二次曲线中的万能弦长公式

二次曲线中的万能弦长公式

王忠全

我们把圆、椭圆、双曲线、抛物线称为二次曲线，用设而不求的方法，可得到其弦长公式。 设直线方程为：y=kx+b（特殊情况要讨论k的存在性），二次曲线为f（x，y）=0，把直线方程代入二次曲线方程，可化为ax2+by2+c=0，（或ay2+by+c=0），设直线和二次曲线的两交点为A（x1，y1），B（x2，y2） y=kx+b B（x2，y2） f（x，y）=0 A（x1，y1）

那么：x1，x2是方程ax2+by2+c=0的两个解，有 x1+x2=-

bc，x1x2=， aa|AB|??x1?x2?2?(y1?y2)2?|a|??x1?x2?2?(kx1?b?kx2?b)2

?(1?k2)(x1?x2)2?1?k2?(x1?x2)2?4x1x2?1?k2同理：若化为关于y的方程ay2+by+c=0，则|AB|= 1?1?. 2k|a|例、已知过点M（-3，-3）的直线m被圆x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为45，求直线m的方程。

解析:设直线方程m:y+3=k(x+3),

即y=kx+3k-3,代入x2+y2+4y-21=0,得x2+k2x2+9k2+9+6k2x-6kx-18k-21+4kx+12k-12=0, 即(1+k2)x2+(6k2-2k)x+9k2-6k-24=0,那么

1?k即236k4?24k3?4k2?36k4?24k3?60k2?24k?96?452|1?k|264k2?24k?961?k64k2?24k?96?80?80k2，16k2?24k?1616?0，2k2?3k?2?01k1??,k2?2,所求直线方程为x?2y?9?0,或2x?y?3?02?45，两边平方，得

当k不存在时,直线m为x=-3,代入x2+y2+4y-21=0,得交点为(-3,2),(-3,-6) |AB|=8?45(不合题意)

综上所述: 所求直线方程为x?2y?9?0,或2x?y?3?0.

x2y2??1所截得的弦长为2，求直线m的变式: 已知过点M（-3，-3）的直线m被椭圆

164方程。

评析:用公式解决弦长问题,计算量大,容易出错,这正是高考考查学生计算能力的一个重要方面,这种“设而不求”的思想，在处理圆锥曲线相关问题中占有重要地位。

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