2024年北京市中考数学试卷(A卷)参考答案与试题解析

2017年北京市中考数学试卷（A卷）参考答案与试题解析

一、选择题（下列各题的四个选项中只有一个正确.共12小题，每小题3分，共36分） 1．（3分）A．

B．

的相反数是（ ） C．

D．

2．（3分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）

A．圆柱 B．圆锥 C．三棱锥 D．三棱柱

3．（3分）下列各式计算正确的是（ ）

A．3x+x=4x2 B．（﹣a）2?a6=﹣a8 C．（﹣y）3÷（﹣y）=y2（y≠0） D．（a2b3c）

2

=a4b6c

4．（3分）下列长度的三条线段能组成锐角三角形的是（ ） A．6，8，8 B．6，8，10

C．6，8，12

D．6，8，14

5．（3分）纳米技术是一种高新技术，纳米是非常小的长度单位，1纳米等于0.000000001米，将1纳米用科学记数法表示为（ ） A．10﹣7米 B．10﹣8米 C．10﹣9米 D．10﹣10 米

6．（3分）如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB=48°，D为⊙O上一点，则∠ADC的度数是（ ）

A．24° B．42° C．48° D．12°

7．（3分）一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码的鞋销售量

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如下表： 尺码/厘米 销售量/双 22 1 22.5 2 23 5 23.5 11 24 7 24.5 3 25 1 鞋店老板比较关注哪种尺码的鞋最畅销，也就是关注卖出鞋的尺码组成一组数据的（ ）

A．平均数 B．中位数 C．众数

D．方差

8．（3分）一元二次方程16x2﹣8x+1=0的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．只有一个实数根 D．有两个相等的实数根 9．（3分）下列命题正确的是（ ） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线相等的菱形是正方形

10．（3分）甲、乙两人匀速在400米环形跑道上跑步，同时同地出发，如果相向而行，每隔1分钟相遇一次；如果同向而行，每隔5分钟相遇一次，已知甲比乙的速度快．设甲每分钟跑x米，乙每分钟跑y米，根据题意，列出方程组正确的是（ ） A．B．C．D．

11．（3分）下列关于反比例函数y=的说法正确的是（ ）

A．y随x的增大而增大 B．函数图象过点（2，） C．图象位于第一、第三象限

D．x＞0时，y随x的增大而增大

12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D、E分别是AB、BC边上的动点，则AE+DE的最小值为（ ）

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A．

B． C．5 D．

二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分） 13．（3分）分解因式：2a3﹣8a= ．

14．（3分）如图，以正六边形ABCDEF的中心为坐标原点建立平面直角坐标系，顶点C、F在x轴上，顶点A的坐标为（1，

），则顶点D的坐标为 ．

15．（3分）计算：45°39′+65°41′= ．

16．（3分）一组数据5，2，x，6，4的平均数是4，这组数据的方差是 ． 17．（3分）如图，下列各图中的三个数之间具有相同规律．依此规律用含m，n的代数式表示y，则y= ．

三、解答题（本题4个小题，每小题6分，共24分） 18．（6分）计算：

﹣|2﹣

|+（﹣2）﹣2﹣（π﹣3.14）0．

19．（6分）先化简，再求值：a（a﹣2b）﹣（a+b）（a﹣b），其中a=，b=﹣1． 20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A（1，﹣4），且与x轴交于B、C两点，点B的坐标为（3，0）． （1）写出C点的坐标，并求出抛物线的解析式；

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（2）观察图象直接写出函数值为正数时，自变量的取值范围．

21．（6分）甲袋中装有4个相同的小球，分别标有3，4，5，6；乙袋中装有3个相同的小球，分别标有7，8，9．芳芳和明明用摸球记数的方法在如图所示的正六边形ABCDEF的边上做游戏，游戏规则为：游戏者从口袋中随机摸出一个小球，小球上的数字是几，就从顶点A按顺时针方向连续跳动几个边长，跳回起点者获胜；芳芳只从甲袋中摸出一个小球，明明先后从甲、乙口袋中各摸出一个小球．如：先后摸出标有4和7的小球，就先从点A按顺时针连跳4个边长，跳到点E，再从点E顺时针连跳7个边长，跳到点F．

分别求出芳芳、明明跳回起点A的概率，并指出游戏规则是否公平．

四、（本题7分）

22．（7分）如图，在平行四边形ABCD中，AD＞AB．

（1）作∠BAD的平分线交BC于点E，在AD边上截取AF=AB，连接EF（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）判断四边形ABEF的形状，并说明理由．

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五、（本题7分）

23．（7分）为了了解某中学学生的身高情况，随机对该校男、女生的身高进行抽样调查．抽取的样本中，男、女生的人数相同，根据所得数据绘制成如图所示的统计图表．

组别 A B C D E 男女生身高（cm） 150≤x＜155 155≤x＜160 160≤x＜165 165≤x＜170 170≤x＜175

根据图表中提供的信息，回答下列问题：

（1）在样本中，男生身高的中位数落在 组（填组别序号），女生身高在B组的

有 人；

（2）在样本中，身高在170≤x＜175之间的共有 人，人数最多的是 组（填组别序号）

（3）已知该校共有男生500人，女生480人，请估计身高在160≤x＜170之间的学生有多少人？

六、（本题8分）

24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于点D，且BD∥OC，连接AC． （1）求证：AC是⊙O的切线；

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（2）若AB=OC=4，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）

七、（本题10分）

25．（10分）某车行经销的A型自行车去年6月份销售总额为1.6万元，今年由于改造升级每辆车售价比去年增加200元，今年6月份与去年同期相比，销售数量相同，销售总额增加25%．

（1）求今年A型车每辆售价多少元？

（2）该车行计划7月份用不超过4.3万元的资金新进一批A型车和B型车共50辆，应如何进货才能使这批车售完后获利最多？ 今年A，B两种型号车的进价和售价如下表：

A型车 800 今年售价 B型车 950 1200 进价（元/辆） 售价（元/辆）

八、（本题13分）

26．（13分）如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=4，D是AB的中点，EF是△ACD的中位线，矩形EFGH的顶点都在△ACD的边上． （1）求线段EF、FG的长；

（2）如图2，将矩形EFGH沿AB向右平移，点F落在BC上时停止移动，设矩形移动的距离为x，矩形与△CBD重叠部分的面积为S，求出S关于x的函数解析式；

（3）如图3，矩形EFGH平移停止后，再绕点G按顺时针方向旋转，当点H落在CD边上时停止旋转，此时矩形记作E1F1GH1，设旋转角为α，求cosα的值．

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2017年北京市中考数学试卷（A卷）

参考答案与试题解析

一、选择题（下列各题的四个选项中只有一个正确.共12小题，每小题3分，共36分） 1．（3分）A．

B．

的相反数是（ ） C．

D．

【分析】一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号． 【解答】解：故选B．

【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．

2．（3分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）

的相反数是﹣

．

A．圆柱 B．圆锥 C．三棱锥 D．三棱柱

【分析】根据三视图得出几何体即可．

【解答】解：由主视图和左视图都为三角形，而俯视图是圆，可得几何体是圆锥， 故选B

【点评】本题考查了圆锥的三视图，关键是根据三视图得出几何体．

3．（3分）下列各式计算正确的是（ ）

A．3x+x=4x2 B．（﹣a）2?a6=﹣a8 C．（﹣y）3÷（﹣y）=y2（y≠0） D．（a2b3c）

2

=a4b6c

【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算

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分别判断得出答案．

【解答】解：A、3x+x=4x，故此选项错误； B、（﹣a）2?a6=a8，故此选项错误；

C、（﹣y）3÷（﹣y）=y2（y≠0），故此选项正确； D、（a2b3c）2=a4b6c2，故此选项错误； 故选：C．

【点评】此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算、积的乘方运算等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．

4．（3分）下列长度的三条线段能组成锐角三角形的是（ ） A．6，8，8 B．6，8，10

C．6，8，12

D．6，8，14

【分析】根据勾股定理求出以较短的两条边为直角边的三角形的斜边的长度，然后与较长的边进行比较作出判断即可． 【解答】解：A、∵B、∵C、

=10＞8，6+8＞8，∴能组成锐角三角形；

=10是直角三角形，∴不能组成锐角三角形； =10＜12，6+8＞12，∴不能组成锐角三角形；

D、∵6+8=14，∴不能组成三角形． 故选：A．

【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，利用勾股定理求出直角三角形的斜边是解题的关键．

5．（3分）纳米技术是一种高新技术，纳米是非常小的长度单位，1纳米等于0.000000001米，将1纳米用科学记数法表示为（ ） A．10﹣7米 B．10﹣8米 C．10﹣9米 D．10﹣10 米

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【解答】解：1纳米用科学记数法表示为10﹣9米，

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故选：C．

【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

6．（3分）如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB=48°，D为⊙O上一点，则∠ADC的度数是（ ）

A．24° B．42° C．48° D．12°

【分析】由OA⊥BC，根据垂径定理的即可求得据圆周角定理，即可求得∠ADC的度数． 【解答】解：∵OA⊥BC， ∴

=

，

=

，又由∠AOB=48°，然后根

∴∠ADC=∠AOB=×48°=24°． 故选A．

【点评】此题考查了垂径定理与圆周角定理．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．

7．（3分）一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码的鞋销售量如下表： 尺码/厘米 销售量/双 22 1 22.5 2 23 5 23.5 11 24 7 24.5 3 25 1 鞋店老板比较关注哪种尺码的鞋最畅销，也就是关注卖出鞋的尺码组成一组数据的（ ）

A．平均数 B．中位数 C．众数

D．方差

【分析】根据平均数、中位数、众数、方差的意义分析判断即可，得出鞋店老板

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最关心的数据．

【解答】解：∵众数体现数据的最集中的一点，这样可以确定进货的数量， ∴鞋店老板最喜欢的是众数． 故选：C．

【点评】此题主要考查了统计的有关知识，主要是众数的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．

8．（3分）一元二次方程16x2﹣8x+1=0的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．只有一个实数根 D．有两个相等的实数根 【分析】计算方程根的判别式即可求得答案． 【解答】解： ∵16x2﹣8x+1=0，

∴△=（﹣8）2﹣4×16=64﹣64=0， ∴方程有两个相等的实数根， 故选D．

【点评】本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键．

9．（3分）下列命题正确的是（ ） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线相等的菱形是正方形

【分析】根据菱形、矩形、正方形的判定定理判断即可． 【解答】解：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，A错误； 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，B错误； 对角线相等的平行四边形是矩形，C错误；

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对角线相等的菱形是正方形，D正确， 故选：D．

【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．

10．（3分）甲、乙两人匀速在400米环形跑道上跑步，同时同地出发，如果相向而行，每隔1分钟相遇一次；如果同向而行，每隔5分钟相遇一次，已知甲比乙的速度快．设甲每分钟跑x米，乙每分钟跑y米，根据题意，列出方程组正确的是（ ） A．B．C．D．

【分析】设设甲每分钟跑x米，乙每分钟跑y米，根据相向而行第一次相遇时两人的总路程为400，同向行走第一次相遇甲比乙多走400米，可得出方程组． 【解答】解：设甲每分钟跑x米，乙每分钟跑y米， 由题意，得：故选B．

【点评】本题考查了由实际问题抽象二元一次方程组的知识，是个行程问题，一次相遇，一次追及，根据路程可列方程组求解．

11．（3分）下列关于反比例函数y=

的说法正确的是（ ）

．

A．y随x的增大而增大 B．函数图象过点（2，） C．图象位于第一、第三象限

D．x＞0时，y随x的增大而增大

【分析】直接利用反比例函数的性质分别分析得出答案． 【解答】解：A、反比例函数y=项错误；

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，每个象限内，y随x的增大而增大，故此选

B、函数图象过点（2，﹣），故此选项错误；

C、函数图象图象位于第二、第四象限，故此选项错误； D、x＞0时，y随x的增大而增大，正确． 故选：D．

【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确记忆相关性质是解题关键．

12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D、E分别是AB、BC边上的动点，则AE+DE的最小值为（ ）

A． B． C．5 D．

【分析】作点A关于BC的对称点A′，过点A′作A′D⊥AB交BC、AB分别于点E、D，根据轴对称确定最短路线问题，A′D的长度即为AE+DE的最小值，利用勾股定理列式求出AB，再利用∠ABC的正弦列式计算即可得解．

【解答】解：如图，作点A关于BC的对称点A′，过点A′作A′D⊥AB交BC、AB分别于点E、D，

则A′D的长度即为AE+DE的最小值，AA′=2AC=2×3=6， ∵∠ACB=90°，BC=4，AC=3， ∴AB=∴sin∠BAC=

，

，

第13页（共27页）

，

∴A′D=AA′?sin∠BAC=6×=

即AE+DE的最小值是故选B

．

【点评】本题考查了利用轴对称确定最短路线问题，主要利用了勾股定理，垂线段最短，锐角三角函数的定义，难点在于确定出点D、E的位置．

二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分） 13．（3分）分解因式：2a3﹣8a= 2a（a+2）（a﹣2） ． 【分析】原式提取2a，再利用平方差公式分解即可． 【解答】解：原式=2a（a2﹣4）=2a（a+2）（a﹣2）， 故答案为：2a（a+2）（a﹣2）

【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方程是解本题的关键．

14．（3分）如图，以正六边形ABCDEF的中心为坐标原点建立平面直角坐标系，顶点C、F在x轴上，顶点A的坐标为（1，﹣） ．

），则顶点D的坐标为 （﹣1，

【分析】根据图形，利用对称的性质计算即可求出D的坐标． 【解答】解：根据图形得：D（﹣1，﹣故答案为：（﹣1，﹣

）

），

【点评】此题考查了正多边形和圆，以及坐标与图形性质，熟练掌握对称的性质是解本题的关键．

15．（3分）计算：45°39′+65°41′= 111°20′， ．

【分析】两个度数相加，度与度，分与分对应相加，分的结果若满60，则转化

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为度．

【解答】解：45°39′+65°41′=111°20′， 故答案为：111°20′，

【点评】本题考查了角的加减乘除运算．遇到加法时，先加再进位；遇到减法时，先借位再减；遇到乘法时，先乘再进位；遇到除法时，先借位再除．

16．（3分）一组数据5，2，x，6，4的平均数是4，这组数据的方差是 2 ． 【分析】先由平均数的公式计算出x的值，再根据方差的公式计算即可． 【解答】解：∵数据5，2，x，6，4的平均数是4， ∴（5+2+x+6+4）÷5=4， 解得：x=3，

∴这组数据的方差是[（5﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（6﹣3）2+（4﹣3）2]=2； 故答案为：2．

【点评】本题考查方差的定义与意义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．

17．（3分）如图，下列各图中的三个数之间具有相同规律．依此规律用含m，n的代数式表示y，则y= m（n+2） ．

【分析】根据数的特点，上边的数与比左边的数大2的数的积正好等于右边的数，然后写出M与m、n的关系即可 【解答】解：∵1×（2+2）=4， 3×（4+2）=18， 5×（6+2）=40， …，

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∴y=m（n+2）， 故答案为m（n+2）．

【点评】本题是对数字变化规律的考查，观察出上边的数与比左边的数大2的数的积正好等于右边的数是解题的关键．

三、解答题（本题4个小题，每小题6分，共24分） 18．（6分）计算：

﹣|2﹣

|+（﹣2）﹣2﹣（π﹣3.14）0．

【分析】分母有理化，化0指数幂为1，整理后得答案； 【解答】解：原式==

．

【点评】本题考查了二次根式的混合计算，关键是根据根式与分数指数幂的互化及其化简运算．

19．（6分）先化简，再求值：a（a﹣2b）﹣（a+b）（a﹣b），其中a=，b=﹣1． 【分析】根据单项式乘多项式、平方差公式可以化简题目中的式子，然后将a、b的值代入化简后的式子即可解答本题． 【解答】解：a（a﹣2b）﹣（a+b）（a﹣b） =a2﹣2ab﹣a2+b2 =﹣2ab+b2，

当a=，b=﹣1时，原式=﹣2××（﹣1）+（﹣1）2=1+1=2．

【点评】本题考查整式的混合运算﹣化简求值，解答本题的关键是明确整式的化简求值的计算方法．

20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A（1，﹣4），且与x轴交于B、C两点，点B的坐标为（3，0）． （1）写出C点的坐标，并求出抛物线的解析式；

（2）观察图象直接写出函数值为正数时，自变量的取值范围．

第16页（共27页）

【分析】（1）依据顶点为A（1，﹣4），且与x轴交于B、C两点，点B的坐标为（3，0），可得点C的坐标为（﹣1，0），设抛物线的解析式为y=a（x﹣3）（x+1），把A（1，﹣4）代入，可得二次函数解析式；

（2）当函数值为正数时，观察x轴上方部分的抛物线，即可得到自变量的取值范围是x＜﹣1或x＞3．

【解答】解：（1）∵顶点为A（1，﹣4），且与x轴交于B、C两点，点B的坐标为（3，0），

∴点C的坐标为（﹣1，0），

设抛物线的解析式为y=a（x﹣3）（x+1）， 把A（1，﹣4）代入，可得 ﹣4=a（1﹣3）（1+1）， 解得a=1，

∴抛物线的解析式为y=（x﹣3）（x+1）， 即y=x2﹣2x﹣3；

（2）由图可得，当函数值为正数时，自变量的取值范围是x＜﹣1或x＞3．

【点评】本题考查了二次函数的解析式的求法、二次函数的性质、二次函数与二次方程的联系等代数问题；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要

第17页（共27页）

求．

21．（6分）甲袋中装有4个相同的小球，分别标有3，4，5，6；乙袋中装有3个相同的小球，分别标有7，8，9．芳芳和明明用摸球记数的方法在如图所示的正六边形ABCDEF的边上做游戏，游戏规则为：游戏者从口袋中随机摸出一个小球，小球上的数字是几，就从顶点A按顺时针方向连续跳动几个边长，跳回起点者获胜；芳芳只从甲袋中摸出一个小球，明明先后从甲、乙口袋中各摸出一个小球．如：先后摸出标有4和7的小球，就先从点A按顺时针连跳4个边长，跳到点E，再从点E顺时针连跳7个边长，跳到点F．

分别求出芳芳、明明跳回起点A的概率，并指出游戏规则是否公平．

【分析】运用树状图法，分别求得芳芳、明明跳回起点A的概率，进而得出游戏规则是否公平． 【解答】解：芳芳： 画树状图可得：

有4种等可能的结果，其中1种能跳回起点A， 故芳芳跳回起点A的概率为； 明明：

画树状图可得：

第18页（共27页）

有12种等可能的结果，其中3种能跳回起点A， 故明明跳回起点A的概率为；

∴芳芳、明明跳回起点A的概率相等，故游戏规则公平．

【点评】本题主要考查了游戏的公平性，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．

四、（本题7分）

22．（7分）如图，在平行四边形ABCD中，AD＞AB．

（1）作∠BAD的平分线交BC于点E，在AD边上截取AF=AB，连接EF（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）判断四边形ABEF的形状，并说明理由．

【分析】（1）由角平分线的作法容易得出结果，在AD上截取AF=AB，连接EF；画出图形即可；

（2）由平行四边形的性质和角平分线得出∠BAE=∠AEB，证出BE=AB，由（1）得：AF=AB，得出BE=AF，即可得出结论． 【解答】解：（1）如图所示：

第19页（共27页）

（2）四边形ABEF是菱形；理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAE=∠AEB， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE=∠DAE， ∴∠BAE=∠AEB， ∴BE=AB，

由（1）得：AF=AB， ∴BE=AF， 又∵BE∥AF，

∴四边形ABEF是平行四边形， ∵AF=AB，

∴四边形ABEF是菱形．

【点评】本题考查了平行四边形的性质、作图﹣基本作图、等腰三角形的判定、菱形的判定；熟练掌握平行四边形的性质和角平分线作图，证明BE=AB是解决问题（2）的关键．

五、（本题7分）

23．（7分）为了了解某中学学生的身高情况，随机对该校男、女生的身高进行抽样调查．抽取的样本中，男、女生的人数相同，根据所得数据绘制成如图所示的统计图表．

组

男女生身高第20页（共27页）

当矩形与△CBD重叠部分为三角形时，如图， 则0＜x≤1，

∴FN=x，∠FNM=∠ADC=60°． ∴FM=S=x?

x x=

x2，

当矩形与△CBD重叠部分为直角梯形时，如图2， 则 1＜x≤2， ∵FN=x，DG=x﹣1

∴重叠部分的面积S=（DG+FN）FG=（x﹣1+x）×

=（2x﹣1）；

（3）如图3，作H1Q⊥AB于Q， 设DQ=m，则H1Q=∵DG=1，H1G=2， ∴GQ=m+1，

在Rt△H1QG中，根据勾股定理得，H1Q2+GQ2=H1G2， ∴3m2+（m+1）2=4， 解之得m=∴QG=1+

=

（负的舍去），

m，

∴cosα===．

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【点评】此题是四边形综合题，主要考查了直角三角形的性质，矩形的性质，中位线的性质和三角函数定义等，利用分类讨论的思想，构建直角三角形是解答此题的关键．

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