第二章 流体静力学

一、 学习导引

1、流体静止的一般方程 （1） 流体静止微分方程

fx?（2） 压强微分

1?p1?p1?p，fy?，fz?

??z??x??ydp??(fxdx?fydy?fzdz)

（3） 等压面微分方程

fxdx?fydy?fzdz?0

2、液体的压强分布

重力场中，液体的位置水头与压强水头之和等于常数，即

z?p??C

如果液面的压强为p0，则液面下深度为h处的压强为

p?p0??h

3、 固体壁面受到的静止液体的总压力

物体受到的大气压的合力为0。计算静止液体对物面的总压力时，只需考虑大气压强的作用。

（1） 平面壁

总压力：P??hcA 压力中心yD?yc?Jc ycA式中，坐标y从液面起算；下标D表示合力作用点；C表示形心。

（2） 曲面壁 总压力：F?Fx2?Fy2?Fz2

分力 ：Fx??hxcAx，Fy??hycAy，Fz??V

4、难点分析

（1）连通器内不同液体的压强传递 流体静力学基本方程式的两种表达形式为z?p??C和p?p0??h。需要注意的是这

两个公式只适用于同一液体，如果连通器里面由若干种液体，则要注意不同液体之间的压强传递关系。

（2）平面壁的压力中心

压力中心的坐标可按式yD?yc?Jc计算，面积惯性矩Jc可查表，计算一般较为复ycA杂。求压力中心的目的是求合力矩，如果用积分法，计算往往还简便些。

（3）复杂曲面的压力体

压力体是这样一部分空间体积：即以受压曲面为底，过受压曲面的周界，向相对压强为零的面或其延伸面引铅垂投影线，并以这种投影线在相对压强为零的面或其延伸面上的投影面为顶所围成的空间体积。压力体内不一定有液体。正确绘制压力体，可以很方便地算出铅垂方向的总压力。

（4）旋转容器内液体的相对静止

液体随容器作等角速度旋转时，压强分布及自由面的方程式为

2g?2r2z0??c

2gp??(?2r2?z)?c

恰当地选取坐标原点，可以使上述表达式简化。 解题时，常常用到高等数学的这样一个定理：抛物线所围的体积等于同高圆柱体体积的一半。证明如下：

22设抛物线放称为z?ar，当r?R时，z?H，即H?aR。

V???rdz??0H2H0z1?H212?dz???RH a2a2二、习题详解

2.1封闭容器内水面的绝对压强p0?107.7kN/m2，当地大气压pa?98.07kN/m2。试求（1）水深h1?0.8m时，A点的绝对压强。（2）若A点距基准面的高度Z?5m，求A点测压管高度及测压管水头，并图示容

器内液体各点的测压管水头线。（3）压力表M和酒精(??7.94kN/m2)测压计h的读数为何值？

解：p??107.7?0.8?90807?115.55kPa pm?107.7?98.07?9.63kPa h?9.637094?1.21m

2.1题图

2.2 一潜水员在水下15m处工作，问潜水员在该处所受的压强是多少?

解：潜水员所受为相对压强：p?15?9.807?147.1kPa 2.3 标出图中A点的位置水头、压强水头和测压管水头。

习题2.3图

2.4一封闭容器盛有?2（水银）>?1（水）的两种不同液体，试问同一水平线上的1、2、3、4、5各点的压强哪点最大？哪点最小？哪些点相等？

解：各点压强大小关系为p5?p1?p2?p3?p4

习题2.4图

2.5 试求水的自由液面下5m处的绝对压强和相对压强。分别用压强的三个度量单位Pa、mmHg及at表示。

解：p?5?9.807?49kPa?367mmHg?0.5at

mmHg?1.53at p??49?101.325?150.36kPa?1127

2.6 若一气压表在海平面时的读数为760mmHg，在一山顶时测得的读数为730mmHg，设空气的密度为1.3kg/m3，试计算山顶高度。

解：H?(760?730)?133.4?313.8m

1.3?9.8072.7量测容器中A点压强的真空计如图所示，已知z=1m，h=2m，当地大气压值为98kPa，求A点的绝对压强，相对压强和真空度。

解：pA??h??Z??9.807?(1?2)??9.807kPa

p?A?98?9.807?88.19kPa

Pv??pA?9807Pa?1mH2O

习题2.7图

2.8计算图中各液面的相对压强。已知：h1?0.91m，

h2?0.61m，h3?h4?0.305m，?水?9789N/m3，

?油?900kg/m3。

2.8题图

（h3?h4)??9.789?(0.305?0.305)??5.97kPa 解：PA???水pC?pB??h2?9.789?0.61?5.97kPa

pD?pc??油g(h1?h2?h3)?5.97?900?9.8?10?3?(0.91?0.61?0.305)?22.07kPa

2.9已知水箱真空表M的读数为0.98kN/m2，水箱与油箱的液

面差H?1.5m，水银柱差h2?0.2m，?油?7.85kN/m3，求h1为多少米？ 解：p???H2O(H?h1?h2)?pa??Hgh2??油h1

pv?pa?p??p??pa?0.98

?0.98??H2O(H?h1?h2)??Hgh2??油h1

h1??Hgh2?0.98??水（H?h2)?水??油?133.4?0.2?0.98?9.807?(1.5?0.2)?5.6m

9.807?7.852.10如图所示，密闭容器上层为空气，中层为密度为?0?834kg/m3的原油，下层为密度

?G?1250kg/m3的甘油，测压管中的甘油表面高程为9.14m，求压力表G的读数。

解：以石油和甘油的分界面为等压面，则

pG??1(7.62?3.66)??2(9.14?3.66)

pG?34.8kPa

2.10题图

2.11图为倾斜水管上测定压差的装置，测得Z?200mm，h?120mm，当（1）（2）?1为空气时，分别求A、B?1?9.02kN/m3为油时；两点的压差。

解：（1）?1?9.02kN/m3为油时

pA??H2Oh?pB??1h??H2OZ

?pAB???(h?z)??1h?(9.81?9.02)?0.12?9.81?0.2??1.867kPa

（2）?1为空气时，

2.11题图

pA?pB??(h?z)?9.807?(0.12?0.2)??0.784kPa

2.12 如图所示，某容器中充满比重0.91的油液，其压强由水银测压计的读数h来确定，水

银比重为13.57。如果压强不变，而使测压计下移到a的位置，试问测压计读数的变化是多少？

习题2.12图 习题2.13图

解： (h??h)?Hg?h?Hg?(a? ?h??h)? 2??Hg1??2?a?0.0694a

2.13 如图所示，两容器A、B，容器A装的是水，容器B装的是酒精，其容重为8kN/m3，用U形水银压差计测量A、B中心点压差，已知h1?h?0.3m，h2?0.25m，求其压差。

解：pA??H2O(h1?h?h2)?pB??酒h??Hgh2

?pAB??酒??Hgh2??水(h?h1?h2)?8?0.3?133.4?.25?9.807?(0.3?0.3?0.25)?27.4kPa 2.14 图示U形管压差计，水银面高差h=15cm，求充满水的A，B两圆筒内的压强差。

解：pA??H2Oh?pB??Hgh

?pAB?(?Hg??H2o)h?(13.6?1)?9.807?0.15?18.5kPa

2.14题图

2.15题图

2.15如图所示，试按复式水银测压计的读数算出锅炉中水面上蒸汽的绝对压强。已知：

H?3m，h1?1.4m，h2?2.5m，h3?1.2m，h4?2.3m。

解：p???H2O(H?h1)??H2O(h2?h1)??H2O(h2?h3)??Hg(h4?h3)?pa p??101.325?9.81?1.6?133.4?1.1?9.81?1.3?133.4?1.1?366.325kPa 2.16一直立煤气管，在底部测压管中测得水柱差h1?100mm，在H?20m高处的测压管测得水柱差h2=115mm，管外空气容重 ?气?12.64N/m3，求管中静止煤气的容重。

习题2.16图 习题2.17图

解：pa??h2??煤气H?(pa??空气H)??h1 ?煤气??(h1?h2)H??空气?9807?(0.1?0.115)?12.64?5.29N3

m20

2.17 在直径D=0.4m的圆桶中盛有油和水，如图所示，用玻璃管A和B确定油水分界面和油的上表面，求1) a=0.2m，b=1.2m,c=1.4m时油的重度。2) a=0.5m,b=1.6m,油的重度为8240N/m3时,桶内水和油的体积。

解：1）

?1(c?a)??HO(b?a)

2 ?1??H2O(b?a)?8.17kN/m3

(c?a) 2）?1(c?a)??H2O(b?a) c?9.807?(1.6?0.5)?0.5?1.81m 8.24 V1? V2??4D2?(c?a)?0.16m3 D2?a?0.0628m3

?42.18 潜艇内的汞气压计读数

h1?800mm，多管汞差计读数h2?500mm，海平面上汞气

压计读数为760mm，海水密度为1025kg/m3，试求潜艇在海面下的深度H。

解：pa??(H?h2)??Hgh2??Hgh2??Hgh1

?Hg(h1?h2?h2)??h2?pa13.6?103?(0.8?0.5?2)?1025?0.5?13.6?0.76? H? ?1025?13.3m 2.18题图

2.18题图 2.19题图

2.19为了精确测定容重为?的液体中A，B两点的压差，特设计图示微压机。测定时的各液面差如图示。试求?与?'的关系及同一高程上A、B两点的压差。

b???h??[b?(a??h)]?0 解：1）???

????1???

??a?b? 2）pA??H???H?pB ?p?pA?pB?H(????)?a?H b2.20密封方形柱体容器中盛水，底部侧面开0.5?0.6m的矩形孔，水面绝对压强

p0?117.7kN/m2，当地大气压pa?98.07kN/m2，

求作用于闸门的水静压力及作用点。

解：p0?117?98.07?19.62kN/m2 h1?p0

??2m2.20题图

P??hcA?9.807?3.1?0.5?0.6?9.15kN

1bh3Jc?12?0.01m ye?ycAhcbh2.21 宽为1m，长为AB的矩形闸门，倾角为45，左侧水深h1?3m，右侧水深h2?2m。试求作用在闸门上的水静压力及其作用点。

01122??h1??h222解：P?P??62.3?27.65?34.65kN 1?P2???sin45sin45h1h22262.3???27.65?(2??3sin45?3sin45??2.46m y0?P1y1?P2y2?P34.652.21题图

2.22 矩形平板闸门，宽b?0.8m，高h?1m，若要求箱中水深h1超过2m时闸门即可自动开启，铰链的位置y应设在何处?

Jc1?? 1hcA18[h?(h1?h)]bh21?0.44m y?0.5?18解：ye? 2.22题图

2.23 金属矩形平板闸门，宽1m，由两根工字钢横梁支撑。闸门高h=3m，容器中水面与闸门顶齐平，如要求两横梁受力相等，两工字钢的位置y1和y2应为多少?

解：作用在闸门上的液体总压力大小及作用点：

13bh121P???h?b?h?4.5?

22 y?h?2m

3将水静压力分布图分为面积相等的两部分，则

P?2.25? 21 P1???h1?b?h1?2.25?

2P1?P2? h1? y1?2.23题图

3?2 22h1?2 3 又因为总压力对水面轴之力矩等于两部分对同一轴的矩求和，即

Py?P1y1?P2y2

2y?y1?y2 y2?2y?y1?4?2?2.58m

2.24如图所示，水箱有四个支座，求容器底的总压力和四个支座反力，并讨论总压力与支座反力不相等的原因。

解：P?(1?3)??H2O?9?353.05kN

P??(3?3?3?1?1?1)??H2O?274.68kN

分析：容器底的总压力等于底部压强乘以底面积；而支座反力等于容器中的总重，二者不是一回事。

2.24题图

2.25图示一容器，上部为油，下部为水。已知h1?1m，油的密度为?0?800kg/m3。h2?2m，求作用在容器侧壁AB单位宽度上的作用力及其作用位置。

11解：P?P1?P2??1h12/sin60???(2?1h1??h2)h2/sin60??45.3kN

22Py?P1y1?P2y2Py?hh2h1h2h2h12h2121?1h12/sin60??1???1h1??(?)??h?(?)2??????23sin602sin60sin602sin60sin60sin603sin60

故 y?2.35m

2.25题图 2.26题图

2.26 如图所示，圆桶直径D=1.6 m，内部装满水，套在直径d=0.8 m的活塞上，H=2m，a?0.5m，求压力表的读数。

解：P?(V1?V2)???[?4D2H??4d2(H?a)]?

? p?P4?A(D2H?d2H?ad2)??4?63.8kpa

?d2 pm?p??a?58.84kPa

2.27某圆柱体的直径d?2m、长l?5m，放置于60?的斜面上，求水作用于圆柱体上的水平和铅直分压力及其方向。

解：PX?

1h1??1?5?24.5kN 22.27题图

2.28 如图所示，一球形容器由两个半球铆接而成，已知球的半径R=1m，H=3m，求作用于螺栓上的力。

解：受压面左右对称,所以作用在曲面上的水平分力px?0，铅直分

11PZ??[(?R2??3?1)?5]?120kN

22120??arctg?1?78?20?

24.5力压力体为球体，方向铅直向下。

4pz??V????R3?41.06KN

3所以作用在螺栓上的总压力为41.06KN，方向铅直向下。

2.29图（a）为圆筒，图(b)为圆球。试分别绘出压力体图并标出力的方向。

2.28题图

解：（略）

2.30 一挡水二向曲面AB如图所示，已知d=1m，h1=0.5m，h2=1.5m，曲面宽为b?1.5m，求总压力的大小和方向。

解： PX??(h1?d1)A????d?A?7.35kN 22因左边水体的压力体和右边液体所形成的压力体受力大小相等，方

向相反，所以PZ?0。

2.31 如图所示，一贮水容器，容器壁上装有3个直径为d=0.5m的半球形圆盖a，b，c，设h=2m，H=2.5m，试求作用在每个球盖上的静水压力。

解： a球： PX?0

1?2 PZ??[(h?H)d2??R3]?1.12KN，方向

2432.30题图

2.31题图

向上。

b球： PX?0 PZ??[(h?H2)?R2??R3]?6.58kN，方向向下。 23

c球： PX??h? PZ????4D2?3.85kN

1?D3?0.32kN，方向向下。 122.32 如图所示，左端半球的直径为1m，试确定当y??DD，?，和0三种情况下作用于55图中半球形曲面上的静水压力的大小及方向。

D 5D?2 Px????D?1540.5N

54解： 1） y?? Pz??(V1?V2) 2） y??D 5D?)???1540.5N 542.32题图

Px???(? Pz??(V2?V1)

3)

y?0

Px?0 Pz?0

2.33图示为一圆柱形盛水容器，半径为R，原水深为h，今以

角速度?绕z轴旋转，试求容器底开始露出时的转速。

解：水在容器静止和运动时具有相同的体积，有

12?RH??R2hH?2h 2r?R时的自由面方程z?60gh?2R22g?2h，又??2?n 602.33题图

从而解得n??R2.34在D=30cm，高度H=50cm的圆柱形容器中盛水深至h?30cm，当容器绕中心轴等角速旋转时，求使水恰好上升到H时的转速。

解：坐标原点取在自由液面的最低点。设液面最低点距容器底的距离为h1，则

(H?h)?R2?12?R(H?h1) 2h1?2h?H?2?0.3?0.5?0.1m

?2()2自由面方程当r?R时，z?解得??D22g?H?h1?0.4

2.34题图

0.4?2g60??18.61/s n??17r8/p D2?22.35如图所示，有一圆柱形容器中充满水，直径D=1.2m，顶盖上在r0?0.34m处开一小孔，在敞口测压管中的水位

a?0.5m，顶盖此时所受的静水总压力为零，问此容器绕中

心轴的转速n为多少？

注：将原题目中r0?0.34m改为r0?0.43m。

2.35题图

解：由公式p??(?2r22g?z)?c，将r?r0,z?0时，p??a代入，得

c??(a??2r022g)

作用在顶盖上的液体压力：p?p0??DD20?2r22g?a???(?2r22g?a??2r022g)

P??20p?2?rdr?2?r?(?2r22g?2r022g)rdr?0

a??2r022g??2D216g??0

16?9.8?0.5 ??16ga8r02?D28?0.43?1.222?44.721 s60??427rpm 2?2.36直径D?600mm，高度H?500mm的圆柱形容器，盛水深至h?0.4m，剩余部分

n?装比重为0.8的油，封闭容器上部盖板中心有一小孔。假定容器绕中心轴等角速旋转时，容器转轴和分界面的交点下降0.4m，直至容器底部。求必需的旋转角速度及盖板上和容器底部最大和最小压强。

2.36题图

解：?R1H??R(H?h)???0.3?0.1 R1?0.036

212222??2gH/R12?16.51s

?2R22g?1.25m

H??中心盖板： p?0

底板中心： h?p??0.4m

盖板边缘： h2?0.4?(H??H)?1.15m水柱 底板边缘： h3?0.4?H??1.65m水柱

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