1978年全国统一高考数学试卷(附加题)

1978年全国统一高考数学试卷（附加题）

一、解答题（共7小题，满分100分） 1．（14分）（1）分解因式：x2﹣2xy+y2+2x﹣2y﹣3． （2）求（3）求函数y=

的定义域．

，

（4）已知直圆锥体的底面半径等于1cm，母线的长等于2cm，求它的体积． （5）计算：

2．（14分）已知两数x1，x2满足下列条件： （1）它们的和是等差数列1，3，…的第20项； （2）它们的积是等比数列2，﹣6，…的前4项和． 求根为

的方程．

的值．

3．（14分）已知：△ABC的外接圆的切线AD交BC的延长线于D点，求证：

．

4．（14分）（如图）CD是BC的延长线，AB=BC=CA=CD=a，DM与AB，AC分别交于M点和N点，且∠BDM=α． 求证：

．，

．

5．（14分）设有f（x）=4x4﹣4px3+4qx2+2p（m+1）x+（m+1）2．（p≠0）求证：

（1）如果f（x）的系数满足p2﹣4q﹣4（m+1）=0，那么f（x）恰好是一个二次三项式的平方． （2）如果f（x）与F（x）=（2x2+ax+b）2表示同一个多项式，那么p2﹣4q﹣4（m+1）=0． 6．（14分）已知：asinx+bcosx=0 ①，Asin2x+Bcos2x=C ②，其中a，b不同时为0，求证：2abA+（b2﹣a2）B+（a2+b2）C=0

7．（16分）已知L为过点P

等于1的圆，Q表示顶点在原点而焦点是

且倾斜角为30°的直线，圆C为圆心是坐标原点且半径

的抛物线，设A为L和C在第三象限的交点，

B为C和Q在第四象限的交点．

（1）写出直线L、圆C和抛物线Q的方程，并作草图．

（2）写出线段PA、圆弧AB和抛物线上OB一段的函数表达式．

（3）设P′、B′依次为从P、B到x轴的垂足，求由圆弧AB和直线段BB′、B′P′、P′P、PA所包含的面积．

1978年全国统一高考数学试卷（附加题）

参考答案与试题解析

一、解答题（共7小题，满分100分） 1．（14分）（1）分解因式：x2﹣2xy+y2+2x﹣2y﹣3． （2）求（3）求函数y=

的定义域．

，

（4）已知直圆锥体的底面半径等于1cm，母线的长等于2cm，求它的体积． （5）计算： 考点： 专题： 分析： 的值．

解答： 对数函数的定义域；根式与分数指数幂的互化及其化简运算；棱柱、棱锥、棱台的体积． 计算题． （1） 把（x﹣y）看做一个整体，整式即：（x﹣y）2+2（x﹣y）﹣3 （2）应用特殊角的三角函数值． （3）分母不为0，对数的真数大于0． （4）先求出圆锥的高，代入体积公式计算． （5）使用分数指数幂的运算法则化简每一项，然后合并同类项． 解：（1）原式=（x﹣y）2+2（x﹣y）﹣3=（x﹣y﹣1）（x﹣y+3） （2）原式=﹣0+1﹣= （3）∵25﹣5x＞0，且x+1≠0．∴x＜2且x≠﹣1，∴所求定义域为：（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，2）．（4）（5）原式=10?（=10﹣20﹣10﹣2 ）﹣+30 +30? =﹣20+30?=﹣20+

点评： （1）体现整体的数学思想． （2）记住特殊角的三角函数值． （3）分式的分母不为0，对数的真数大于0． （4）直接使用圆锥的体积公式． （5）分数指数幂的运算法则的使用．本题的最后一项可能不对． 2．（14分）已知两数x1，x2满足下列条件： （1）它们的和是等差数列1，3，…的第20项； （2）它们的积是等比数列2，﹣6，…的前4项和． 求根为 考点： 分析： 解答： 的方程．

利用导数研究函数的单调性；一元二次方程的根的分布与系数的关系． 1由等差数列通项公式求出第二十项2由等比数列求前n项和求出前四项和3接下来可以求解x1，x2．也可利用技巧直接求出两根之和两根之积． 解：x1+x2=39 ①，x1x2=﹣40 ②，故由②式得.= 得：1/x1+1/x2= 点评： 3．（14分）已知：△ABC的外接圆的切线AD交BC的延长线于D点，求证：

由初中所学一元二次函数根与系数关系得所求方程为：40x2+39x﹣1=0． 本题考查数列通项公式和前n项和公式以及一元二次方程根与系数关系 ．

考点： 专题： 分析： 解答：

相似三角形的判定． 证明题． 由AD是△ABC的外接圆的切线得到角相等进而得两个三角形相似，可得三角形的面积比与相似比的平方的关系，再结合三角形面积公式即可证得． 证：因为AD是△ABC的外接圆的切线， 所以∠B=∠1∴△ABD∽△CAD ∴ 作AE⊥BD于点E， 则 点评：

故得证． 本题主要考查相似三角形的判定，在圆中找相等的角，依据是弦切角和同弧所对的圆周角相等相等，再根据相似三角形的判定即可得到．

4．（14分）（如图）CD是BC的延长线，AB=BC=CA=CD=a，DM与AB，AC分别交于M点和N点，且∠BDM=α． 求证：

．，

．

考点： 专题： 分析： 解答： 三角形中的几何计算． 证明题． 由题意及图形作ME⊥DC于E，由△ABC是等边三角形，在直角△MBE中利用正切的定义即可；同理，过N作NF⊥BC于F，在直角△NFC中也可求得CN． 证明：证作ME⊥DC于E，由△ABC是等边三角形，在直角△MBE中， ， ∴，∴． 类似地，过N作NF⊥BC于F，在直角△NFC中，可证： 点评： 此题考查了学生的识图能力，还考查了解三角形及正切函数定义，还考查了学生的计算能力． 5．（14分）设有f（x）=4x4﹣4px3+4qx2+2p（m+1）x+（m+1）2．（p≠0）求证：

2

（1）如果f（x）的系数满足p﹣4q﹣4（m+1）=0，那么f（x）恰好是一个二次三项式的平方． （2）如果f（x）与F（x）=（2x2+ax+b）2表示同一个多项式，那么p2﹣4q﹣4（m+1）=0． 考点： 函数与方程的综合运用． 专题： 证明题． 分析： （1）利用配方法和因式分解法的方法将该函数表达式进行因式分解． （2）利用多项式相等建立各项系数的相等关系，将无关的系数消掉，建立起字母p，q，m的关系． 解答： 证明：（1） ∵， ∴ = =

= ∴f（x）等于一个二次三项式的平方 （2）∵4x4﹣4px3+4qx2+2p（m+1）+（m+1）2=（2x2+ax+b）2 =4x4﹣4ax3+（a2+4b）x2+2abx+b2， ∴ 由（1）可得a=﹣p代入（2）得 将a，b的表达式代入（3）得， 点评： ∴p[p2﹣4q﹣4（m+1）]=0．∵p≠0，∴p2﹣4q﹣4（m+1）=0． 本题考查多项式的因式分解，考查待定系数法．注意配方法和分组分解因式的方法．注意多项式相等的转化方法． 6．（14分）已知：asinx+bcosx=0 ①，Asin2x+Bcos2x=C ②，其中a，b不同时为0，求证：2abA+（b2﹣a2）B+（a2+b2）C=0 考点： 三角函数恒等式的证明． 专题： 证明题． 分析： 可先，通过①可得x=y+kπ，进而可求出sin2x和cos2x代入 ②即可得证． 解答： 证明：则①可写成cosysinx﹣sinycosx=0， ∴sin（x﹣y）=0∴x﹣y=kπ（k为整数）， ∴x=y+kπ 又sin2x=sin2（y+kπ）=sin2y=2sinycosy=cos2x=cos2y=cos2y﹣sin2y=代入②， 得， 点评： ∴2abA+（b2﹣a2）B+（a2+b2）C=0． 本题主要考查三角函数恒等式的证明．证明此类问题时应考虑：异名化同名，异角化同角，公式的正用、逆用、变形用．

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