高二理科数学大题训练

高二理科数学大题训练

1.(本小题满分12分)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知

a?b?2,c?4，sinA?2sinB．

（1）求△ABC的面积；（2）求tan(A?B)． ．

2.(本小题满分12分)

如图所示，某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，其中，频率分布直方图的分组区间分别为[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100)，据此解答如下问题．

（1）求全班人数及分数在[80，100]之间的频率；

（2）现从分数在[80，100]之间的试卷中任取3份分析学生失分情况，设抽取的试卷分数在[90，100]的份数为 X ，求 X 的分布列和数学望期．

3. (本小题满分14分)

已知如图1所示的四边形ABCD中，DA⊥AB，点E为 AD中点，AD=EC=2AB=2BC=2，现将四边形沿CE翻折， 使得平面CDE与平面ABCE所成的二面角为?（0????3），

连结DA，DB，BE得到如图2所示的四棱锥D-ABCE．

（1）证明：平面DAE⊥平面ABCE；

（2）记四棱锥D-ABCE的体积为V，当V取得最大值时，求DB与平面ABCE所成角的正弦值．

1

4.（本小题满分14分）

已知点F，F2(1,0),1(?10),与

F2:(x?1)2?y2?1，一动圆在y轴右侧与y轴相切，同时

F2相外切，设动圆的圆心轨迹为曲线T．

（1）求曲线T的方程；

（2）设C、D是曲线T上位于x轴上方的两点，分别过C、D作曲线T的切线，两条切线交于点P，且分别与x轴交于点B、A，AC与BD交于点E，作EF⊥x轴于点F，试探究P、E、F三点是否共线？

5.（本小题满分14分）

已知函数f(x)?1?kx?b，其中k,b为实数且k?0．

|x?2|（1）当k?0时，根据定义证明函数y?f(x)在(??,?2)上单调递增； （2）若k为常数，函数y?f(x)有三个不同的零点，求b的取值范围．

6.(本小题满分14分)

x3+3x已知函数f(x)?2，数列?xn?满足x1?2，xn?1?f(xn) (n?N?)，记

3x?1yn?log3(xn?1?1)．

xn?1?1 （1）求y1的值； （2）求数列{yn}的通项公式； （3）证明：对?n?N，(1?

?11)(1?)y1y2(1?1)?2． yn

2

高二理科数学训练2

1.某食品厂为了检查甲乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量值落在(495,510]的产品为合格品，否则为不合格品．表1是甲流水线样本频数分布表，图１是乙流水线样本的频率分布直方图．

产品重量（克）频率/组距0.090.08频数681484 （490,495] （495,500] （500,505]

（505,510]（510,515]0.070.060.050.040.030.020.010490495500505510515(重量/克)表１：（甲流水线样本频数分布表）图1：（乙流水线样本频率分布直方图）

（1）根据上表数据在答题卡上作出甲流水线样本的频率分布直方图；

（2）若以频率作为概率，试估计从乙流水线上任取5件产品，恰有3件产品为合格品的概率；

（3）由以上统计数据完成下面2?2列联表，并回答有多大的把握认为“产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关” ．

合格品 不合格品 合 计 甲流水线 乙流水线 合计 a? c? b? d? n? 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828 p(K?k) 20.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 k 附：下面的临界值表供参考：

n(ad?bc)2 (参考公式：K?，其中n?a?b?c?d)

(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)2

3

2.已知如图1所示的四边形ABCD中，DA⊥AB， 点E为AD中点，AD=EC=2AB=2BC=2，现将四 边形沿CE翻折，使得平面CDE⊥平面ABCE，连结 DA，DB，BE得到如图2所示的四棱锥D-ABCE． （1）证明：平面BDE⊥平面BDC； （2）已知点F为侧棱DC上的点，若DF?求二面角F-BE-D的余弦值．

1DC， 5

3. 已知数列{an}的首项a1?4，前n项和为Sn，且Sn?1?3Sn?2n?4?0(n?N?). （1）求数列{an}的通项公式； （2）设函数f(x)?anx?an?1x2??a1xn，f'(x)是函数f(x)的导函数，令

bn?f'(1)，试探究数列{bn}是否存在最小值项？若存在，求出该项，若不存在，说明理由．

4. 已知点F，F2(1,0),1(?10),时与

一动圆在y轴右侧与y轴相切，同F2:(x?1)2?y2?1，

F2相外切，设动圆的圆心轨迹为曲线C，曲线E是以F1、F2为焦点的椭圆．

（1）求曲线C的方程；

（2）记曲线C与曲线E在第一象限内的交点为P，且|PF1|?7，求曲线E的标准方程； 3（3）定义：连结椭圆上任意两点所成的线段叫做椭圆的弦．过椭圆E的右焦点F2作两条互相垂直的弦AB、GH，设AB、GH的中点分别为M、N，试探究直线MN是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标，若不过定点，说明理由.

x2?(a?1)x,a?R. 5. 已知函数f(x)?alnx?2（1）当a??1时，求函数 f (x)的最小值； （2）当a?1时，讨论函数 f (x)的零点个数．

4

高二理科数学答题训练1参考答案

16.解：（1）解法1：由sinA=2sinB，根据正弦定理得a?2b，

又∵a?b?2, ∴a?4,b?2 ，

a2?c2?b216?16?47???0， 由余弦定理得cosB?2ac2?4?48sinB?1?cos2B?15， 8∴S△ABC=

1115acsinB??4?4??15． 228解法2：由sinA=2sinB，根据正弦定理得a?2b，

又∵a?b?2, ∴a?4,b?2 ，

∵a?c?4，∴△ABC为等腰三角形，作底边AC的高BD,D为垂足，则D也是AC

的中点，

∴BD?∴S△ABC=(2) ∵cosA?bAB2?AD2?c2?()2?16?1?15，

211AC?BD??2?15?15. 221115?0,∴sinA?1?cos2A?1?, ?4164∴sinB??115sinA?，∵b?c，∴B?C,∴0?B?,

2282∴cosB?1?sinB?1?157?, 6481515sinAsinB15∴tanA?, ?4?15,tanB??8?17cosAcosB74815315tanA?tanB7??∴tan(A?B)?．

1?tanAtanB11151?15?715?17.解：（1）由茎叶图知分数在[50,60)的人数为4，[60,70)人数为8，[70,80)人数为10，

5

4?32，

0.00125?10∴分数在[80，100]的人数为：32?4?8?10?10，

105?； ∴频率为

3216故总人数为

（2）∵分数在[80,90)的人数为6，分数在[90,100]的人数为4， ∴X的可能取值为：0,1,2,3

321C6C6C611∵P(X?0)?3?,P(X?1)??, 3C106C102413C6C63C41P(X?2)?3?,P(X?3)?3?,

C1010C1030∴X的分布列为： X 0 1 2 3 P(X) 1131 621030 数学期望EX?0?11316?1??2??3??. 621030518.解：（1）证明：在图1中连结BE，∵AB=AE=1，DA⊥AB，

∴△EAB为等腰直角三角形， ∴BE=2，又BC=2，CE=2，∴△BCE是等腰直角三角形， ∴BC⊥BE，∠AEC=∠AEB+∠BEC=90°， ∴CE⊥AD，

在图2中，∵CE⊥DE，CE⊥AE，DE∩AE=E， ∴EC⊥平面ADE，又EC?平面ABCD， ∴平面DAE⊥平面ABCE.

（2）由（1）知∠DEA为平面CDE与平面ABCE

所成的二面角的平面角，即∠DEA=?，在平面ADE内过点D作

DO⊥AE于O，∵平面DAE⊥平面ABCE，且平面DAE∩平面ABCE=AE, ∴DO⊥平面ABCE，连结BO，在∠OBD为DB与平面ABCE所成的角， 在Rt△DOE中，DO=sin?， ∴V?S梯形ABCE?13(AB?CE)AE?， 22?131?]?sin??s?in，∵0???，且sinx在(0,上单调递增， 33223 ∴当???3时，V取得最大值，这时△ADE为等边三角形，

∴O为AE的中点，∴DO=

3, 2由（1）易知AB⊥AD，∴DB=2,

6

∴sin?OBD?OD36. ??DB22419.解：（1）设动圆圆心为G(x,y)(x?0)，

∵

G在y轴右侧与y轴相切，同时与F2相外切，

22∴|GF2|?x?1，从而(x?1)?y?x?1，

整理得曲线T的方程为：y2?4x(x?0). (2)设P(x0,y0),C(x1,y1),D(x2,y2), 由y2?4x(x?0)得当y?0时，y?2x， ∴y'?1， x∴切线CB的方程为：y?y1?21(x?x1)，即y?(x?x1)，----------①

y1x121(x?x2),即y?(x?x2)，---------②

y2x2切线DA的方程为：y?y2?∴B点的坐标为(?x1,0)，A点的坐标为(?x2,0)， ∴直线AC的方程为：y?y1(x?x2)，----------------③

x1?x2直线BD的方程为：y?y2(x?x1)，------------------④

x1?x2∵点P为切线BC、AD的交点，∴点P的坐标满足方程①、②， 即y0?2211(x0?x1)，y0?(x0?x2)?(x0?x1)?(x0?x2)，-----⑤ y1y2y1y2x1y2?x2y1，由⑤得x1y2?x2y1?x0(y1?y2)，

y1?y2又③④联立消去y得x?∴x?x0，即点E的横坐标为x0，与点P、F的横坐标相同， ∴P、E、F三点共线.

20.解：（1）证明：当x?(??,?2)时，f(x)??1?kx?b x?2 7

设x1?x2??2，则

f(x1)?f(x2)?(?11?kx1?b)?(??kx2?b)x1?2x2?211?) x1?2x2?2?k(x1?x2)?(?k(x1?x2)?x2?x11?(x1?x2)[k?]

(x1?2)(x2?2)(x1?2)(x2?2)1?0，又k?0，

(x1?2)(x2?2)∵x1?x2??2∴x1?x2?0，

∴f(x1)?f(x2)?0，即f(x1)?f(x2)， ∴当k?0时，函数f(x)在(??,?2)上单调递增．

（2）函数y?f(x)有三个不同的零点，即方程根．

方程（?）等价于：?21?kx?b?0（?）有三个不同的实

|x?2|?x??2,?kx?(2k?b)x?(2b?1)?0.22或??x??2,?kx?(2k?b)x?(2b?1)?0.2

记g(x)?kx?(2k?b)x?(2b?1)，p(x)?kx?(2k?b)x?(2b?1)， ①当k?0时，函数y?g(x),y?p(x)的图象均是开口向上的抛物线， 由p(?2)??1?0知y?p(x)在(??,?2)有唯一零点，

故为满足函数y?f(x)有三个零点，函数y?g(x)在(?2,??)应有两个不同零点．

??p(?2)?0,?2函数y?g(x)在(?2,??)有两个不同零点须满足：?(2k?b)?4k(2b?1)?0,

?2k?b????2.?2k?(b?2k)2?4k,???b?2k,?b?2k?2k． ?k?0?②当k?0时，函数y?g(x),y?p(x)的图象均是开口向下的抛物线，

8

由g(?2)?1?0知y?g(x)在(?2,??)有唯一零点，故为满足函数y?f(x)有三个零点，函数y?p(x)在(??,?2)应有两个不同零点．

??p(?2)?0,?2函数y?p(x)在(??,?2)有两个不同零点须满足：?(2k?b)?4k(2b?1)?0,

?2k?b????2.?2k?(b?2k)2??4k,???b?2k,?b?2k?2?k， ?k?0.?综合①②可得函数y?f(x)有三个不同的零点，b?2k?2|k|．

x13?3x11421.解：（1）由x1?2，xn?1?f(xn)得x2?f(x1)??， 23x1?113?y1?log3(（2）∵

x2?11)?log3??3． x2?1273?xn+3xn?1?232?xnxn?133xn?1??3xn?3xn?1??log()， ?log?33?332?xn+3xnx?1x?3x?3x?1nnn?n??123xn?1????xn?1?1yn?log3()=log3??xn?1?1???3log3(xn?1)?3yn?1(n?2,n?N?) xn?1即

yn?3(n?2,n?N?)，所以数列{yn}是首项y1??3，公比为3的等比数列， yn?1∴yn??3?3n?1??3n． （3）证明：由（2）知yn??3，

则(1?n11)(1?)y1y2131)23(1?(1?111)?(1?)(1?2)yn33(1?1)， n3令(1?)(1?1)?f(n) n3 9

121?2??2?， 333n?2当时

1111131151f(2)?(1?)(1?2)?1??2?3?1?2?2?2?1?2?2?2，

33333333331?由此猜想：f(n)?2?n.（n?N）

3当n?1时，f(1)?1?下面用数学归纳法证明：

①当n?1时，猜想成立上面已证；

，

1，则当n?k?1时，k3111121f(k?1)?f(k)(1?k?1)?(2?k)(1?k?1)?2?k?k?1?2k?1

333333121?2?k?k?1?2?k?1，

3331这就是说当n?k?1时，f(n)?2?n成立，

31?综①②得对?n?N，f(n)?2?n成立．

31∵2?n?2

3②假设当n?k(k?1,k?N?)时，猜想成立，即f(k)?2?∴?n?N，(1?

?11)(1?)y1y2(1?1)?2成立． yn

高二理科数学大题训练2参考答案

1. 解：(1)甲流水线样本的频率分布直方图如下： (2)由图１知，

产品重量（克）频率/组距频数68148410

0.090.08

（490,495]（495,500]（500,505]（505,510]0.070.060.050.040.030.020.010

（510,515]490495500505510515(重量/克)

乙样本中合格品数为(0.06?0.09?0.03)?5?40?36，

故合格品的频率为的概率P?0.9,

设?为从乙流水线上任取5件产品中的合格品数，则?3∴P(??3)?C5(0.9)3(0.1)2?0.0729．

36?0.9，据此可估计从乙流水线上任取一件产品该产品为合格品40(5,0.9)

即从乙流水线上任取5件产品，恰有３件产品为合格品的概率为0.0729． （3）2?2列联表如下：

合格品 不合格品 合 计 甲流水线 乙流水线 合计 66 14 a?30 c?10 40 b?36 d?4 40 n?80

n(ad?bc)280?(120?360)2?3.117?2.706 ∵K?＝

66?14?40?40(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)2∴有90％的把握认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关．

2. 解：（1）证明：在图1中连结BE，∵AB=AE=1，DA⊥AB，

∴△EAB为等腰直角三角形，∴BE=2， 又BC=2，CE=2，∴△BCE是等腰直角三角形，

∴BC⊥BE，∠AEC=∠AEB+∠BEC=90°， ∴CE⊥AD，

在图2中，∵平面CDE⊥平面ABCE，平面CDE∩平面ABCE=CE， ∴DE⊥平面ABCE，∵BC?平面ABCE，∴DE⊥BC， 又DE∩BE=E，∴BC⊥平面BDE，又BC?平面BCD， ∴平面BDE⊥平面BDC.

(2)由（1）知，图2中AE，EC，DE两两互相垂直，故以点E为 坐标原点，AE所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如右图示， 则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，2，0)，D(0，0，1)， ∴DC?(0,2又?,,1)EB?(1,1,,0)DF? ∴EF?(0,124DC得F(0,,)， 55524,),设平面BEF的一个法向量为m?(a,b,c)， 5511

?a?b?0,?m?EB?0,??由?令c?1得b??2,a?2，即m?(2,?2,1)， ??24b?c?0.??m?EF?0.?55?由（1）知BC?(?1,1,0)为平面BDE的一个法向量，设所求的二面角的大小为?， 则cos??|?2?222m?BC|?. |?|34?4?1?1?1|m|?|BC|即二面角F-BE-D的余弦值为22. 33. 解：（1）由Sn?1?3Sn?2n?4?0(n?N?)得当n?2时，

Sn?3Sn?1?2(n?1)?4?0，两式相减得an?1?3an?2?0

?an?1?1?3(an?1) a?1∴n?1?3，即数列{an?1}是以a1?1为首项，公比为3的等比数列

an?1∴an?1?(a1?1)3n?1，an?5?3n?1?1（n?N） (2)由f'(x)?an?2an?1x???na1xn?1，得

?n(5?30?1)

?na1?(5?3n?1?1)?2(5?3n?2?1)?n(n?1)?5[3n?1?2?3n?2??n?30]?，

2n?1n?20令S?3?2?3??n?3, f'(1)?an?2an?1?则3S?3?2?3nn?1??n?3，作差得2S?3?3nn?1?3(3n?1)?3?n??n，

23n?1?3nS??，

425?3n?1?15n(n?6)?故f'(1)?，

425?3n?1?15n(n?6)?即bn?.

425?3n?2?15(n?1)(n?7)15?3n7??n? 则bn?1?，从而bn?1?bn?422215?3n7??n??0，即15?3n?2n?7 以下证明对?n?N有22①当n?1时，该不等式显然成立，

k?②假设当n?k(k?1,k?N)时，不等式成立，即15?3?2k?7，

k?1则15?3?3(2k?7)?2(k?1)?7，即当n?k?1时，该不等式成立.

15?3n7?n??0，∴对?n?N?有bn?1?bn，即数列{bn}是递增数即对?n?N有

22?列，

12

∴数列{bn}存在最小值项，该项为数列的首项b1?4. 4. 解：（1）设动圆圆心为D(x,y)(x?0)， ∵

D在y轴右侧与y轴相切，同时与F2相外切，

22∴|DF2|?x?1，从而(x?1)?y?x?1，

整理得曲线C的方程为：y2?4x(x?0).

（2）由曲线E为椭圆知，c?1，设P(xP,yP),依题意得：

2?x?,49?22P?(x?1)?y?,3??PP 9解得???y?26.?y2?4x.?PPP?3?于是|PF2|?(?1)2?(232625)?, 3375??4,∴a?2，b2?a2?c2?3， 33由椭圆的定义得2a?|PF1|?|PF2|?x2y2??1. ∴曲线E的标准方程为43(3)由题意知F2(1，0)，

①当AB、GH的斜率存在时，设AB的斜率为k，则GH的斜率为?1， kx2y2??1得(3?4k2)x2?8k2x?4k2?12?0， 则lAB:y?k(x?1)代入椭圆方程43?3kxA?xB4k2y?k(x?1)??故xM?，， MM223?4k23?4k4k2?3k,)， 于是M(3?4k23?4k2∵AB⊥GH，∴将点M坐标中的k换成?143k,2). ，即得点N的坐标为(2k3k?43k?4当k??1时，kMN3k?3k?227k3k?43?4k， ??2244k4(1?k)?3k2?43?4k213

此时lMN:y?3k7k4?(x?)， 2223k?44(1?k)3k?47k4(x?)，

4(1?k2)74

7

整理得：y?可知直线MN过定点(,0).

当k??1时，易得直线MN的方程为x?44，也过点(,0) 774

7

②当弦AB或GH的斜率不存在时，易知直线MN为x轴，也过点(,0)， 综上得直线MN过定点(,0).

47x21x2?1,x?0， 5. 解：（1）当a??1时，f(x)??lnx?，则f'(x)???x?2xx当x?1时，f'(x)?0，函数f(x)在(1,??)上单调递增，

0?x?1时，f'(x)?0，函数f(x)在(0,1)上单调递减，

∴当x?1时，函数f(x)有最小值，f(x)min?f(1)?1. 2ax2?(a?1)x?a(x?1)(x?a)?,x?0 (2)∵f'(x)??x?(a?1)?xxx①若a?0时，

当0?x?1时，f'(x)?0，函数f(x)在(0,1)上单调递减， 当x?1时，f'(x)?0，函数f(x)在(1,??)上单调递增， ∴f(x)min?f(1)?当a??11?a?1???a， 221时，f(x)min?0，函数f(x)零点个数为0； 21当a??时，函数f(x)零点个数为1.

21当??a?0时，f(x)min?0，且

2e2e2e2f(e)?a??(a?1)e??e?a(1?e)??e?0，

222e?2k又对于任意的k(k?N),f(e)??ka?(a?1)e?，取自然数k，使

2??k?k 14

?ka?(a?1)e?k?0，即使kek?2.

a?1，则f(e?k)?0，∴此时函数f(x)零点个数为?ax2?x,∵x?0，∴此时函数f(x)零点个数为1. 当a?0时，f(x)?2②若0?a?1，则当0?x?a时，f'(x)?0，函数f(x)在(0,a)上单调递增， 当a?x?1时，f'(x)?0，函数f(x)在(a,1)上单调递减， 当x?1时，f'(x)?0，函数f(x)在(1,??)上单调递增，

∴函数当x?a时，函数f(x)有极大值，当x?1时，函数有极小值，

1a2f(x)极大=f(a)?alna??a?0，f(x)极小=f(1)??a?1?0；

22e4e222f(e)?2a??(a?1)e?2a?(e?2a?2)?0，

222∴此时函数f(x)零点个数为1.

(x?1)2?0，即函数f(x)在(0,??)上单③若a?1，则对?x?(0,??)都有f'(x)?x调递增，

e4e222?2e?2?(e?4)?0，又f(e)?2?222e?1e?1?1?1f(e)??1??2e??1?(e?4)?0，

22?1∴此时函数f(x)零点个数为1.

1时，函数f(x)零点个数为0； 21 当a??时，函数f(x)零点个数为1；

21当??a?0时，函数f(x)零点个数为2；

2综上所述：当a??当0?a?1时，函数f(x)零点个数为1．

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