【备战2024年】历届高考数学真题汇编专题7_平面向量_理(2024-201

【2012年高考试题】

1.【2012高考真题重庆理6】设x,y?R，向量a?(x,1),b?(1,y),c?(2,?4)且a?c,b//c，则a?b

（A）5 （B）10 （C）25 （D）10

2.【2012高考真题浙江理5】设a，b是两个非零向量。

A.若|a+b|=|a|-|b|，则a⊥b B.若a⊥b，则|a+b|=|a|-|b|

C.若|a+b|=|a|-|b|，则存在实数λ，使得b=λa D.若存在实数λ，使得b=λa，则|a+b|=|a|-|b|

????ab3.【2012高考真题四川理7】设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使???成立的

|a||b|充分条件是（ ）

??????????A、a??b B、a//b C、a?2b D、a//b且|a|?|b|

【答案】C

??abab??【解析】A.可以推得为既不充分也不必要条件；B.可以推得???

|a||b||a||b|或a|a|??b|b|为必要不充分条件；C．为充分不必要条件；D同B.

4.【2012高考真题辽宁理3】已知两个非零向量a，b满足|a+b|=|a?b|，则下面结论正确的

用心 爱心 专心

- 1 -

是

(A) a∥b (B) a⊥b (C){0,1,3} (D)a+b=a?b

5.【2012高考真题江西理7】在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则

PA?PBPC222=

A．2 B．4 C．5 D．10

????????6.【2012高考真题湖南理7】在△ABC中，AB=2，AC=3，AB?BC= 1则BC?___.

A.3 B.7 C.22 D.23 【答案】A

用心 爱心 专心 - 2 -

7.

????????????【2012高考真题广东理3】若向量BA=（2,3），CA=（4,7），则BC=

A．（-2,-4） B． (3,4) C． (6,10) D． (-6,-10) 【答案】A

【解析】BC?BA?CA?(2,3)?(4,7)?(?2,?4)．故选A．

8.【2012高考真题广东理8】对任意两个非零的平面向量α和β，定义???????．若平????n面向量a，b满足|a|≥|b|＞0，a与b的夹角??(0,)，且a?b和b?a都在集合{|n?Z}42?中，则a?b=

?A．

135 B.1 C. D. 222????9.【2012高考真题安徽理8】在平面直角坐标系中，O(0,0),P(6,8)，将向量OP按逆时针旋

用心 爱心 专心 - 3 -

????3?转后，得向量OQ，则点Q的坐标是（ ）

4(A)(?72,?2) (B) (?72,2) (C) (?46,?2) (D)(?46,2)

10.【2012高考真题天津理7】已知?ABC为等边三角形，AB=2，设点P，Q满足AP??AB，

3AQ?(1??)AC，??R，若BQ?CP??，则?=

2（A）

11?2 （B） 22 （C）

1?10?3?22 （D） 22【答案】A

【解析】如图

，设AB?b,AC?c ，则b?c?2,b?c?2，又

BQ?BA?AQ??b?(1??)c，CP?CA?AP??c??b，由BQ?CP??223得2即

[?b?(1??)c]?(?c??b)?(??1)c??b?(???2?1)b?c??32，

用心 爱心 专心 - 4 -

4(??1)?4??2(???2?1)??选A.

132，整理4??4??1?0，即(2??1)2?0，解得??2211.【2012高考真题全国卷理6】△ABC中，AB边的高为CD，若|b|=2，则

a·b=0，|a|=1，

(A) （B） (C) (D)

??????

12.【2012高考真题新课标理13】已知向量a,b夹角为45，且a?1,2a?b?10；则?b?_____

?????BAC?13.【2012高考真题浙江理15】在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则A=________.

【答案】-16

【解析】法一此题最适合的方法是特例法．

假设?ABC是以AB＝AC的等腰三角形，如图，

AM＝3，BC＝10，AB＝AC＝34．

用心 爱心 专心 - 5 -

????????????????34?34?1008cos∠BAC＝??．AB?AC＝AB?ACcos?BAC??16

2?3417法二：

221111AB?AC?(?BC?AM)?(BC?AM)??BC?AM???102?32??16.

224414.【2012高考真题上海理12】在平行四边形ABCD中，?A??3，边AB、AD的长分别

为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足值范围是 。

|BM||BC|?|CN||CD|，则AM?AN的取

15.【2012高考真题山东理16】如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动。当圆滚动到圆心位于

????(2,1)时，OP的坐标为______________.

【答案】(2?sin2,1?cos2)

【解析】因为圆心移动的距离为2，所以劣弧PA?2，即圆心角

用心 爱心 专心

- 6 -

?PCA?2PB?s,,则

?PCA?2??2,所以

2i?n)?(?c2?2o，sCB?cos(2?)?sin2，所以xp?2?CB?2?sin2，

2?yp?1?PB?1?cos2，所以OP?(2?sin2,1?cos2)。

16.【2012高考真题北京理13】已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE?CB的值为________，DE?DC的最大值为______。

??????17.【2012高考真题安徽理14】若平面向量a,b满足：2a?b?3，则a? b的最小值是_____。

【答案】?9 8???2?2??2a?b?3?4a?b?9?4a?b【解析】?2 ?2??????????94a?b?4ab??4a?b?9?4a?b??4a?b?a?b??818.【2012高考江苏9】（5分）如图，在矩形ABCD中，AB?2，BC?2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若AB?AF?2，则AE?BF的值是 ▲ ．

用心 爱心 专心

- 7 -

????????????????

【2011年高考试题】 一、选择题:

1. (2011年高考山东卷理科12)设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，

????????????????????11??2,则称A3，A4调和分割A1，若A (λ∈R)，(μ∈R)，且A??AAAA??AA13121412??A2 ,已知点C(c，o),D(d，O) (c，d∈R)调和分割点A(0，0)，B(1，0)，则下面说法正确的

是

(A)C可能是线段AB的中点 (B)D可能是线段AB的中点 (C)C，D可能同时在线段AB上

用心 爱心 专心 - 8 -

(D) C，D不可能同时在线段AB的延长线上

3. (2011年高考全国新课标卷理科10)已知a与b均为单位向量，其夹角为?，有下列四个命题

?2?P:a?b?1???0,1??3??2?? P:a?b?1???,?? 2??3?????????P3:a?b?1????0,? P4:a?b?1????,??

?3??3?其中的真命题是

（A）P1,P3 （C）P1,P4 （B）P2,P3 （D）P2,P4

用心 爱心 专心 - 9 -

????????????5. (2011年高考四川卷理科4)如图，正六边形ABCDEF中，BA?CD?EF=( )

????????????(A)0 (B)BE (C)AD (D)CF

答案：D

????????????????????????????????????????解析：BA?CD?EF?DE?CD?EF?CD?DE?EF?CF.

???????16. (2011年高考全国卷理科12)设向量a、b、c满足|a|=|b|=1, a?b=?,，

2?????0?a?c,b?c?=60，则c的最大值等于

(A)2 (B)3 (c)2 (D)1 【答案】A

BACD???????????????【解析】如图，构造AB?a, AD?b, AC? c,

?BAD?120?,?BCD?60?，所以A,B,C,D四点共圆，

用心 爱心 专心 - 10 -

?可知当线段AC为直径时，c最大，最大值为2.

7．(2011年高考上海卷理科17)设A1,A2,A3,A4,A5是空间中给定的5个不同的点，则使

??????????????????????????MA1?MA2?MA3?MA4?MA5?0成立的点M的个数为

（ ）

A．0

B．1

C．5

D．10

【答案】B 二、填空题:

????????????1. (2011年高考浙江卷理科14)若平面向量?，?满足??1，??1，且以向量?，?为????1邻边的平行四边形的面积为，则?与?的夹角?的取值范围是 。

2??2.(2011年高考安徽卷理科13)已知向量a，b满足（a+2b）·（a-b）=－6，且a?，b?2，

则a与b的夹角为 .

3. (2011年高考天津卷理科14)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,?ADC?90,AD=2,BC=1,P

?????????是腰DC上的动点,则|PA?3PB|的最小值为 .

用心 爱心 专心 - 11 -

???????????6.(2011年高考重庆卷理科12)已知单位向量ci,cj的夹角为60，则2ci?cj? ?????解析：3。 2ci?cj???????2ci?cj?2??2???2??????4ci?cj?4ci?cj?4?1?4?cos60??3 ?7.(2011年高考安徽卷江苏10)已知e1,e2是夹角为

?????????2?的两个单位向量，3a?e1?2e2,b?ke1?e2, 若a?b?0，则k的值为 .

5 4??【答案】

??????22??2?0,【解析】a?b?(e1?2e2)(ke1?e2)?ke1?(1?2k)e1?e2?2e2?k?(1?2k)cos3?????2用心 爱心 专心 - 12 -

解得k?5. 4【2010年高考试题】

uruurVABC中，CD平方?ACB．（2010全国卷2理数）（8）点D在AB上，若CB?a，CA?b，

uuura?1，b?2，则CD?

（A）a?132213443b （B）a?b （C）a?b （D）a?b 3335555（2010辽宁理数）(8)平面上O,A,B三点不共线，设OA=a,OB?b，则△OAB的面积等于

22b)2 (B) |a|2|b|2?(a?b)2 (A)|a||b|?(a?(C) 11|a|2|b|2?(a?b)2 (D) |a|2|b|2?(a?b)2 22

（2010重庆理数）(2) 已知向量a，b满足a?b?0,a?1,b?2,，则2a?b? A. 0 B. 22 C. 4 D. 8

用心 爱心 专心 - 13 -

解析：2a?b?

(2a?b)2?4a2?4a?b?b2?8?22

（2010四川理数）（5）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，

?????????????????????????2则?AMBC?16?,AB?AC???AB?AC????

（A）8 （B）4 （C） 2 （D）1w_w w. k#s5_u.c o*m

?（2010山东理数） (12)定义平面向量之间的一种运算“?”如下，对任意的a=(m,n)，?b?（p,q)，令

??a?b=mq-np，下面说法错误的是（ ）

????????A.若a与b共线，则a?b=0 B.a?b=b?a

??????2??2?2?2C.对任意的??R，有（?a)?b=?(a?b) D. (a?b)+(ab)=|a||b|

uuuruuur（2010湖南理数）4、在Rt?ABC中，?C=90°AC=4，则AB?AC等于

A、-16 B、-8 C、8 D、16

用心 爱心 专心 - 14 -

1.(2010年安徽理数)

2. （2010湖北理数）5．已知?ABC和点M满足MA?MB+MC?0.若存在实数m使得

?????????AB?AC?mAM成立，则m=

A．2 B．3 C．4 D．5

?????????

（2010浙江理数）（16）已知平面向量?,?(??0,???)满足为120°，则?的取值范围是__________________ .

解析：利用题设条件及其几何意义表示在三角形中，即可迎刃而解，本题主要考察了平面向量的四则运算及其几何意义，突出考察了对问题的转化能力和数形结合的能力，属中档题。

??1，且?与???的夹角

????????（2010江西理数）13.已知向量a，b满足a?1，b?2， a与b的夹角为60°，则a?b?

【答案】 3 【解析】考查向量的夹角和向量的模长公式，以及向量三角形法则、余弦定理等知识，

用心 爱心 专心

- 15 -

??????????????????????????如图a?OA,b?OB,a?b?OA?OB?BA，由余弦定理得：a?b?3

????????（2010天津理数）（15）如图，在?ABC中，AD?AB,BC?3BD, ????????????AD?1,则AC?AD? .

【答案】D

【解析】本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知识，属于难题。

????????????????????????AC?AD?|AC|?|AD|cos∠DAC?|AC|?cos∠DAC?|AC|sin∠BAC?????BCsinB?3

【解析】近几年天津卷中总可以看到平面向量的身影，且均属于中等题或难题，应加强平面向量的基本运算的训练，尤其是与三角形综合的问题。

rrr（2010广东理数）10.若向量a=（1,1,x）, b=(1,2,1), c=(1,1,1),满足条件

rrr(c?a)?(2b)=-2,则x= .

?????10．C．c?a?(0,0,1?x)，(c?a)?(2b)?2(0,0,1?x)?(1,2,1)?2(1?x)??2，解得x?2．

（2010江苏卷）15、（本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。 (1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2)设实数t满足(AB?tOC)·OC=0，求t的值。

（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则:

E为B、C的中点，E（0，1）

又E（0，1）为A、D的中点，所以D（1，4） 故所求的两条对角线的长分别为BC=42、AD=210；

用心 爱心 专心

- 16 -

????????????（2）由题设知：OC=(－2,－1)，AB?tOC?(3?2t,5?t)。

由(AB?tOC)·OC=0，得：(3?2t,5?t)?(?2,?1)?0， 从而5t??11,所以t??11。 5|OC|5?????????????????????2????OC11或者：AB·OC ?tOC，AB?(3,5),t?AB????2?? （2010江苏卷）15、（本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。 (3)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长； (4)设实数t满足(AB?tOC)·OC=0，求t的值。

（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则:

E为B、C的中点，E（0，1）

又E（0，1）为A、D的中点，所以D（1，4） 故所求的两条对角线的长分别为BC=42、AD=210；

????????????（2）由题设知：OC=(－2,－1)，AB?tOC?(3?2t,5?t)。

由(AB?tOC)·OC=0，得：(3?2t,5?t)?(?2,?1)?0， 从而5t??11,所以t??11。 5|OC|5?????????????????????2???AB?OC或者：AB·OC ?tOC，AB?(3,5),t?????2??11 【2009年高考试题】

10.（2009·广东理6）一质点受到平面上的三个力F1,F2,F3（单位：牛顿）的作用而处于

用心 爱心 专心

- 17 -

平衡状态．已知F1，F2成60角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为

A. 6 B. 2 C. 25 D. 27

0b?(2,?3)．c?(a?b)，12.（2009·浙江文5）已知向量a?(1,2)，若向量c满足(c?a)//b，

则c? （ ） A．(,) B．(?7793777777,?) C．(,) D．(?,?) 393993【命题意图】此题主要考查了平面向量的坐标运算，通过平面向量的平行和垂直关系的考查，很好地体现了平面向量的坐标运算在解决具体问题中的应用．

?????????解析：不妨设C?(m,n)，则a?c??1?m,2?n?,a?b?(3,?1)，对于c?a//b，则有

?????77?3(1?m)?2(2?n)；又c?a?b，则有3m?n?0，则有m??,n??

93??????????????13.(2009·山东理7;文.8)设P是△ABC所在平面内的一点，BC?BA?2BP，则（ ） ????????????????????????????????????????A.PA?PB?0 B.PC?PA?0 C.PB?PC?0 D.PA?PB?PC?0 ????????????解析：:因为BC?BA?2BP，所以点P为线段AC的中点，所以应该选B。

答案：B。

【命题立意】:本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则， 可以借助图形解答。

14.（2009·宁夏海南理9）已知O，N，P在?ABC所在平面内，且

OA?OB?OC,NA?NB?NC?0，A?PB?PBP?CP?CPA?且PP依次是?ABC的

（A）重心 外心 垂心 （B）重心 外心 内心

（C）外心 重心 垂心 （D）外心 重心 内心

用心 爱心 专心

，则点O，N，

- 18 -

（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心） 解析：

由OA?OB?OC知,O为?ABC的外心；由NA?NB?NC?0知，O为?ABC的重心;

?PA?PB?PB?PC，?PA?PC?PB?0，?CA?PB?0,?CA?PB,同理，AP?BC,?P为?ABC的垂心，选C.??

23.（2009·辽宁文理3）平面向量a与b的夹角为60，a＝(2,0), | b |＝1，则 | a＋2b |＝

（A）3 （B）23 （C）4 （D）12

0

16.（2009·福建理9，文12）设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a与b不共线，

??????a?c ∣a∣=∣c∣,则∣b ?c∣的值一定等于

?????????A．以a，b为邻边的平行四边形的面积 B. 以b，c为两边的三角形面积 C．a，b为两边的三角形面积 D. 以b，c为邻边的平行四边形的面积 解析： 假设a与b的夹角为?，∣b ?c∣=︱b︱·︱c︱·∣cos∣=︱b︱·︱

??????????????a︱?∣cos(90??)∣=︱b︱·︱a︱?sin?,即为以a，b为邻边的平行四边形的面积，

0????故选A。

3.（2009·广东理10）若平面向量a，b满足a?b?1，a?b平行于x轴，b?(2,?1)，则a? .

解析：a?b?(1,0)或(?1,0)，则a?(1,0)?(2,?1)?(?1,1) 或a?(?1,0)?(2,?1)?(?3,1).

用心 爱心 专心

B

A C P

第7题图

- 19 -

??????o4.（2009·江苏）已知向量a和向量b的夹角为30，|a|?2,|b|?3，则向量a和向量b的数

??量积a?b= 。 ??3解析： 考查数量积的运算。 a?b?2?3??3

2????????o5.（2009·安徽理14）给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为120.

????如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动.

????????????若OC?xOA?yOB,其中x,y?R,则x?y

的最大值是________.

?1????3????1???????????A????BC?BD??B????14.(天津理.15)在四边形ABCD中，AB=DC=（1，1），???，

BABCBD则四边形ABCD的面积是

????????解析：因为AB=DC=（1，1）,所以四边形ABCD为平行四边形,所以

????????1???1???3???3???????BA?????BC?????BD?????(BA?BC) BABCBDBD???????????????????????? ?BD?3BA?3BC,即BA?BC?2,BD?6

则四边形ABCD的面积为S16?2??6?2??315.(天津文15)若等边?ABC的边

24???1?2?长为23，平面内一点M满足CM?CB?CA,则MA?MB?________.

63解析：合理建立直角坐标系，因为三角形是正三角形，故设C(0,0),A(23,0),B(3,3)

用心 爱心 专心 - 20 -

?33131?35这样利用向量关系式，求得M(,)，然后求得MA?(,?),MB?(?,?)，运

222222用数量积公式解得为-2.

3.（2009·浙江理18）（本题满分14分）在?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且

A25， ?25???????? AB?AC?3． （I）求?ABC的面积； （II）若b?c?6，求a的值．

满足cos5.（2009·江苏15）（本小题满分14分） ???设向量a?(4cos?,sin?),b?(sin?,4cos?),c?(cos?,?4sin?) ???（1）若a与b?2c垂直，求tan(???)的值； ??（2）求|b?c|的最大值; ??（3）若tan?tan??16，求证：a∥b. 解析： 本小题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明得基本能力。满分14分。

6.（2009·广东理16）(本小题满分12分）

已知向量a?(sin?,?2)与b?(1,cos?)互相垂直，其中??(0,（1）求sin?和cos?的值；

?2)．

用心 爱心 专心 - 21 -

（2）若sin(???)?10?,0???，求cos?的值． 102【2008年高考试题】

5、（2008·广东理科）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，

????????????AE的延长线与CD交于点F．若AC?a，BD?b，则AF?（）

A．

11a?b 42B．

21a?b 33 C．

11a?b 24D．a?132b 3解析：此题属于中档题.解题关键是利用平面几何知识得出DF:FC?1:2,然后利用向量的加减法则易得答案B. 答案：B

??7、（2008·海南、宁夏）平面向量a，b共线的充要条件是（ ） ??A. a，b方向相同

C. ???R，

??B. a，b两向量中至少有一个为零向量

??b??a

???D. 存在不全为零的实数?1，?2，?1a??2b?0

?????解析：若a,b均为零向量，则显然符合题意，且存在不全为零的实数?1,?2,使得?1a??2b?0；???????若a?0，则由两向量共线知，存在??0，使得b??a，即?a?b?0，符合题意，故选Ｄ

答案：D

?11)，，b?(4，1，0)，?a?b?1．（2008·海南、宁夏理）已知向量a?(0，29且??0，

用心 爱心 专心 - 22 -

则?? ．

解析：由题意?a?b=(4,1??,?)?16?(??1)2??2?29(??0)???3 答案：3

??????02、（2008·江苏2）a,b的夹角为120，a?1,b?3，则5a?b? ▲ 。

解析：本小题考查向量的线形运算。

??2??2?2?2??13??因为a?b?1?3?(?)?? ，所以5a?b?(5a?b)?25a?b?10a?b=49。

22??因此5a?b?7。

答案：7

【2007年高考试题】

2、（2007·广东理10）若向量a,b满足|a|?|b|?1，a,b的夹角为60°，则a?a?a?b=______；

??????????3、（2007·山东理11）在直角?ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是

????2????????????2????????（A）AC?AC?AB （B） BC?BA?BC

????????????????????2(AC?AB)?(BA?BC)????2????????（C）AB?AC?CD （D） CD? ????2AB，，b?(1，?1)，则向量4、（2007·海、宁理2）已知平面向量a?(11)?1) Ａ．(?2，

13a?b?（ ） 22， Ｂ．(?21)，2) Ｄ．(?1

，0) Ｃ．(?1答案：：D 解析：

13a?b?(?1，2). 22用心 爱心 专心

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