信号分析与处理答案(苪坤生 潘孟贤 丁志中 第二版)(7)

*3.8 设输入信号为x(t)?e的零状态响应。

?4t?(t)，系统的频率特性为H(?)?j??1，求系统26?j5???解 X(?)?1 j??4?13?j??12?2?2 ? Y(?)?X(?)?H(j?)?(j??2)(j??3)(j??4)j??2j??3j??4 ?y?t???2e?3t?e?2t?e?4t??(t)

3.9 理想低通滤波器的幅频特性为矩形函数，相频特性为线性函数?(?)???t0，如题图3.9所示。现假设输入信号为x(t)?A[?(t?

??1232???号y(t)。

H(?)

)??(t?)]的矩形脉冲，试求系统输出信22?

?

-? 0 ?

cc 题图3.9

解 利用傅里叶变换的对称性，可以求得该系统的冲激响应为：

t?c?cSa?c(t?t0)，h(?1)(t)??Sa?c(??t0)d?，令v??c(??t0)得：

??????C(t?t0)11?C(t?t0)1Sa(v)?dv?? h(?1)(t)?c?Sa(v)dv ?Si[?c(t?t0)]

????c?????(?) 1 h(t)?其中：Si(y)????Sa(v)dv

??22y ?y(t)?h(t)?x(t)?h(?1)(t)?x'(t)?Ah(?1)(t)?[?(t?)??(t?)] ?Ah(?1)(t?)?Ah(?1)(t?)???22{Si[?c(t??t0)]?Si[?c(t??t0)]}

?22A??

3.10 在题图3.10(a)所示系统中，采样信号s(t)如图(b) 所示，是一个正负交替出现的冲激串，输入信号的频谱x(?)如图(c)所示。

?2?m?(2) 对于Ts?2?m(1) 对于Ts?，画出y1(t)和y(t)的频谱；

，确定能够从y1(t)中恢复y(t)的系统。

(1) s s(t) s(t) s

? -T T ? -2T o 2T ssH(?) x(t) y(t) ? y(t) 1 (a) X(?) 1 1 2 mm (b) 1

H(?) ? -? 0 ? ? (c) ?o?3?3?- - TsTsTTss (d) 题图3.10

?????(t?2nTs)??[t?(2m?1)Ts]? 解(1) y1(t)?x(t)?s(t)?x(t)????m????n???????1?????j?Ts??Y(?)?X(?)??(??n)??(??m)?e ?? 12?TTTT??ssssm????n??????????jn?Ts11? Y1(?)?X(?)?[??(??n)(1?eTs)]?Ts2TsTsn?????m????X[??(2m?1)?Ts]

由此可以绘出Y1(?)及Y(?)的频谱图如下：

Y(?) 1

2? 1/Ts m -3?/Ts -?/Ts 0 ?/Ts 2?/Ts ?

Y(?)

1/Ts ?m -3?/Ts -?/Ts 0 ?/Ts 2?/Ts ?

(2) 从Y1(?)的频谱可以看出，由y1(t)恢复x(t)的系统如图所示:

y1(t) x(t) H(?) ? cos tTs ?

-?m o ?m ?

Ts H(?)

3.11 在题图3.11(a)所示系统中，已知输入信号x(t)的傅里叶变换如题图(b)所示，系统的频率特性H1(?)和H2(?)分别如图(c)和图(d)所示，试求输出y(t)的傅里叶变换。

cos5?0t cos3?0t

1

X(?)

x(t) x1(t) x2(t) x3(t) y(t) H(?)H(?) ? ? 12 ?

-2?0 0 2?0

(b) (a) H(?)H(?) 1 2 1 1 ? -5? -3? o 3? 5? 0000 ? -3? o 3? 00 (c)

题图3.11 (d) 解： 参见题图x1(t),x2(t),x3(t)的标注。

X(?) 1 1/2

? -7? -5? -3? o 3? 5? 7? 000000 X(?)

2 1/2 -5? -3? o 3? 5? ? 0000 X(?) 3 1/4

o? -8? -6? -2? 2? 6? 8? 000000

1/4 -2? o 2? ? 00

*3.12 在题图3.12(a)所示的滤波器中，F[x(t)]?X(?)。如果滤波器的频率特性函数

Y(?)H(?)满足：

H(?)?KX*(?)e?j?? (K，?为常数)

则称该滤波器为信号x(t)的匹配滤波器。

(1) 若x(t)为图(b)所示的单个矩形脉冲，求其匹配滤波器的频率特性函数H(?)；

(2) 证明图(c)所示系统是单个矩形脉冲的匹配滤波器；

(3) 求单个单个矩形脉冲匹配滤波器的冲激响应h(t)，并画出h(t)的波形； (4) 求单个单个矩形脉冲匹配滤波器的输出响应y(t)，并画出y(t)的波形。

积分器 + - t

延时? (a) o ? (b) (c) x(t) y(t) 滤波器

1

x(t)

x(t) 理想 x1(t) y(t) ?题图3.12

1?j??[1?e] ?0j?KK ?H(?)?[1?e?j??]e?j???[1?e?j??]

?j?j?解 (2) 参见图(c)x1(t)标注.

X(?)1 X1(?)? X(?)??X(0)?(?)?j?j?解 (1) ?X(?)??1?e?j?tdt?又 y(t)?x1(t)?x1(t??)，?Y(?)?X1(?)[1?e?j??]? ?X(?)[1?e?j??] j?Y(?)1?[1?e?j??] 即X(?)j?Y(?)与（１）中H(?)有相同的函数形式。 X(?)FF解 (3) ?X?(?)???x(?t)，X?(?)e?j?????x[?(t??)]

?h(t)?F?1[H(?)]?Kx(??t)

?t?解 (4) y(t)?x(t)?h(t)?x(t)?x(t)???t?2??0?[y(t)为一三角波]

*3.13 求题3.1中x1(t)和x4(t)的功率谱密度函数。

??t?02??t?? (取ｋ＝１)

t为其它值解 (1) 参见3-1题。首先推出周期信号功率谱密度函数的表达式： 周期信号的傅里叶变换为： X(?)?2?X(k?1)?(??k?1) ?k????其中X(k?1)是傅里叶级数展开式系数。

考虑截取信号：y(t)?x(t)[?(t?)??(t?)]?x(t)g(t) 根据频域卷积定理，截取信号的傅里叶变换为：

T2T2

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