?2F(x,y)4. 在f(x,y)的连续点(x,y)有?f(x,y);
?x?y5. 随机点(X,Y)落在区域D内的概率
P((X,Y)?D)???f(x,y)dxdy?DD,f?0??f(x,y)dxdy
由于联合概率密度f(x,y)往往是一个分段函数，因此在具体积分时，既要考虑到平面域D，又要考虑到联合概率密度f(x,y)取值为非0的区域，因此，常常是在二者的交集上的积分，这时，采用画图的方式确定积分上下限，就会变得直观而且简单。
四、混合型的二维随机变量
设二维随机变量(X,Y)，其中X为离散型随机变量，P(X?xi)?pi,i?1,2,,n，
Y为连续型随机变量，密度函数为f(x)。此种二维随机变量的联合分布如何求？
§2 边缘分布
一、边缘分布函数：设联合分布函数F(x,y)则
FX(x)?F(x,??)?limF(x,y), FY(y)?F(??,y)?limF(x,y),
y???x???二、离散型随机变量的边缘分布
1、边缘分布律 P(X?xi)??pij?pi? P(Y?yj)??pij?p?j
j?1i?1??2、边缘密度函数 XfX(x)??????f(x,y)dy, Y~fY(y)??????f(x,y)dx.
总结：求解边缘概率密度的一般规律！ §3 条件分布
1、离散型随机变量的条件分布律
P(X?xiY?yj)?pijp?j P(Y?yjX?xi)?pijpi?
于是 pij?p?j?P(X?xiY?yj)?pi??P(Y?yjX?xi)
21
2、连续型随机变量的条件概率密度函数
Y?y的条件下X的条件密度函数fXY(xy)deff(x,y)； fY(y)f(x,y)； fX(x)X?x的条件下Y的条件密度函数fYX(yx)def3、条件分布函数
由条件分布列或条件概率密度可求得条件分布函数：
def在Y?y的条件下X的条件分布函数：FXY(xy)P(X?xY?y)； def在X?x的条件下Y的条件分布函数：FYX(yx)P(Y?yX?x)；
§4 相互独立的随机变量
一、判断方法 1、公式法：
P(X?x,Y?y)?P(X?x)?P(Y?y)F(x,y)?FX(x)?FY(y)
pij?pi??p?jf(x,y)?fX(x)?fY(y)fX|Y(x|y)?fX(x)或fY|X(y|x)?fY(y)2、直观判断：
定理 设(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)，X,Y相互独立的充要条件是：存在两个一元函数f(x),g(y)，使得F(x,y)?f(x)?g(y)
注：对于连续型(X,Y)的联合概率密度f(x,y)，结论也成立。 二、两个重要的二维分布 1、二维均匀分布
?1?, (x,y)?D,（1）密度函数为f(x,y)??SD其中SD为平面闭域D的面积。
?0, 其它.?（2）二维均匀分布的性质：
设(X,Y)服从上述均匀分布，若D1?D则P?(X,Y)?D1??
22
D1的面积
D的面积
2、二维正态分布
2设(X,Y)~N(?1,?2,?12,?2,?)，则
2（1）边缘分布为正态分布，即X~N(?1,?12),Y~N(?2,?2)；
（2）X,Y相互独立的充要条件是??0
（3）则a1X?a2Y服从正态分布，其中a1,a2不全为0 （4）二元正态分布的两个条件分布均为正态分布.
（5）若X,Y均服从正态分布且相互独立，则(X,Y)也服从二维正态分布；
§5 两个随机变量的函数的分布
问题：已知(X,Y)的分布，Z?g(X,Y)是X,Y的连续函数，求Z的分布。 注意：(X,Y)是二维连续型随机变量，Z?g(X,Y)不一定是连续型随机变量， 一、 (X,Y)为离散型随机变量，已知(X,Y)的分布律，一般可用列举法求出Z的
分布律。
二、 (X,Y)为连续型随机变量，分以下五种情况考虑： 1、和的分布
fZ(z)??独立??????f(x,z?x)dx??????f(z?y,y)dy??
????fX(x)fY(z?x)dx????fX(z?y)fY(y)dy注意：使用卷积公式的技巧！！
确定z的间断点的实质：求解两个被积函数都非零的不等式组！这是因为：
fZ(z)??????f(x,z?x)dx?f?0?f(x,z?x)dx?f?0?f(x,z?x)dx?f?0?f(x,z?x)dx
2、线性组合的分布（推广的卷积公式）
若X,Y相互独立，边缘密度函数分别为，则线性和Z?aX?bY(a,b?0)的密度函数为
??1111fZ(z)??f(x,(z?ax))dx??f((z?by),y)dy??|b|??|a|ba 独立??1??111??f(x)fY((z?ax))dx??f((z?by))fY(y)dy??|b|X??|a|Xab?? 23
注：满足可加性的分布：二项、泊松、正态，?2分布。 3、一般函数Z?g(X,Y)
（分布函数法） 若已知(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)，可用积分方法求Z的分布函数，进而再求密度函数。
fZ(z)?P?g(X,Y)?z????f(x,y)dydx?DD?(f?0)??f(x,y)dydx
其中D为?g(x,y)?z?，fZ(z)?FZ?(z) 4、极值分布
M?max(X,Y)。已知X,Y的分布函数分别为FX(x),FY(y),X,Y相互独立。
Fmax(z)?FX(z)FY(z)
N?min(X,Y)。已知X,Y的分布函数分别为FX(x),FY(y),X,Y相互独立。
Fmin(z)?1??1?FX(z)??1?FY(z)?
重点题型归纳
题型1 二维离散型随机变量的各种分布
【例1】设某班车起点站上客人数X服从参数为λ（λ＞０）的泊松分布，乘客在中途下车的概率为p（０＜p＜１），且中途下车与否相互独立．Y为中途下车的人数，求：
（1）在发车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率； （2）二维随机变量（X，Y）的概率分布． 分析：考察二项分布和联合分布列的求解
mm?Cnp(1?p)n?m,n?m答案：（1）P(Y?m|X?n)??，其中m,n?0,1,2,?0,n?m
n?mmn?m?e??,n?m?Cnp(1?p)（2），P(X?n,Y?m)?P(X?n)?P(Y?m|X?n)??n!?0,n?m?其中m,n?0,1,2,
注：一定要注意写法的严密性！
24
【例2】设随机变量X与Y的概率分布列分别为 X P 0 1 31 2 3
Y P ?1 1 30 1 31 1 3且P(X2?Y2)?1，求 （1）（X,Y）的联合分布列； （2）Z=XY的分布列； （3）X 与Y的相关系数
解（1）由于P?X2?Y2??1，因此P?X2?Y2??0。故P?X?0,Y?1??0，因此
P?X?1,Y?1??P?X?1,Y?1??P?X?0,Y?1??P?Y?1??1/3 再由P?X?1,Y?0??0可知
P?X?0,Y?0??P?X?1,Y?0??P?X?0,Y?0??P?Y?0??1/3 同样，由P?X?0,Y??1??0可知
P?X?0,Y??1??P?X?1,Y??1??P?X?0,Y??1??P?Y??1??1/3 Y X 0 1 ?1 0 1 0 1/3 1/3 0 0 1/3 （2）Z?XY可能的取值有?1，0，1,其中P(Z??1)?P(X?1,Y??1)?1/3，
P(Z?1)?P(X?1,Y?1)?1/3，则有P(Z?0)?1/3。因此，Z?XY的分布律为
Z -1 0 1 P 1/3 1/3 1/3 （3）EX?2/3，EY?0，E(XY)?0,cov(X,Y)?0故?XY?0
25
第一章 随机事件和概率
知识要点精讲
§1 随机试验和随机事件
1、随机试验
(1)可以在相同条件下重复进行；
(2)每次试验的可能结果不止一个，并且事先能够明确所有的可能结果； (3)试验之前，不能确定哪个结果会出现.
2、样本空间
试验E的所有可能结果组成的集合. 记为S或?
样本空间和随机试验的关系
3、随机事件
1、随机事件：样本空间的子集
为什么要用样本空间的子集来作为事件的定义？
§2 事件之间的关系与运算
1、事件的五种关系：
包含关系. 相等关系
互不相容(互斥)关系 互逆关系 独立关系
注 事件独立性及其性质。 2、事件的三种运算：
（1）事件的并(和)：
（2）事件的差：A?B?A?AB?AB
（3）事件的交(积)
事件关系的标准记法符号
以上的这些关系和运算，同学们不应停留在集合论的角度，更重要的是要能够从概率论的角度来理解和把握这些关系和运算。这是概率论思维的第一步。 3、事件的运算律
(1)交换律 (2)结合律 (3)分配律 (4)摩根律 注：(1)分配律的记忆方法
(2)推广形式：
1
nnnn分配律: B?[i?1Ai]?i?1(B?Ai)B?[i?1Ai]?i?1(B?Ai)
nnnn摩根律:
i?1Ai?i?1Ai, i?1Ai?i?1Ai
§3 概率的公理化定义和性质
1、 公理化定义
设随机试验为E，样本空间为S，对于E中的每一个事件A，都赋予一个实数P(A)，如果满足下列条件，则称P(A)为事件A的概率：
(1)非负性：0?P(A)?1； (2)归一性：P(?)?1；
????(3)可列可加性：对两两互斥的事件Ai(i?1,2,),有P?Ai???P(Ai)，
?i?1?i?1注：非负性和归一性在随机变量的分布中的体现。
2、概率的性质
有限可加性、减法公式、逆事件概率公式、加法公式 注：各公式的相互推导关系
§4 常见概率模型
1、古典概型
概率计算：A?S的概率为P(A)?N(A) N(?)注意：抓阄模型的各种情况。 2、几何概型
若试验E的样本空间?为有界区域，落在?的子集A上的概率只与A的测度（长度、面积、体积等）有关，而与A的位置和形状无关，则称E为几何概型。
P(A)?A的度量
S的度量注意：有关资料中在定义几何概型中使用“每个基本事件发生的概率相同”，这种说法是不合适的；
（1）度量可以指长度，面积，体积等等，但要保证分子分母度量工具相同。 （2）几何概型的问题可以转化为服从均匀分布的随机变量的问题解决。
2
3、超几何概型
设有N件产品，其中M件次品，今从中任取n件，问其中恰有k(?min{M,n}) 件次品的概率是多少?
kn?kCMCN?M不放回抽样：p? 超几何分布； nCNkCnMk(N?M)n?kMn?kkMk?C()(1?) 二项分布。 有放回抽样：P?nNnNN§5 条件概率与三大概率公式
1、条件概率
条件概率的两种定义（直观含义、公式定义） 注：条件概率的性质都要加上共同条件； 思考：A?B与P(B|A)?1是否等价 ？
2、乘法公式（两个事件、n个事件） 多个事件乘法公式的记忆
在随机变量中的体现（联合分布等于边缘分布乘以条件分布） 3、全概率公式
（1）P(A)??P(Bi)P(ABi)
i?1n（2）公式的本质：由因索果 （3）在随机变量情形下的体现
P(X?xi)??P(Y?yj)P(X?xi|Y?yj)j?1??
fX(x)??4、贝叶斯公式 （1）P(BiA)?????fY(y)fX|Y(x|y)dyP(Bi)P(ABi)?P(B)P(AB)iii?1n (i?1,2,,n)
（2）公式的本质：由果索因，意义——对事物的进一步认识。 （3）在随机变量情形下的体现
f(x)fY|X(y|x)f(x,y)fX|Y(x|y)????X
fY(y)?fX(x)fY|X(y|x)d?? 3
重点题型归纳
题型1 事件的关系和运算
【例1】在电炉上安装了4个温控器，其显示温度的误差是随机的。在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度t0，电炉就断电。以A表示事件“电炉断电”，而T(1)?T(2)?T(3)?T(4)为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件A等于
（A）{T(1)?t0} （C）{T(3)?t0}
（B）{T(2)?t0} （D）{T(4)?t0}
【例2】设A和B是任意两个概率不为0的互不相容事件，则下列结论中肯定正确的是：
（A）A与B不相容
【例3】设A和B是任意两个概率不为0的事件，则(A?B)?(A?B)表示（ ） （A）必然事件 （C）A，B不能同时发生
（B）不可能事件
（D）A，B恰有一个发生
（B）A与B相容。 （D）P（A-B）=P（A）
（C）P（AB）=P（A）P（B）
注：(A?B)?(A?B)?AB?AB，不要错选C，应选D
题型2 概率的性质
【例4】设随机事件A，B及其和事件A?B的概率分别是0.4, 0.3和0.6，若B表示B的对立事件，那么积事件AB的概率P（AB）= 0.3 。
【例5】若事件A?B发生，则必有事件C必发生，证明P(C)?P(A)?P(B)?1
11【例6】设事件A,B,C满足条件：P(AB)?P(AC)?P(BC)?，P(ABC)?，
816则A,B,C至多有一个发生的概率为（ ）
4
解 记D?｛A,B,C至多有一个发生｝，则
P(D)?1?P(D)?1?P(AB?AC?BC)?1?[P(AB)?P(AC)?P(BC)?2P(ABC)]?34
【例7】设事件A,B,C满足条件：
11P(A)?P(B)?P(C)?,P(AB)?0,P(AC)?P(BC)?
467则事件A,B,C都不发生的概率为（ ）答案：
12【练习1】已知随机事件A的概率P(A)?0.5,随机事件B的概率P(B)?0.6及条件概率
P(B|A)?0.8,则和事件
AB的概率
P(AB)=_____0.7_______.
【练习2】甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为____________.
解 A?｛甲中｝，B?{乙中}，C?｛命中目标｝，则A,B独立，且C?A?B，所求概率为 P(A|C)?P(AC)P(A)P(A)???P(C)P(A?B)P(A)?P(B)?P(A)P(B)3? 4题型3 古典概型与几何概型
【例8】在顶点为（0,0），（0,1），（1,0），（1,1）的正方形中任意投入一点记为
M(?,?),求方程x2??x???0有实根的概率。
分析：考察几何概型问题的计算。
解：这是一个几何概型，样本空间为??{(?,?)|0??,??1}
A?{(?,?)|(?,?)??,?2?4??0}，从而P(A)?SA3? S?4评注：（1）应熟悉几何概型的一般计算步骤； （2）几何概型的问题通常都可以转化为随机变量的方法来解决，请试用随机变量的方法来解决此题。
【练习1】随机地向半圆0?y?2ax?x2(a为正常数)内掷点，落在半圆内任何 区域的概率与区域的面积成正比,求原点和该点的连线与x轴的夹角小于?的概
4 5
2??） 2?【练习2】甲乙两船驶向一个不能同时停靠两只船的码头，它们在一昼夜到达的时间是等可能的，如果甲船停泊的时间是1小时，乙船停靠时间是2小时，求任意一只船都不需要等待的概率。
率。答案（
解 设甲乙两船到达时刻分别为x,y，则样本空间G?{(x,y)|0?x,y?24}，从而 甲先到，乙船不需等待的充要条件是：0?x?x?1?y?24； 乙先到，甲船不需等待的充要条件是：0?y?y?2?x?24；
1(232?222)1013于是两船都不需要等待的概率为p?2 ?2421152
题型4 四大重要公式
四大重要公式是指条件概率公式、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式 【例9】（06，4分）设A,B为随机事件，且P(B)?0,P(A|B)?1，则必有
（A）P(A?B)?P(A). （C）P(A?B)?P(A).
（B）P(A?B)?P(B). （D）P(A?B)?P(B).
11,P(C)?,则23【例10】（2012，1）设A,B,C是随机事件，A,C互不相容，P(AB)?P(ABC)?________。
?解 由条件概率的定义，PABC???P?ABC?P?C?，其中PC?1?P?C??1???12?， 33P?ABC??P?AB??P?ABC??1?P?ABC?，由于A,C互不相容，即AC??，213P?AC??0，又ABC?AC，得P?ABC??0，代入得P?ABC??，故PABC?
24??【例11】设随机变量X解
P(?)，随机变量Y在0X间取值，求P(Y?2)。
6
P(Y?2)??P(X?i)P(Y?2|X?i)i?0???[i?2??ii!e???1]i?1???1e????k?3??kk!???1e???(e??1????2
2)题型5 事件的独立性与贝努利概型
【例12】设A、B是两个随机事件，且0?P(A)?1,P(B)?0, P(B|A)?P(B|A)，则必有 A，B相互独立 注：独立性的等价命题：
P(AB)?P(A)P(B)P(B|A)?P(B|A)P(A|B)?P(A)P(B|A)?P(B|A)?1
思考： 若相互独立的事件A，B，且C?A,D?B，则C,D是否独立？ 【例13】设两两相互独立的三事件A，B和C满足条件；ABC??，
19P(A)?P(B)?P(C)?，且已知P(A?B?C)?，则P(A)? 。
216分析：该题重点考察多个随机事件独立性的定义与多个事件两两独立的不同。 答案：0.25，直接利用三个事件的加法公式。 但下面的做法是错误的：
9?P(ABC)?1?P?ABC??1?P(A)P(B)P(C)?1?(1?P(A))3 16【例14】将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A1={掷第一次出现正面}，A2={掷第二次出现正面}，A3={正、反面各出现一次}，A4={正面出现两次}，则事件
（A）A1,A2,A3相互独立。 （C）A1,A2,A3两两独立。
（B）A2,A3,A4相互独立。 （D）A2,A3,A4两两独立。
1解 P(A1A2A3)?0，但P(A1)?P(A2)?P(A3)?，于是三个事件不是相互独立，
2然而可验证两两独立，即答案C正确 !
【例15】某人向同一目标独立的重复射击，每次射击命中目标的概率为p
（(0?p?1)，则此人第４次射击恰好第２次命中的概率3p2(1?p)2. 注：应用贝努利概型的时候，务必要注意明确定义中的各个符号的含义。
1【例16】设两个相互独立的事件A,B都不发生的概率为，A发生且B不发生
9
7
的概率等于B发生且A不发生的概率，则P(A)?（ ）
12解 P(AB)?P(AB)?P(A)?P(B)，?P(AB)?[1?P(A)]2?P(A)?
93【例17】相互独立的三事件A，B和C满足：P(A)?0.4,P(B)?P(C)?0.5，则
P(A?C|AB?C)? 解 P(A?C|AB?C)?P(AC?(AB?C))P(ABC)??
P(AB?C)P(AB)?P(C)?P(ABC)第二章 随机变量及其分布
知识要点精讲 §1随机变量的概念
1、随机变量
随机变量X(e)是一个函数，定义在样本空间S上取实数的单值函数。 直观地讲，随机变量就是随着机会的不同而变化的量，机会就是样本点！
随机变量的分类：离散型、连续型和混合型。
§1离散型随机变量及分布律
一、离散型随机变量
1、分布律：P?X?xk??pk,k?1,2,2、分布律的性质： 二、重要的离散型随机变量
1、（0-1）分布：P?X?k??pk(1?p)1?k (k?0,1) 2、伯努利分布（二项分布）XB(n,p)
。
kn?kP?X?k??Ck (k?0,1,2,np(1?p),n)。
注：应用时要注意X的含义务必和p的含义保持一致！
例 保险公司售出某种寿险（一年）保单2500份.每单交保费100元，当被保人一年内死亡时，家属可从保险公司获得2万元的赔偿.若此类被保人一年内死亡
8
的概率为0.001，设此类被保人一年内死亡的人数为 X，则X服从什么分布？
设此类被保人一年内活着的人数为 Y，则Y服从什么分布？ 3、泊松分布：P?X?k???ke??k! (k?0,1,2,)，记为X~P(?)。
泊松定理 对确定的n和p，如果n很大，而np不太大（比如n?50,np?10）时，二项分布可以用泊松分布近似，即
P?X?k??Cp(1?p)knkn?k??ke??k! （其中??np）
4、几何分布
P?X?k??p(1?p)k?1 (k?1,2,)
写任何离散型随机变量的分布律时，一定要写上随机变量的取值范围！！
§2随机变量的分布函数
一、分布函数定义
1、随机变量X的分布函数：F(x)?P?X?x?，(???x???)
分布函数完整地描述了随机变量X的统计规律性。
注：分布函数、密度函数的定义域都是R，任何情况下都要在整个实数域上讨论这两个函数！！
2、离散型随机变量X，若已知分布律为 P?X?xk??pk,k?1,2,，
x?x1;?0,?p,x1?x?x2;?1??p?p2,x2?x?x3;则X的分布函数为F(x)??1
,??p1?pn?1,xn?1?x?xn???注意：F(x)的各区间xn?1?x?xn，之所以写成前闭后开的形式，是为了使得F(x)满足右连续性，对于离散型和混合型随机变量一定要这样写！以后即便是对于连
续型随机变量的分布函数，对于区间端点也尽量按照这种写法。 二、 分布函数的性质
（1）0?F(x)?1；F(??)?limF(x)?0,F(??)?limF(x)?1；
x???x???（2）F(x)是x的单调非降右连续函数； （3）用分布函数表示概率
9
?P?a?X?b??F(b)?F(a)??P?a?X?b??F(b)?F(a?0)? P?X?a??F(a?0)??P?a?X?b??F(b?0)?F(a)??P?a?X?b??F(b?0)?F(a?0)?P?X?a??F(a)?F(a?0)?注：（1）任何随机变量都存在分布函数。离散型随机变量的分布函数是阶梯函数，连续型随机变量的分布函数是连续函数，但密度函数不一定连续；
（2）只有具有密度函数的随机变量才称为连续型的随机变量，但分布函数连续却不一定是连续型的随机变量；
（3）混合型随机变量的分布函数一般来说不是连续函数，因此可以据此判断其类型。
§3 连续型随机变量
一 、连续型随机变量的定义
1、随机变量X的分布函数为F(x)??2、密度函数的性质 （1）f(x)?0； （2）归一性：???x??f(t)dt，
??f(x)dx?1
（3）F(x)在(??,??)上是x的连续函数； （4）对任何实数值a，恒有P?X?a??0；
（5）在f(x)的连续点，F(x)可导，且F?(x)?f(x)； （6）对任何值a,b都有
P?a?X?b??P?a?X?b??P?a?X?b??P?a?X?b???f(x)dx
ab更一般的，
P(X?G)??f(x)dx?GG?(f?0)?f(x)dx
关于连续型随机变量的所有问题都可以归结为这个公式。对一个分布函数F(x)，概率密度函数不是惟一的；但对一个密度函数，分布函数是唯一的。 二、重要的连续型随机变量 1、均匀分布X~U(a,b)：
10
?0, x?a,1??x?a,a?x?b,??密度函数f(x)??b?a 分布函数F(x)??,a?x?b,
??b?a?0, others.??1, 其他.d?c， b?a称均匀分布满足几何概率。即X在[a，b]的任一子区间取值的概率与该子区间的长度成正比，而与子区间的位置无关，这就是均匀分布的几何意义。
性质 设X~U(a,b)，若(c,d)?(a,b)，则有P?c?X?d??2、指数分布E(?)
??e??x x?0密度函数为 f(x)???0, x?0?0, x?0分布函数F(x)?? ??x?1?e, x?0(??0)，
性质（无记忆性） 设X服从指数分布，对任何正数x0,x，必有
P?X?x0?xX?x0??P?X?x?
无记忆性年龄的解释 3、 正态分布X~N(?,?2)。
密度函数f(x)?1e2???(x??)22?2 (???x???)
标准正态分布 记为X~N(0,1)， 分布函数?(x)??x??1edt 2??t22性质 ①?(x)??(?x)?1,?(?x)?1??(x)；
②X~N(0,1)?P(|X|?x)??(x)??(?x)?2?(x)?1； ③若X~N(?,?2)，则
X???~N(0,1)，且
?b????a???P?a?X?b?????????
?????? 11
§4 随机变量的函数的分布
问题：已知X的分布，Y是X的连续函数Y?g(X)，求Y的分布。 注意，X为连续型随机变量，Y?g(X)不一定是连续型随机变量。
1、X为离散型随机变量：已知X的分布律，可用列举法求出Y的分布律。如果其中g(xi)有相同的，再进行适当合并，即将取值相同的对应概率相加。 2、X为连续型随机变量
（1） 分布函数法:已知X的分布函数fX(x),Y?g(X),求Y的分布函数
FY(y):FY(y)?P?Y?y??P?g(X)?y?
（2） 公式法：已知X的密度函数fX(x),x?(a,b),Y?g(X)连续，若y?g(x) 在(a,b)上单调、可导，且g?(x)?0,则Y的密度函数为
?1?1??fX[g(y)][g(y)]?y, y?(a,?),fY(y)??
??0, 其它.其中 ??min[g(a),g(b)], ??max[g(a),g(b)].
注：求解随机变量函数的分布有两种方法：一是分布函数法，另外一个之公式
法，应能够辨别这两种使用的环境。实际上，分布函数法适用于任何情形，所以必须掌握。
这个知识点对同学们来讲，最困难的可能是担心对分布函数所求的分界点找不正确，其实这是不难解决的，运用分布函数法的时候，一定要沉著冷静，该讨论的时候就讨论，用不着的时候就不要勉强。
题型1 分布函数和密度函数的概念及性质
【例1】 设X和Y是相互独立的连续型随机变量，它们的密度函数分别为fX(x)和fY(y)，分布函数分别为FX(x)和FY(y)，则
（Ａ）fX(x)＋fY(x)必为密度函数； (B) fX(x)fY(x)必为密度函数；
（Ｃ）FX(x)＋FY(x)必为某一随机变量的分布函数；
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(D) FX(x)FY(x)必为某一随机变量的分布函数．
注：（1）应该熟悉一个函数成为密度函数和分布函数充分必要条件；
（2）如果熟悉相互独立的两个随机变量X ，Y的函数Z?max{X,Y}的分布为FX(x)FY(y)，则可得到答案D；
【练习】设F1(x),F2(x)为两个分布函数，相应概率密度函数为f1(x),f2(x)是连续函数，则必为概率密度的是（ D ）
（Ａ）f1(x)f2(x) (B) 2f2(x)F1(x)； （Ｃ）f1(x)F2(x) (D) f1(x)F2(x)?f2(x)F1(x)
【例2】设随机变量X的密度函数为fX(x)，分布函数为FX(x)，且fX(?)x?()fXx，则对于任意实数a，FX(?a)?（ D ）
（A）FX(a) （B）0.5?FX(a) （C）2FX(a)?1 （D）1?FX(a) 解 FX(?a)???a??f(t)dt????af(u)du?1?F(a)
?0,x?0;?【例3】设随机变量X的分布函F(x)??0.5,0?x?1; 则P{X?1}=（ C ）
?1?e?x,x?1?1 （A）0 （B）1 (C)?e?1 (D)1?e?1
2分析：考察利用分布函数求概率，属于基本题。
注：（1）记住P(X?x)?F(x?0)，便可由此轻易得到其他相关公式； （2）这个随机变量是混合型随机变量。
【例4】设f1(x)为标准正态分布的概率密度,f2(x)为[?1,3]上均匀分布的概率密
?af(x),x?0度, 为使得f(x)??1（ A ） (a?0,b?0)为概率密度,则a,b应满足，
?bf2(x),x?0(A)2a?3b?4 (B)3a?2b?4 (C)a?b?1 分析：考察密度函数的性质，属于基本题。答案：A 思考：设随机变量X的密度函数为f(x)，求EX,DX。 【练习】设X则（ A ）
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(D)a?b?2
N(?,?2)，密度函数为f(x)，且a?b?c满足f(a)?f(c)?f(b)，
a?cb?ca?ba?c??????（A）；（B）；（C）a???b（D）b???c 2222分析 根据正态分布函数的图像关于x??对称，可知
a?b???2??b?c?2??a，整理即得。
题型2 随机变量的分布律和分布函数的求解
?f1(x), a?x?b?Xf(x)?设随机变量的概率密度为 ?f2(x), b?x?c求分布函数F(x)。【例5】
?0, 其他?x解 F(x)?????0,x?a?x???af1(t)dt,a?x?bf(t)dt??b x??f1(t)dt??f2(t)dt,b?x?cb?a??1,x?c11P(X??1)?,P(X?1)?设随机变量X的绝对值不大于1，。在事件【例6】
84{?1?X?1}出现的条件下，X在区间（-1，1）内的任一子区间上取值的条件概
率与该子区间的长度成正比。试求X的分布函数F(x)?P(X?x)。 解 ?x?R,F(x)?P(X?x),当x??1时，F(x)?0；当x?1时，F(x)?1； 当?1?x?1时，
F(x)?P(X?x)?P(X??1)?P(?1?X?x)1??P(?1?X?1)?P(?1?X?x|?1?X?1)81 ??[1?P(X??1)?P(X?1)]?k(x?1)8111??[1??]?k(x?1)88415???k(x?1)88由已知条件，当(a,b)?(?1,1)时，P(a?X?b|?1?X?1)?k?(b?a) 注意到，1?P(?1?X?1|?1?X?1)?k?2，所以k?1， 2 14
?0,当x??1?15?综上F(x)??+(x?1),当?1?x?1
?816??1,当x?1注意： X为混合型随机变量。
3的液体，假设一个小孔出现在容器4的6个侧面的任何一部位是等可能的，现在容器侧面出现了一个小孔，液体经此孔流出，求
3（1）容器内剩余液体液面的高度X的分布函数F(x)；（2）P(X?)
43解 ?x?R,F(x)?P(X?x),当x?0时，F(x)?0；当x?时，F(x)?1；
43当0?x?时，{X?x}意味着小孔出现在下底面或者除了上顶面以外的四个侧
41?4x面中与底面距离?x的区域，由几何概型可知：?x?R,F(x)?P(X?x)?。
6（以下略）
【练习】从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,假设再各个交通岗遇到红
【例7】一边长为1的正方体容器内赚装有
灯的事件是相互独立的,并且概率都是2.设X为途中遇到红灯的次数,求随机变量
5X的分布律、分布函数和数学期望.
题型3 利用常见分布求解概率
【例8】设随机变量X
N(?,?2)，则随着?的增大，概率P(|X??|??)
（B）单调减小。 （D）增减不定。
（A）单调增大。 （C）保持不变。
（2013，1）、设X1,X2,X3是随机变量，且 【例9】
X1~N(0,1),X2~N(0,4),X3~N(5,9)，pi?P(?2?Xi?2)，则（ ） （A） p1?p2?p3；（B）p2?p1?p3；（C）p3?p1?p2；（D）p1?p3?p2 解：事实上，设X~N(0,1)，则
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p1?P(?2?X1?2)?2?(2)?1
p2??(1)??(?1)?P(?1?X?1)p1?2?(1)?1，
77p3??()??(1)?P(1?X?)，
33根据标准正态分布的图像，可以知道，p2?p3
（2013，1）设随机变量Y服从参数为1的指数分布，a为正常数，则【例10】
P(Y?a?1|Y?a)? 解 可直接计算，也可由指数分布的无记忆性，得P(Y?a?1|Y?a)?1?e?1。 【例11】设XN(2,?2)，且P(2?X?4)?0.3，则P(X?0)?
22解 P(2?X?4)?0.3??()??(0)?0.3??()?0.8
???22P(X?0)??()?1??()?0.2
??【练习】若随机变量X服从N(2,?2),且P(2?X?4)?0.3则P(X?0)?___0.2__.
题型4 常见分布的逆问题
22【例12】设随机变量X~N(?,?)，且二次方程y?4y?X?0无实根的概率
为0．5，则μ＝______4____.
【例13】设随机变量X服从正态分布N(0,1)，对给定的?(0???1)，数u?满足
P{X?u?}??，若P{X?x}??，则x等于[ Ｃ ]
(A) u?. (B) u21??2. (C) u1?? . (D) u1?? .
2分析：考察正态分布的上?分位点的概念。
评注：应该注意一般分布的上?分位点的概念。
22【例14】 设随机变量X服从正态分布N(?1,?1)，Y服从正态分布N(?2,?2)，
且P{|X??1|?1}?P{|Y??2|?1},则必有 Ａ （A）?1??2. （B）?1??2. （C）?1??2. （D）?1??2.
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题型5 随机变量函数的分布
【例15】设X?1,X为偶数，求Y的分布列。 B(n,p)，令Y????1,X为奇数P(?)，如何求解？
思考： 如果条件改为：X
?2x/?2, 0?x??,求 【练习1】设随机变量X的密度为fX(x)???0, 其他,（1）Y?sinX的概率密度；(2)Z?cosX的概率密度。
2?,0?y?1,?2答案：fY(y)???1?y
?0,其他.??0, x?0?Xf(x)?设随机变量的密度函数为试求： ?12?x【练习2】
xe, x?0??2（1）Y?2X?3； （2）Y?X2；
y?3??1?y?3?2?????2?e, y?3??答案：fY(y)??4?2? ??0, y?3??1ze?z, z?0?fZ(z)??4
??0, z?0?1?X设一设备开机后无故障工作的时间服从指数分布E【例16】 ??（单位：小
?5?时），出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机，试求该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数FY(y).
解 Y?min{X,2}.当y?0时，FY(y)?0，当y?2时，FY(y)?1;
当0?y?2时，
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FY(y)?P{Y?y}?P{min{X,2}?y}?1?P{min{X,2}?y} ?1?P(X?y,2?y)?1?P(X?y)?P{X?y}?FX(y)?1?e.?0, y?0,?y??5所以Y的分布函数为FY(y)??1?e, 0?y?2,
?1, y?2.??注：Y为混合型随机变量。
?y5
?1?2,?1?x?0??132fx?设随机变量X的概率密度为???,0?x?2,令Y?X，Z?X，x【例17】
?4?0,其它??分别求Y,Z的概率密度。
?12?x,0?x?3（2013，1）、设随机变量X的概率密度函数为，令 f(x)??9【例18】
??0,others?2,X?1?Y??X,1?X?2，求（1）Y的分布函数；（2）求概率P(X?Y)。
?1,X?2?分析：根据随机变量Y的定义，可知Y为混合型随机变量，此时写分布函数FY(x)时，一定要将分段的区间写成前闭后开xn?1?x?xn的形式， 解 （1）?y?R,FY(y)?P(Y?y)，由Y的定义，可知： 当y?1时，FY(y)?0； 当y?2时，FY(y)?1； 当1?y?2时，
18
FY(y)?P(Y?y)?P(X?1)P(Y?y|X?1)?P(1?X?2)P(Y?y|1?X?2)?P(X?2)P(Y?y|X?2)?P(X?1)P(2?y|X?1)?P(1?X?2)P(X?y|1?X?2)?P(X?2)P(1?y|X?2)?0?P(1?X?2)P(X?y|1?X?2)?P(X?2)?P(1?X?y)?P(X?2)??y13112xdx??x2dx299y3?18?27y?1?0,?3?y?18,1?y?2 综上 FY(y)???27y?2??1,（2）
P(X?Y)?P(X?1)P(X?Y|X?1)?P(1?X?2)P(X?Y|1?X?2)?P(X?2)P(X?Y|X?2)?P(X?1)P(X?2|X?1)?P(1?X?2)P(X?X|1?X?2)?P(X?2)P(X?1|X?2)?P(X?1)?P(1?X?2)?011218??x2dx??x2dx?091927【练习1】设随机变量XU(0,4),求Y?X2?2X?3的密度函数。
?0,y??4??4?y,?4?y??3?2答案：分布函数FY(y)??，
?1?4?y,?3?y?5?4??1,y?5?1?44?y,?4?y??3??1,?3?y?5 密度函数fY(y)??84?y??0,其它??【练习2】设随机变量
X的概率密度函数为fX(x)?1,求随机变量2?(1?x)Y?1?3X的概率密度函数fY(y). 3(1?y)2答案：fY(y)? 6?[1?(1?y) 19
第三章 多维随机变量及其分布
知识要点精讲
§1 二维随机变量及其联合分布
一、二维随机变量
二维随机变量(X,Y)是一个整体，它既分别与X,Y有关，还依赖于X,Y的相互关系；本章研究四个问题：
（1）(X,Y)的整体性质：联合分布——（联合分布列，联合密度函数） （2）X,Y单个的性质：边缘分布——（边缘分布列，边缘密度函数）； （3）X,Y之间的关系：条件分布——（条件分布列，条件分布密度函数）； （4）(X,Y)函数的分布：分布函数法，卷积公式。 二 、联合分布函数
1、联合分布函数：F(x,y)?P(X?x,Y?y) 2、性质
（1）0?F(x,y)?1;F(??,??)?0,F(x,??)?0,F(??,y)?0,F(??,??)?1; （2）F(x,y)分别对x，对y都是非降且右连续函数； （3）用分布函数表示概率：
P(x1?X?x2,y1?Y?y2)?F(x2,y2)?F(x1,y2)?F(x2,y1)?F(x1,y1)
二、离散型随机变量的联合分布
联合分布律P?X?xi,Y?yi??pij.，联合分布表 性质：非负性，归一性 三、连续型随机变量的联合分布
F(x,y)??1. f(x,y)?0; 2. ???x?????yf(u,v)dvdu.
???????f(x,y)dydx?1;
3. F(x,y)在任何点(x,y)是连续函数；
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题型2 二维连续型随机变量的各种分布
?1, y?x,0?x?1?f(x,y)?设随机变量（）的概率密度为 X,Y?【例3】
??0, 其他1111试求fX(x)，fY(y)，fX|Y(x|y)，fX|Y(x|?)，P(X?|Y?0)，P(X?|Y??)
2222x????dy?2x, 0?x?1 解 fX(x)??f(x,y)dy????x
????0, 其他fY(y)???????1dx?1?y, 0?y?1??y???1?y, y?1?1 f(x,y)dx???dx?1?y, ?1?y?0???y0, 其他????0, 其他???1,y?x,0?x?1f(x,y)?1?yfX|Y(x|y)???
fY(y)??0,others?1111, ??x,0?x?1?f(x,?)?2, ?x?111??22?1?fX|Y(x|?)?? 2??122?0, 其他fY(?)??2??0, 其他1P(X?,Y?0)132P(X?|Y?0)??（由均匀分布的性质可得。） 2P(Y?0)4?1111P(X?|Y??)??1fX|Y(x|?)dx??12dx?1
22222【练习1】将上题的联合密度函数改为以下形式，重新求解以上各小题：
???1, y??x,?1?x?0?1, x?y,0?y?1（1）f(x,y)?? （2）f(x,y)??
???0, 其他?0, 其他???1, x??y,?1?y?0?1, ?1?x?1,y?x?1（3）f(x,y)?? （4）f(x,y)??
0, 其他0, 其他????【练习2】设二维随机变量(X?Y)的概率密度为
f(x,y)?Ae?2x?2xy?y,???x??,???y??,
26
22
求常数及A条件概率密度fY|X(y|x). 答案：A?1?，fY|X(y|x)???1?e?x2?2xy?y2,?x,y?R
解 由概率密度的性质????????f(x,y)dxdy?1，可知
dxdy?A?edx?e?(x?y)dy?1
??2??????2??????Ae?2x2?2xy?y2???x2??2??又知?e?xdx??，有?e?xdx?e?(x?y)dy??????所以A?????????2??1?。
fX(x)?1?e?x2?????e?(x?y)dy?21?e?x???21?e?x,???x???
21fYX(yx)?f(x,y)??1?x2fX(x)ee?2x2?2xy?y2?1?2e?(x?y),???x???,???y???
2?注：本题要充分运用概率积分?e?xdx??。
????0,min{x,y}?0?【练习3】设(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)??min{x,y},0?min{x,y}?1，
?1,min{x,y}?1??0,x?0?求X的分布函数。 答案：FX(x)??x,0?x?1
?1,x?1?题型3 多维随机变量函数的分布
【例4】设?,?是两个相互独立且服从同一分布的两个随机变量,已知?的分布率为P(??i)?1,i?1,2,3.又设X?max(?,?),Y?min(?,?).求(X,Y)联合分布列。
3解 P(X?i,Y?i)?P(??i,??i)?P(??i)P(??i)?1 9
i?j,P(X?i,Y?j)?2P(??i,??j)?2P(??i)P(??j)?i?j,P(X?i,Y?j)?029
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【例5】设二维随机变量（X, Y）的概率密度为
?1,0?x?1,0?y?2x, f(x,y)???0,其他.求Z?2X?Y的概率密度fZ(z)。
分析：可用分布函数法求解。用已知的aX?bY的公式求解，则会更简单些。 解法1 令FZ(z)?P{Z?z}?P{2X?Y?z}，
1） 当z?0时，FZ(z)?P{2X?Y?z}?0；
2） 当0?z?2时，FZ(z)?P{2X?Y?z} =z?12z; 4 3) 当z?2时，FZ(z)?P{2X?Y?z}?1.
?0,z?0,?10?z?2,?12?分布函数：FZ(z)??z?z,0?z?2, 概率密度：fZ(z)??1?2z,
4其他.???0,z?2.1,???解法2 由fZ(z)?????0?x?1??0?x?1z?， f(x,2x?z)dx，注意到???x?0?2x?z?2x2????z?0于是当z?0时，fZ(z)?0；下设z?0，若z?2，则上面不等式组解集为空集，从而当0?z?2时，不等式组解集为
??1z?x?1，此时 2fZ(z)?????1z?1?z,0?z?2f(x,2x?z)dx??z1dx?1?，即fZ(z)??2
其他.22??0,【例6】 设随机变量X与Y相互独立, 且X~U(0,1), Y在区间[0,2]上服从辛
0?y?1?y?普森分布, 即fY(y)??2?y1?y?2，求随机变量Z?X?Y的概率密度.
?0其它? 28
12?z0?z?1?2?23??z?3z?1?z?2答案：fZ(z)?? 2?129z?3z?2?z?3?22?0其它?解 fZ(z)??????fX(x)fY(z?x)dx
?0?x?1?0?x?1?0?x?1?0?x?1注意到? or???or??1?z?x?2?0?z?x?1?z?2?z?1?2?z?1?x?z
分析：fZ(z)??fZ(z)??????????fX(x)fY(z?x)dx
fX(x)fY(z?x)dx?被积函数＝0?＋被积函数?0?＝0+被积函数?0?
因此求解这个积分的时候，实质上是在被积函数的非零区间内做积分即可。 而fX(x)fY(z?x)?0，即为
?fX(x)?0??fY(z?x)?0?0?x?1???1?z?x?2?fX(x)?1??fY(z?x)?2?(z?x)?0?x?1?0?x?1?0?x?1或者???or??0?z?x?1?z?2?x?z?1?z?1?x?z?fX(x)?1??fY(z?x)?z?x??求解这两个不等式组的解集，就可以确定fZ(z)????fX(x)fY(z?x)dx的上下积分
区间。在图上画出0，1点后，依次从左到右分析z?2,z?1,z三个点和0，1之间
?0?x?1的关系，就可以求的不等式组(1)??z?2?x?z?1
or?0?x?1的解 (2)?z?1?x?z?当z?0时，（1）和（2）解都为空集，此时fZ(z)?0；
当0?z?1时，（1）的解为空集，（2）的解为0?x?z，此时
fX(x)?1，fY(z?x)?z?x，于是fZ(z)??
当z?2?0?z?1?1?z，即1?z?2时，
29
????fX(x)fY(z?x)dx??1?(z?x)dx??
0z
（1）的解为0?x?z?1， （2）的解为z?1?x?1， 于是fZ(z)??所以fZ(z)??????fX(x)fY(z?x)dx??1?[2?(z?x)]dx??1?(z?x)dx??
0z?1z?11当0?z?2?1?z?1?z，即 2?z?3时，（1）的解为z?2?x?1（2）解为空集。
????fX(x)fY(z?x)dx??1?[2?(z?x)]dx??
z?21当z?2?1，即z?3时，（1）和（2）解都为空集，fZ(z)?0
此处可将0，1作为车站的进口和出口，z?2,z?1,z看成是依次前行的三辆车，从三车都在车站外，一直到三车全部开出。讨论完后就可以了。 【例7】设随机变量X与Y相互独立，X概率分布为P?X?i???10?y?1概率密度为fY?y???，记Z?X?Y
?0其它1?i??1,0,1?，3（1）求P(Z?1X?0)；（2）求Z的概率密度。 2分析：离散型随机变量与连续型随机变量相结合，这时候组合出来的随机变量可能属于混合型随机变量。在处理这种问题时，要注意灵活运用全概率公式，并且特别注意临界值处的情况。
1P(X?0,Y?)111112?P(Y?)??21dy? 解 (I) P(Z?X?0)?P(X?Y?X?0)?022P(X?0)22(II) FZ(z)?P{Z?z}?P{X?Y?z}
?P{X?Y?z,X??1}?P{X?Y?z,X?0}?P{X?Y?z,X?1} ?P{Y?z?1,X??1}?P{Y?z,X?0}?P{Y?z?1,X?1} ?P{Y?z?1}P{X??1}?P{Y?z}P{X?0}?P{Y?z?1}P{X?1} ?1?P{Y?z?1}?P{Y?z}?P{Y?z?1}? 31??FY(z?1)?FY(z)?FY(z?1)? 3?11?,?1?z?2所以 fZ(z)??fY(z?1)?fY(z)?fY(z?1)???3
3??0,其它 30
【例8】设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N?0,1?，Y的概率
1分布为P?Y?0??P?Y?1??，求随机变量Z?XY的分布函数FZ?z?。
2分析：考察多维数随机变量函数的分布。 解
?z?R,FZ?z??P(XY?z)?P(Y?0)?P(XY?z|Y?0)?P(Y?1)?P(XY?z|Y?1)1?[P(0?z|Y?0)?P(X?z|Y?1)]2?1[0?P(X?z|Y?1)],z?0??2???1[1?P(X?z|Y?1)],z?0??2?1?1P(X?z）,z?0?(z),z?0立性???2?2????1?[1?P(X?z)],z?0?1[1??(z)],z?0 ???2?2
【练习1】设二维随机变量(X,Y)的密度函数为f(x,y)? 求随机变量Z?X?2Y2e?(x?2y) x?0,y?00 其它
的分布函数.
?1?e?z?ze?z,z?0答案：F(z)??
0,z?0?
【练习2】设X~E(1),Y~N(0,1)且独立，对X进行n次独立重复观察，Z表示观察值大于2的次数，求Y?Z的分布函数。
kk答案：F(x)??Cnp(1?p)n?k?(x?k),?x?R
k?0n
【练习3】设X服从几何分布，P(X?k)?pqk?1,k?1,2,立，求U?X?Y,?，Y~N(0,1)且相互独
T?XY的分布函数。
k?1?t答案：FU(u)??pq?(u?k),?u?R； FT(t)??pqk?1?(),?t?R
kk?1k?1
31
【练习4】随机变量X,Y满足P{X?0,Y?0}?3,P{X?0}?P{Y?0}?4,
77则P{max(X,Y)?0}?____
5____ 7【练习5】相互独立的随机变量X~N(0,1),Y~N(1,1)，则P(X?Y?1)? 0.5
【练习6】设随机变量X与Y相互独立，且X~N?0,1?，Y~B(n,p),0?p?1， 求随机变量Z?X?Y的分布函数FZ?z?
?z?R,FZ?z??P(X?Y?z)??P(Y?k)P(X?Y?z|Y?k)k?0kk??Cnp(1?p)n?kP(X?z?k|Y?k)k?0nnn
??Cp(1?p)knkk?0n?kkkP(X?z?k)??Cnp(1?p)n?k?(x?k)k?0n222【练习7】设二维随机变量（X，Y）服从N(?,?,?,?,0)，则E(XY)= 答案：?(?2??2)
题型4 随机变量的独立性
注意：该知识点一般不会单独考察，而是结合其他重要问题一起来考虑。
【 例9 】设随机变量X与Y相互独立,下表列出了二维随机变量(X,Y)联合分布率
及关于X和关于Y的边缘分布率中的部分数值,试将其余数值填入表中的空白处. X Y x1 x2 P(Y?yi)?p?j y1 y2 1 8y3 P(X?xi)?pi? 1 8 1 1 6设随机变量（Ｘ，Ｙ）服从二维正态分布，且Ｘ与Ｙ不相关，fX(x),fy(y)【例10】
分别表示Ｘ，Ｙ的概率密度，则条件概率密度fX|Y(X|Y)?fX(x)
32
分析：多维正态分布的性质，主要包括：线性变换不变性，不相关与独立等价。 注：要特别重视多为正态分布的相关性质！历年考试题中已经多次考到。
【例11】设随机变量X与Y相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则P(X?Y)?（ A ）
(A)15 (B)12 (C)354 (D)
5?e?x?4y,x?0,y?0解 ?X,Y?的联合概率密度为f(x,y)??
?0，其它则P?X?Y??
【例12】设随机变量（X,Y）具有下列概率分布，判断下列随机变量的独立性：
?2xy?x?0?x?1,0?y?2（1）f(x,y)?? 3?其它?0?cxe?y,0?x?y???(2) f(x,y)??；
其它?0,?(1?e?ax)(1?e?by)x?0,y?0（3）（X,Y）的联合分布函数F(x,y)??
其它?0x?y??f(x,y)dxdy??dx?e00??y?x?4y1dx??e?5ydy?
05??第四章 随机变量的数字特征
知识要点精讲 §1 数学期望
离散?连续??一、数学期望：E(X)??xpE(X)??iii?1离散???xf(x)dx
二、随机变量的函数的数学期望
（一维）E(g(X))??g(xi)pi?i?1连续?????g(x)f(x)dx
33
（二维）E(g(X,Y))?三、 数学期望的性质
离散??g(xi,yj)pij?ji连续?????g(x,y)f(x,y)dx
1、若C为常数，则E(C)?C；
2、若E(X)存在，a为常数，则E(aX)?aE(X)； 3、若E(X)存在，a,b为常数，则E(aX?b)?aE(X)?b； 4、若E(X),E(Y)存在，则 E(X?Y)?E(X)?X(Y)； 推论：若E(Xi)存在(i?1,2,?n?n,n)，则 E??Xi???E(Xi)
?i?1?i?15、若X,Y相互独立，则 E(XY)?E(X)E(Y) 推论：若X1,X2,,Xn之间相互独立，i?1,2,?n?n,n，则 E??Xi???E(Xi)
?i?1?i?1注 此性质一定需要独立性条件（改为两两不相关也成立）。
§2 方差
一、方差：D(X)?E?X?E(X)??E(X2)?E2(X) 注 E(X2)?D(X)?E2(X)常用来计算E(X2)； 二、方差的性质
1. 若C为常数，则D(C)?0; 2. 若a为常数，则D(aX)?a2D(X); 3. 若b为常数，则D(X?b)?D(X);
4. 若X,Y相互独立，则D(X?Y)?D(X)?D(Y)。
推论：若X1,X2,2?n?n,Xn之间相互独立，则 D??Xi???D(Xi)
?i?1?i?1注 此性质一定要满足独立性的前提。 三、六个重要分布的数学期望与方差
34
标准化随机变量：X??X?E(X)?E(X?)?0,D(X?)?1。
D(X)§3 协方差及相关系数
一、协方差：cov(X,Y)=E?X?E(X)??Y?E(Y)??E(XY)?E(X)E(Y) 二、协方差的性质
（1）cov(X,Y)?cov(Y,X)； （2）cov(X,c)?0 （c为任意实数）
（3）若a,b为常数，则cov(aX,bY)?abcov(X,Y)； （4）cov(X1?X2,Y)?cov(X1,Y)?cov(X2,Y)； （5）D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2cov(X,Y)；
（6）若X,Y独立，则cov(X,Y)?0,D(X?Y)?D(X)?D(Y)。
?n?n（7）D??Xi???D(Xi)?2?cov(Xi,Xj)
1?i?j?n?i?1?i?1注意：协方差的性质最关键的是要牢记下面的原则：
cov(aX1?bX2,cX3?dX4)?accov(X1,X3)?adcov(X1,X4)?bccov(X2,X3)?bdcov(X2,X4)
三、相关系数 ?XY?cov(（1）?XY?1；
X?EXY?EYcov(X,Y) ,)?D(X)D(Y)D(X)D(Y)（2）?XY?1 的充要条件是，存在常数a,b使 P?Y?a?bX??1，进一步，
?XY?1?a?0， ?XY??1?a?0；
即?XY刻划了X与Y线性相关程度的大小。?XY越大，表明X与Y之间的线性关系越紧密；反之，?XY越小，表明X与Y之间的线性程度越差。 （3）常用称呼
35
??0?正相关?=0?不相关?<0?负相关（4）
?=1?完全正相关
?=-1?完全负相关?XY?0?cov(X,Y)?0?E(XY)?E(X)E(Y)?D(X?Y)?D(X)?D(Y)，
它们是X,Y独立的必要条件，但不是X,Y独立的充分条件。
2特殊情况：若(X,Y)~N(?1,?12;?2,?2;?)，则X,Y不相关与X,Y独立等价。
§4 矩
设X,Y为随机变量，k,l?1,2,,则称
（1）E(Xk)是X的k阶原点矩； （2）E[X?E(X)]k是X的k阶中心矩； （3）E(XkYl)是X和Y的(k?l)阶混合原点矩；
（4）E[X?E(X)]k[Y?E(Y)]l是X和Y的(k?l)阶混合中心矩。
重点题型归纳
题型一 随机变量的期望和方差的求解
期望和方差的求解的方法主要是运用定义、随机变量函数的期望公式、方差的定义和计算公式、期望和方差的性质。 【例1】设随机变量Xij(i,j?1,2,,n;n?2)独立同分布，EXij?2,则行列式
X11X21Y??Xn1
X12X22?Xn2??X1nX2n的数学期望EY? 。
??Xnn36
解 由行列式的定义，Y?j1j2?(?1)?(j1j2jn)jnX1j1X2j2Xnjn，又由于随机变量
Xij(i,j?1,2,,n;n?2)独立同分布，EXij?2,，所以根据数学期望的性质得
EY???j1j2?(?1)?(j1j2jnjn)E(X1j1X2j2Xnjn)E(Xnjn)
j1j2??(?1)?(j1j2jnjn)E(X1j1)E(X2j2)2n?0(?1)?(j1j2jnjn)j1j2?x?1?Fx?0.3?x?0.7????? 【例2】设随机变量X的分布函数为??2??其中??x?为标准正态分布函数，则EX? DX? 分析：结合正态分布的分布函数求解随机变量的期望。 解：随机变量X的分布函数f(x)?F??x??0.3?(x)?0.35?(?x?1)，所以 2??x?1x?1EX??x[0.3?(x)?0.35?()]dx?0.3?x?(x)dx?0.35?x?()dx??????22
?0?0.35?2?(2t?1)?(t)dt?0.7???E(X2)??x2[0.3?(x)?0.35?(???2?????x?1x?1)]dx?0.3?x2?(x)dx?0.35?x2?()dx????222
?0.3?0.35?2?(2t?1)?(t)dt?0.3?0.7E(2Y?1)?0.3?0.7?5?3.8DX?E(X2)?(EX)2?3.8?0.72?3.31
【例3】设随机变量X与Y相互独立，且EX与EY存在，记
U=max{X,Y},V=min{ X,Y }，则E(UV)= E（U+V）=
答案：E(UV)?E(XY)?EX?EY；E(U?V)?E(X?Y)?E(X)?E(Y) 注：此题在2011和2012连续考过。
【例4】设EX??,DX??2，则证明?x?R，E(X?x)2?E(X??)2。 证明 令f(x)?E(X?x)2?x2?2?x??2，则??
?0,x??2?0.2,?2?x?1?【例5】设X的分布函数为F(x)??，Y?X2?1,求E(XY)? ?0.8,1?x?2??1,x?2
37
解 先写出X的分布列，再求解即可。
【例6】设X的密度函数为f(x)?解
12?1dx?min{x,1}dx22???0?(1?x)?1?x
?2111ln21?[?x?dx?dx??22?01?1?x1?x?2EY?E(min{|X|,1})??min{|x|,1}?1,?x?R，令Y?min{|X|,1}，求EY
?(1?x2)【例7】随机变量X与Y相互独立同分布，X~N(?,?2)，Z?max{X,Y}
W?min{X,Y}求EZ,EW
分析：注意到Z?max{X,Y}?X?Y?|X?Y|X?Y?|X?Y|，W?min{X,Y}?
22X?Y~N(0,2?2)?E|X?Y|将会大大简化计算。 【例8】设X的密度函数为f(x)??1?e?x2?2x?1,?x?R，则EX? DX? 解 f(x)?
1?e?x2?2x?1?12??12e(x?1)2122?()21?X~N(1,)
2【练习1】某流水线上每个产品不合格的概率为p(0?p?1),各产品合格与否相对独立,当出现1个不合格产品时即停机检修.设开机后第1次停机时已生产了的产品个数为X,求X的数学期望E(X)和方差D(X). 答案：EX?
1,pDX?1?p p2?12cosf(x)?设随机变量X的概率密度为?【练习2】
?0复观察４次，用Ｙ表示观察值大于
x20?x??，对X独立地重
其他?的次数，求Y2的数学期望．答案：5 3 38
题型二 复杂随机变量分解为简单随机变量和的情形
如果求X的分布十分困难，可将X分解为X1??Xn，从而EX容易求出。
这种处理方法具有十分普遍的意义。这种做法可以用来求解二项分布的期望，超几何分布的期望等等，是一种非常重要的做法。
【例9】一台仪器有三个元件，各元件发生故障的概率分别为0.2，0.3，0.4 ，且相互独立，试用两种方法求发生故障的元件数X的数学期望。（写出X的分布律及不写出X的分布律的两种情况下。） 解：1) P(X?0)?0.8?0.7?0.6?0.336
P(X?1)?0.2?0.7?0.6?0.8?0.3?0.6?0.8?0.7?0.4?0.452 P(X?2)?0.2?0.3?0.6?0.2?0.7?0.4?0.8?0.3?0.4?0.188 P(X?3)?0.2?0.3?0.4?0.024
E(X)?0?0.336?1?0.452?2?0.188?3?0.024?0.9
?1,2) 设Ai－第i个元件发生故障，令Xi???0,则X?X1?X2?X3，显然E(Xi)＝P(Ai)
Ai出现Ai不出现
?E(X)?E(X1)?E(X2)?E(X3)?0.2?0.3?0.4?0.9 注 利用这种方法可以简单地求出二项分布的期望和方差！ 【例10】掷骰子100次，求点数之和的数学期望与方差。
i?1,解 用Xi表示第i次掷骰子出现的点数，
,100,则P?Xi?k??1 (k?1,6,6)
且X1,X2,100,X100相互独立，以X表示掷骰子100次出现的点数之和，于是
61735，从而 X??Xi，又因 EXi??k??, DXi?6212k?1i?17?100?100EX?E??Xi???EXi?100??3502?i?1?i?1
10010035875??DX?D??Xi???DXi?100??123?i?1?i?1
39
【例11】将n只球（1～n号）随机地放进n只盒子（1～n号）中去，一只盒子装一只球，若一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对. 记X为总的配对数，求E(X),D(X) 解 设Xi为第i球(i?1,,n)放入盒内得到的配对数，则它的概率分布为
Xi 0 n?1 n1 1 nnPr 1则EXi?，而总配对数X?X1?n1?Xn，所以，EX?E(?Xi)?n??1。
ni?1又DXi?111(1?)，P(Xj?1|Xi?1)?， nnn?111?nn?1E(XiXj)?P(Xi?1,Xj?1)?P(Xi?1)?P(Xj?1|Xi?1)?cov(Xi,Xj)?E(XiXj)?E(Xi)E(Xj)?E(XiXj)?11111； ????222nnn?1nn(n?1)所以
DX??D(Xi)?2i?1n111cov(X,X)?[(1?)]?2???2ijn1?i?j?ni?1n1?i?j?nn(n?1)2n11n?n1?n?(1?)?2?2nn2n(n?1)
?1题型三 协方差和相关系数的求解与性质
【例12】设随机变量X与Y分别服从正态分布N(1,32)和N(0,42),且X与Y的相
1关系数?xy??,设Z?X?Y,232
(1)求Z的数学期望EZ和DZ方差. (2)求X与Z的相关系数?xz.
1111解（1）EZ?EX?EY??1?0?
3233111111DZ?DX?DY?2??cov(X,Y)?1?4?2???XY?3?4?3
943232111??XZ?0 （2）cov(X,Z)?DX?cov(X,Y)?3???XY?3?4?0322
40
重点题型归纳
【例1】已知正常男性成人血液中，每毫升白细胞数平均是7300，均方差是700。利用切比雪夫不等式估计每毫升含白细胞数在5200~9400之间的概率。 解 设每毫升含白细胞X个，则E(X)?7300,?(X)?700 ，由切比雪夫不等
D(X)70028?1?? 式知，所求概率P{|X?E(X)|?2100}?1?21002210029注 利用切比雪夫不等式解题，关键的要弄清楚切比雪夫不等式
?2P?X??????1?2中，数学期望μ等于多少，方差σ2等于多少，ε又等于
?多少，然后代入公式即可。
【例2】已知某厂生产的晶体管的寿命服从均值为100h的指数分布,现从该厂的产品中随机抽取一些,为保证这些晶体管寿命的总和超过8000h的概率不得低于0.95,试问该抽取多少只晶体管较为合适?假定这些晶体管的寿命是相互独立的. 解 设每个晶体管的寿命为Xi,依题意Xi服从参数为0.01的指数分布, 即
E(Xi)?100, D(Xi)?10000。
设共抽取到n只晶体管, 则由独立同分布的中心极限定理得
?n??n??8000?n?100? P??Xi?8000??1?P??Xi?8000??1?????0.95
n?100???i?1??i?1?80?n?8000?100n??0.5199?76?n?85. ???0.05??nn?100??1【例3】在次品率为的一大批产品中，任意抽取300件产品，利用德莫佛一拉
6普照拉斯定理近似计算抽取的产品中次品数在40与60之间的概率。
解 设X为抽取产品中的次品数，由题知X由德莫佛一拉普照拉斯定理得
1??b?300,?, 求P(40?X?60)
6???1160?300??40?300?6?X?np?6P(40?X?60)?P?15np(1?p)15?300??300???6666???X?np?P??1.55??1.55???(1.55)??(?1.55)??np(1?p)???2?(1.55)?1?0.878
46
??????
第六章 数理统计的基本概念
知识要点归纳 §1 随机样本
一、总体与个体
1、总体：研究对象的某项数量指标的值的全体称为总体. 2、个体：总体中的每个元素. 二、样本
1、样本：X1,X2,,Xn，
观察值(x1,x2,?,xn)称为样本值. 注： 样本Xi,i?1,2,观察值x1,x2,三、统计量
1、设X1,X2,果g(X1,X2,,n是与总体X独立同分布的随机变量;
,xn是一组数字，要注意写法的区别。
,Xn为总体X的样本，g(X1,X2,,Xn)是一个连续函数，如
,Xn)为统计量。
,Xn)中不含任何未知参数，则称g(X1,X2,注：(1)统计量是随机变量；
(2)统计量：统计量是样本的函数；统计量不含任何未知参数. 2、常见的统计量
1n（1）样本均值：X??Xi
ni?11n（2）样本方差：S?(Xi?X)2； 样本的标准差：S?S2 ?n?1i?12 47
1nk（3）样本矩：Ak??Xi称为样本的k阶原点矩
ni?11nBk??(Xi?X)k称为样本的k阶中心矩
ni?13、三个重要公式：
E(X)?E(X)，D(X)?1D(X)，E(S2)?D(X)，n为样本容量. n§2抽样分布
1、抽样分布：统计量的分布称为抽样分布。
2、分位点：设统计量U服从某分布，且有正数?(0???1)。如果概率
P?U?u????，则称u?为该分布的上?分位点，简称为分位点或分位数。 一、几个重要的抽样分布。
1、标准正态分布
2、?2分布
(1)?2分布：若X~N(0,1)，X1,X2,2n,Xn为X的简单随机样本，
Xi~N(0,1)，记???Xi2，则称?2服从自由度为n的?2(n)分布
i?1(2)?2(n)分布的性质：
2(a)可加性：设?12~?2(n1),?2~?2(n2)，且相互独立，则
2?12??2~?2(n1?n2).
22(b)E???(n)???n,D???(n)???2n.
3、t分布
若X~N(0,1),Y~?2(n)，且相互独立。记T?度为n的t(n)分布. 4、F分布
(1)F分布：若U~?2(n1),V~?2(n2)且相互独立，记F?U/n1则称F所V/n2X，则称T服从自由Y/n 48
服从的分布为F(n1,n2)分布，(n1,n2)为自由度.
(2)F(n1,n2)分布的两条性质：
(a)若W~F(n1,n2)，则(b)F1??(n1,n2)?1~F(n2,n1)； W1.
F?(n2,n1)二、抽样定理
1、单个正态总体的抽样定理
设总体X~N(?,?2),X1,X2,S2为样本方差。则有
,Xn为简单随机样本，X为样本均值，
(1)X~N(?,?2n)?X??~N(0,1)； ?n（2）X??~t(n?1) Snn2?X???2(3)??i?~?(n)； ??i?1?(4)
(n?1)S2?X?X????i??i?1??n2?2?2(n?1)；
(5)X与S2相互独立. 2、两个正态总体的抽样定理 总体X~N(?1?,2，)样本X1,X2,,Xn1，总体Y~N(?2?,2，)样本
Y1,Y2,,Yn2，且两个总体相互独立，则
112?)?)； n1n2（1）X?Y~N(?1??2,(S12（2）2~F(n1?1,n2?1)
S2 49
重点题型归纳
题型1 求统计量的数字特征
【例1】设X~N(?,?2)，样本X1,X2,解
(n?1)S2,Xn，则D(S2)?
2?2?(n?1)?D[22(n?1)S2?22?4]?2(n?1)?D(S)?
n?1【例2】设X~N(?,?)，样本X1,X2,解 E(X1T)?,Xn，令T??(Xi?X)2，求E(X1T)
i?1n?E(XnT)，于是
E(X1T)?E(XT)?(n?1)E(X?S2)?(n?1)E(X)?E(S2)?(n?1)??2 【例3】设X~N(?,?)，样本X1,X2,122?，DT?(1?)?2
n?2?21n,Xn，令T??|Xi??|，求ET,DT。
ni?1答案 ET?【例4】设X~N(?,?12)，Y~N(?,?22)且相互独立，样本均值分别为X,Y，样
2S12S2本方差分别为S,S，令a?2,b?2,求aX?bY的期望。 22S1?S2S1?S221222解 X,Y与S12,S2相互独立，从而a,b与X,Y也独立，且a?b?1，所以
E(aX?bY)?E(a)E(X)?E(b)E(Y)???(E(a)?E(b))???E(a?b)??
【例5】（01年，7分）设X~N(?,?2)），抽取简单随机样本X1，X2，?，X2n（n≥2），
n12n样本均值X?． Xi，Y??(Xi?Xn?i?2X)2求E（Y）?2ni?1i?1分析：本题考查简单随机样本的两个重要性质：样本均值与样本方差都是总体均值与总体方差的无偏估计。这也是历年命题每年都会涉及的知识点。 解 令Zi?Xi?Xn?i,i?1,1n,n,Z??Zi?X，则Zini?1N(2?,2?2)，所以
50
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