P，使△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，请画出所有满足条件的点；

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