热力学统计物理课程习题集

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一、 热力学部分

1. 在0度和1pn下，测得一铜块的体膨胀系数和等温压缩系数分别为??4.85?10?5K?1和?T?7.8?10?7pn?1。?和?T可近似看作常数。今

使铜块加热至10度。问：

（a）压强要增加多少pn才能使铜块体积维持不变？ （b）若压强增加到100pn，铜块体积改变多少？ 2. 一理想弹性物质的物态方程为J?bT(LL0?L0L22)其中L是长度，L0是

张力J为零时的L的值，它只是温度T的函数，b是常数。试证明：

（a）等温杨氏模量为Y?bTA(330LL0?2L0L22)，在张力为零时，Y0?3bTA

L（b）线膨胀系数???0?1LTL?133，?0?2?1dL0L0dT

L0?2?1（c）上述物态方程适用于橡皮带，设T＝300K，b?1.33?10N?K，

A?1?10?6m2，?0?5?10?4K?1。试计算当的曲线。

LL0分别为0.5，1.0，1.5，

和2.0时的J，Y，?，对

LL03. 试证明，在某一过程中理想气体的热容量Cn如果是常数，该过程一定是多方过程，多方指数n?定容热容量是常量。

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Cn?CpCn?CV。假设气体的定压热容量和

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4. 声波在气体中的传播速度为??(?p??)S，假设气体是理想气体，其

定压和定容热容量是常数。试证明气体单位质量的内能u和焓h可以由声速及?给出：

u??2?(??1)?常量，h?p?2??1?常量

5. 假设理想气体得C和CV之比γ是温度的函数，试求在准静态绝热过程中T和V的关系。该关系式中要用到一个函数F(T)，其表达式为lnF(T)??(?dT?1)T

6. 均匀杆的温度一端为T1，另一端为T2。试计算达到均匀温度

12(T1?T2)后的熵增。

7. 物体的初温T1高于热源的温度T2。有一热机在此物体与热源之间工作，直到将物体的温度降到T2为止。若热机从物体吸取的热量为Q，试根据熵增加原理证明，此热机所能输出的最大功为

W最大?Q?T2(S1?S2)其中S1?S2是物体的熵减少量。

8. 有两个相同的物体，热容量为常数，初始温度同为Ti。今令一制冷机在此两物体之间工作，使其中一个物体的温度降到T2为止。假设物体维持在定压下，并且不发生相变。试根据熵增加原理证明，此过程所需要的最小功为W最小?Cp(Ti2T2?T2?2Ti)。

9. 试证明在相同的压强降落下，气体在准静态绝热膨胀中的温度降落大于在节流过程中的温度降落。

10. 实验发现，一气体的压强p与比容v的乘积及内能u都只是温度

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T的函数，即pv?f(T)，u?u(T)试根据热力学理论，讨论该气体

的物态方程可能具有什么形式。 11. 证明

0V(?CV?V)T?T(?p?T22)V，

(?Cp?p)T?T(?V?T222)p，并由此导出，根据以上两式证

CV?C?T?(V0V?p?T22)VdV和Cp?C0p?T?(p0p?V?T2)pdp明，理想气体的定容热容量和定压热容量只是温度T的函数。 12. 证明范氏气体的定容热容量只是温度T的函数，与比容无关。 13. 一弹簧在恒温下的恢复力X与其伸长x成正比，即X??Ax，今忽

略弹簧的热膨胀，试证明弹簧的自由能F，熵S，内能U的表达式分别为：

F(T,x)?F(T,0)?S(T,x)?S(T,0)?U(T,x)?U(T,0)?12x2Ax2dAdAdT2dT12(A?T)x2

14. 如图2.7所示，电介质的介电常数?(T)?D?与温度有关，试求电路

为闭电路时的电介质的热容量与充电后再令电路断开后的热容量之差。

15. 已知超导体的温度感应强度B??0(H??)?0，求证

（I）C?与?无关，只是T的函数，其中C?是在磁化强度?保持不变时的热容量。U；S （II）U（III）S

??C?dT?C?T??0?22?U0

?dT?S0

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。

?V?n)T,p16. 试由CV?0及(?p?V)T?0证明Cp?0?S?n???T及(?p?V)S?017. 求证：（1）(18. 求证：(?U?n???T)V,n??()T,V，（2）(??)T,n?p??(

)T,V????T()V,n

?L(1?PdTTdp)如果一相

19. 试证明在相变中物质摩尔内能的变化为?Um是气相，可看作理想气体，另一相是凝聚相，试将公式简化。 20. 蒸汽与液相达到平衡，以

dVmdT表在维持两相平衡的条件下，蒸汽

体积随温度的变化率，试证明蒸汽的两相平衡膨胀系数为

1dVmVmdT?1T(1?LRT)

21. 若将U看作独立变数T，V，n1,?,nk的函数，试证明 （I）U??ini?U?ni?vi?V?U?V

（II）ui??U?ni?U?V

??i?nj)?022. 证明?i(T,p,n1,?,nk)是n1,?,nk的零次齐函数，?nj(i

23. 二元理想溶液具有下列形式的化学势：

?1?g1(T,p)?RTlnx1?2?g2(T,p)?RTlnx2

xixi是溶液中i组元的摩尔分数。其中gi(T,p)为纯i组元的化学势，

当摩尔数分别为n1，n2的两种纯液体在等温等压下合成理想溶液时，试证明混合前后 （1）吉布斯函数的变化为?G

?RT(n1lnx1?n2lnx2)

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（2）体积不变ΔV=0 （3）熵变?S??R(n1lnx1?n2lnx2)

（4）焓变ΔH＝0，因而没有混合热 （5）内能变化为何？

24. 绝热容器中有隔板隔开，一边装有n1摩尔的理想气体，温度为T，压强为p1；另一边装有n2摩尔的理想气体，温度亦为T，压强为p2。今将隔板抽去，

（1）试求气体混合后的压强

（2）如果两种气体是不同的，计算混合后的熵增 （3）如果两种气体是相同的，计算混合后的熵增。

二、 统计物理部分

1. 试证明，对于一维自由粒子，在长度L内，在?围内，量子态数为：D(?)d??2Lh(m2?1到??d?的能量范

)2d?

到??d?2. 试证明，对于二维自由粒子，在面积L2内，在?围内，量子态数为：D(?)d??2?Lh22的能量范

md?

?cp3. 在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为?V内，在?到??d?，试求在体积

能量范围内三维粒子的量子态数。

??e??x4. 一个系统的几率分布为?(x)dx5. 质点按x?dx，0?x??，求x,x2,(?x)2

Asin(wt??)的规律作简谐振动，求偶然测量其位置时质x??x间隔内的几率。

点位置在x?

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6. N个粒子位于体积为V的箱子中，求有n个粒子位于箱内体积为v的范围内的几率？（设粒子是可分辨的，即经典情况） 自旋磁矩为，向上的几率为P，向下为q=(1-P)，问N个自旋磁

217. 设系统含有两种粒子，其粒子数分别为N和N?。粒子间的相互作用很弱，可以看作是近独立的。假设粒子可以分辨，处在一个个体量子态的粒子数不受限制，试证明，在平衡状态下两种粒子的最概然分布分别为al?wle?????l和a?l?wl?e??????l?，其中?和??是两种粒子

的能级，w和w?是能级的简并度。

8. 求在面积为A的二维空间内活动的单原子分子的能量涨落

(??)??22??2

9. 当选择不同的能量零点时，粒子第l个能级的能量可以取为?l或

?l*，以?表示二者之差?＝?l*-?l。试证明相应的配分函数存在以

?e???下关系Z1*何差别。

并讨论由配分函数Z1和Z1Z1。

*求得的热力学函数有

10. 气柱的高度为H，截面为S，处在重力场中，试证明此气柱的内能和热容量为

U?U0?NkT?NmgHmgH(eCV?C0VkT?1)mgH2kT

1kT2?Nk?N(mgH)emgH(ekT?1)211. 表面活性物质的分子在液面上作二维自由运动，可以看作二维理想气体。试写出在二维理想气体中分子的速度分布和速率分布，并求平均速率v、最概然速率vm和方均根速率vs。

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12. 试求爱因斯坦固体的熵。

13. 试根据普朗克公式求平衡辐射内能密度按波长的分布：

u?d??8?hcd?hc?5，并据此证明，使辐射密度取极大值的波长?m，

hce?kT?1满足方程：（x?因此?T?mhc?mkT）5e?x这个方程的数值解为x?4.9651?x?5，，

4.9651k，?m随温度增加向短波方向移动。

?kln?14. 证明玻色系统的S成立

15. 求弱简并理想费米（玻色）气体的压强和熵

16. 计算温度为T时，在体积V内光子气体的平均总光子数，并据此估算（1）温度为1000K的平衡辐射和（2）温度为3K的宇宙背景辐射中光子的数密度。 17. 求证一维时Tc?0

18. 银的导电电子密度为5.9?1028级、费米速率和简并压。

/m3，试求0K时电子气体的费米能

19. 试求在极端相对论条件下，自由电子气体在0K时的费米能量、内能和简并压。 20. 试根据热力学公式S子气体的熵。

21. 试用正则分布求单原子分子理想气体的物态方程、内能和熵。 22. 被吸附在液体表面的分子形成一种二维气体，考虑到分子间的相互作用，试由正则分布证明，与范氏方程相应的二维气体物态方

??CVTdT及低温下的热容量，求金属中自由电

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?程可以表为PS?NkT[1?BS]，其中B??N2?kT?(e?1)2?rdr，S为液面

的面积，?为两分子的互作用势。

23. 仿照三维固体的德拜理论，计算面积为L2的原子层（二维晶格）在高温和低温下的内能和热容量。

24. 用巨正则分布导出单原子分子理想气体的物态方程、内能、熵和化学势。 25. 求(?T)2，(?V)2

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