【人教A版】高中数学同步辅导与检测：选修1-1 第一章1.2充分条件

第一章 常用逻辑用语 1.2 充分条件与必要条件

A级 基础巩固

一、选择题

1．“α＝π1

6”是“cos 2α＝2”的( )

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：由cos 2α＝1

2，可得α＝kπ±π6(k∈Z)，故选A.答案：A

2．(2016·天津卷)设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的( A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

解析：当x＝1，y＝－2时，x>y，但x>|y|不成立； 若x>|y|，因为|y|≥y，所以x>y. 所以x>y是x>|y|的必要而不充分条件． 答案：C

3．x2＜4的必要不充分条件是( ) A．0＜x≤2

B．－2＜x＜0

)

C．－2≤x≤2 D．1＜x＜3

解析：x2＜4即－2＜x＜2，因为－2＜x＜2能推出－2≤x≤2，而－2≤x≤2不能推出－2＜x＜2，所以x2＜4的必要不充分条件是－2≤x≤2.

答案：C

4．(2016·山东卷)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：由题意知a?α，b?β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A.

答案：A

5．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是( )

A．m＝2 C．m＝－1

B．m＝－2 D．m＝1

解析：当m＝－2时，f(x)＝x2－2x＋1， 其图象关于直线x＝1对称，反之也成立，

所以函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2.

答案：B

二、填空题

6．设a，b是实数，则“a＋b＞0”是“ab＞0”的_____________条件．

解析：若a＋b＞0，取a＝3，b＝－2，则ab＞0不成立； 反之，若a＝－2，b＝－3，则a＋b＞0也不成立， 因此“a＋b＞0”是“ab＞0”的既不充分也不必要条件． 答案：既不充分也不必要条件

7．关于x的不等式|2x－3|＞a的解集为R的充要条件是________．

解析：由题意知|2x－3|＞a恒成立． 因为|2x－3|≥0，所以 a＜0. 答案：a＜0

8．对任意实数a，b，c，给出下列命题： ①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件；

②“b－2是无理数”是“b是无理数”的充要条件； ③“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件； ④“a＜5”是“a＜3”的必要条件． 其中真命题的序号是________． 解析：①中由“a＝b”可得ac＝bc，

但由“ac＝bc”得不到“a＝b”，所以不是充要条件； ②是真命题；

③中a＞b时，a2＞b2不一定成立，所以③是假命题； ④中由“a＜5”得不到“a＜3”， 但由“a＜3”可以得出“a＜5”，

所以“a＜5”是“a＜3”的必要条件，是真命题．

答案：②④ 三、解答题

9．已知p：－4＜x－a＜4，q：(x－2)(x－3)＜0，且q是p的充分而不必要条件，试求a的取值范围．

解：设q，p表示的范围为集合A，B，则A＝(2，3)，B＝(a－4，a＋4)．由于q是p的充分而不必要要件，则有A

??a－4＜2，或?解得－1≤a≤6. ?a＋4≥3，?

??a－4≤2，

B，即?

??a＋4＞3

10．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.

证明：必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1， 所以x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0，即a＋b＋c＝0. 充分性：因为a＋b＋c＝0，所以c＝－a－b， 代入方程ax2＋bx＋c＝0中可得ax2＋bx－a－b＝0， 即(x－1)(ax＋a＋b)＝0.

故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.

所以关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.

B级 能力提升

1

1．m＝是直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与直线(m－2)x＋(m＋2)y

2－3＝0相互垂直的( )

A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

15335

解析：当m＝时，两直线为x＋y＋1＝0和－x＋y－3＝0，

22222两直线斜率之积为－1，两直线垂直；而当两直线垂直时，(m＋2)(m－2)＋3m(m＋2)＝0，即2(m＋2)(2m－1)＝0，所以 m＝－2或m＝ 1

.所以 为充分不必要条件． 2

答案：B

2．已知p：不等式x2＋2x＋m＞0的解集为R；q：指数函数f(x)

?1?x

＝?m＋4?为增函数，则p是q成立的________条件． ??

解析：p：不等式x2＋2x＋m＞0的解集为R，

?1?x

即Δ＝4－4m＜0，m＞1；q：指数函数f(x)＝?m＋4?为增函数，

??

13

即m＋＞1，m＞，则p是q成立的充分不必要条件．

44

答案：充分不必要

3．已知p：－2≤x≤10，q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，若綈p是綈q的充分不必要条件．求实数m的取值范围．

解：p：－2≤x≤10.q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)?[x－(1－m)][x－(1＋m)]≤0(m＞0)?1－m≤x≤1＋m(m＞0)．

因为綈p是綈q的充分不必要条件，所以q是p的充分不必要条件，即{x|1－m≤x≤1＋m}

??1－m＞－2，

? ?1＋m≤10，?

??1－m≥－2，

{x|－2≤x≤10}，故有?或

??1＋m＜－10

解得m≤3.又m＞0，所以实数m的取值范围为{m|0＜m≤3}.

本题还可用以下方法求解．

因为p：－2≤x≤10，所以綈p：x＜－2或x＞10.

q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)?[x－(1－m)][x－(1＋m)]≤0(m＞0)?1－m≤x≤1＋m(m＞0)，

綈q：x＜1－m或x＞1＋m(m＞0)．因为綈p是綈q的充分不必要条件，所以

{x|x＜－2或x＞10}{x|x＜1－m或x＞1＋m}，

??1－m≥－2，??1－m＞－2，故有?或?

???1＋m＜10?1＋m≤10，

解得m≤3.又m＞0，所以实数m的取值范围为{m|0＜m≤3}.

本题还可用以下方法求解．

因为p：－2≤x≤10，所以綈p：x＜－2或x＞10.

q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)?[x－(1－m)][x－(1＋m)]≤0(m＞0)?1－m≤x≤1＋m(m＞0)，

綈q：x＜1－m或x＞1＋m(m＞0)．因为綈p是綈q的充分不必要条件，所以

{x|x＜－2或x＞10}{x|x＜1－m或x＞1＋m}，

??1－m≥－2，??1－m＞－2，故有?或?

???1＋m＜10?1＋m≤10，

解得m≤3.又m＞0，所以实数m的取值范围为{m|0＜m≤3}.

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