2024届北师大版高三文科数学一轮复习：变化率与导数(附答案)

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2019届北师大版高三文科数学一轮复习：变化率与导数

（附答案）

[考试时间：90分钟试卷总分：120分]

题号得分第Ⅰ卷 (选择题)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．下列求导运算正确的是( )

111x＋?′＝1＋2 B．(log2x)′＝A.? ?x?xxln 2C．(5x)′＝5xlog5e

D．(x2cosx)′＝2xsin x

一二三 15 16 17 18 总分 2．设函数y＝－3x＋2在区间[－4，－2]上的平均变化率为a，在区间[2,4]上的平均变化率为b，则下列结论中正确的是( )

A．a＞b C．a＝b

B．a＜b D．不确定

3．运动物体的位移s＝3t2－2t＋1，则此物体在t＝10时的瞬时速度为( ) A．281 C．85

B．58 D．10

4．若曲线f(x)＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( ) A．a＝1，b＝1 C．a＝1，b＝－1

B．a＝－1，b＝1 D．a＝－1，b＝－1

1，?处的切线和坐标轴围成的三角形的面积为( ) 5．曲线f(x)＝x＋x3在点??3?3A．3 1

C. 3

B．2 1D. 9

6．曲线f(x)＝2x3－3x在点P处的切线斜率为3，则P点坐标为( ) A．(1，－1) C．(－1,1)

B．(－1，－5) D．(1，－1)或(－1,1)

7．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝( ) A．－2

B．2

C．1 D．－4

8．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，x∈[－3,3]表示的曲线过原点，且在点(1，f(1))和点(－1，f(－1))处的切线斜率均为－2，则f(x)的奇偶性为( )

A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数

D．非奇非偶函数

9．(江西高考)若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f ′(x)>0的解集为( ) A．(0，＋∞) C．(2，＋∞)

B．(－1,0)∪(2，＋∞) D．(－1,0)

10．若点P在曲线y＝x3－3x2＋(3－3)x＋上移动，点P处的切线的倾斜角为α，则

4角α的取值范围是( )

π0，? A.??2?2π?C.??3，π?

π2π

0，?∪?，π? B.??2??3?ππ2π0，?∪?，? D.??2??23?答题栏

题号答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第Ⅱ卷 (非选择题) 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上)

π?11

11．设f(x)＝＋，则f′??3?＝________. sin xcos x

12．点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为________．

13．设a为实数，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x的导函数为f′(x)，若f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为____________________．

14．已知f(x)＝x3－x2＋bx＋c的图像存在与直线y＝1平行的切线，则b的取值范围是

2________________________________________________________________________．

三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

t－1

15．(本小题满分12分)已知某运动着的物体的运动方程为s(t)＝2＋2t2(路程单位：m，

t时间单位：s)，求s′(3)，并解释它的实际意义．

16．(本小题满分12分)求满足下列条件的函数f(x)．

(1)f(x)是三次函数，且f(0)＝3，f′(0)＝0，f′(1)＝－3，f′(2)＝0； (2)f(x)是二次函数，且x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1.

17．(本小题满分12分)已知两曲线f(x)＝x3＋ax和g(x)＝x2＋bx＋c都经过点P(1,2)，且在点P处有公切线，试求a，b，c的值．

18．(本小题满分14分)已知直线l1为曲线f(x)＝x2＋x－2在点P(1,0)处的切线，l2为曲线的另一条切线，且l2⊥l1.

(1)求直线l2的方程；

(2)求直线l1，l2与x轴所围成的三角形的面积S.

答案

x＋?′＝1－2；(5x)′＝5xln 5；(x2cos x)′＝(x2)′cos x＋x2(cos x)′＝1．选B ∵??x?x2x·cos x－x2sin x，

∴B选项正确．

2．选C 一次函数y＝kx＋b在区间[m，n]上的平均变化率都为常数k.∵y＝－3x＋2在区间[－4，－2]，[2,4]上的平均变化率都为常数－3，∴a＝b＝－3.

3．选B t＝10时的瞬时速度即为t＝10时的导数值，s′＝6t－2. ∴t＝10时，s′＝6×10－2＝58.

4．选A 由f′(x)＝2x＋a，得f′(0)＝a＝1，将(0，b)代入切线方程得b＝1. 4

1，?，5．选D 由题意，f′(x)＝1＋x2，故切线的斜率为k＝f′(1)＝2，又切线过点??3?4212

∴切线方程为y－＝2(x－1)，即y＝2x－，切线和x轴、y轴交点为(，0)，(0，－)．

3333

1121

故所求三角形的面积＝××＝.

23396．选D 设切点为(x0，y0)，则6x20－3＝3.

2∴x0＝1，则x0＝±1.

当x0＝1时，y0＝－1；x0＝－1时，y0＝1，故选D. 7．选D ∵f′(x)＝2x＋2f′(1)， ∴令x＝1得，f′(1)＝2＋2f′(1)． ∴f′(1)＝－2，即f(x)＝x2－4x. ∴f′(x)＝2x－4， ∴f′(0)＝－4.

8．选A ∵f(0)＝0，∴c＝0，f′(x)＝3x2＋2ax＋b.

??f′?1?＝3＋2a＋b＝－2，得?解得a＝0，b＝－5， ??f′?－1?＝3－2a＋b＝－2，

∴f(x)＝x3－5x，x∈[－3,3]，f(x)为奇函数． 42?x－2??x＋1?9．选C 令f ′(x)＝2x－2－＝＞0，

xx利用穿针引线法可解得－1＜x＜0或x＞2，又x＞0，所以x＞2.

10．选B y′＝3x2－6x＋3－3＝3(x－1)2－3≥－3，即tan α≥－3， π2π

0，?∪?，π?. 所以α∈??2??3?

11?cos xsin x

＋11．解析：f′(x)＝?′＝－＋， ?sin xcos x?sin2xcos2x13

－22π?2

∴f′?＝＋＝－＋23. ?3??3?2?1?23

?2??2?2

答案：－＋23

12．解析：∵y′＝3x2－10，设切点P(x0，y0)(x0<0，y0>0)，则曲线C在点P处切线的斜率k＝3x20－10＝2，

∴x0＝－2.

∴点P的坐标为(－2,15)．答案：(－2,15)

13．解析：∵f′(x)＝3x2＋2ax＋a－3为偶函数，∴a＝0， ∴f′(x)＝3x2－3，f′(0)＝－3，∴所求切线方程为y＝－3x. 答案：y＝－3x

14．解析：由题意知，存在x使f′(x)＝3x2－x＋b＝0，故Δ＝1－12b≥0，得b≤. 121

－∞，? 答案：?12??

t－1t111

15．解：∵s(t)＝2＋2t2＝2－2＋2t2＝－2＋2t2，

ttttt11

∴s′(t)＝－2＋2·3＋4t，

tt12323

∴s′(3)＝－＋＋12＝，

92727

323

即物体在t＝3 s时的瞬时速度为 m/s.

16．解：(1)由题意设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.

f?0?＝d＝3，??f′?0?＝c＝0，由已知?f′?1?＝3a＋2b＋c＝－3，

??f′?2?＝12a＋4b＋c＝0，解得a＝1，b＝－3，c＝0，d＝3. 故f(x)＝x3－3x2＋3.

(2)由题意设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b.

所以x2(2ax＋b)－(2x－1)(ax2＋bx＋c)＝1，化简得(a－b)x2＋(b－2c)x＋c＝1， a＝b，??

此式对任意x都成立，所以?b＝2c，

??c＝1，

得a＝2，b＝2，c＝1，即f(x)＝2x2＋2x＋1. 17．解：∵点P(1,2)在曲线f(x)＝x3＋ax上， ∴2＝1＋a，∴a＝1，

函数f(x)＝x3＋ax和g(x)＝x2＋bx＋c的导数分别为f′(x)＝3x2＋a和g′(x)＝2x＋b，且在点P处有公切线，

∴3×12＋a＝2×1＋b，得b＝2，

又由点P(1,2)在曲线g(x)＝x2＋bx＋c上可得2＝12＋2×1＋c，得c＝－1. 综上，a＝1，b＝2，c＝－1.

18．解：(1)设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，由题意可知k1＝f′(1)＝3，故直线l1的方程为y＝3x－3，