所以AC⊥平面BDD1B1． 又BD1?平面BDD1B1， 所以BD1⊥AC． 同理可证BD1⊥AB1． 又AC?平面AB1C， AB1?平面AB1C， AC∩AB1＝A， 所以BD1⊥平面AB1C． 因为点P在线段B1C上，
所以AP?平面AB1C，所以AP⊥BD1．
4．(选做题)(2016·福州高二检测)如图，四棱锥P
ABCD中，底面ABCD为矩形，
PD⊥底面ABCD，AD＝PD，E，F分别为CD，PB的中点．
(1)求证：EF⊥平面PAB．
(2)设AB＝2BC，求AC与平面AEF所成角的正弦值． [导学号10710167] 解：(1)
证明：连接BE，EP．由题意知∠PDE＝∠BCE＝90°， 因为ED＝CE，PD＝AD＝BC，
所以Rt△PDE≌Rt△BCE，所以PE＝BE． 因为F为PB中点，所以EF⊥PB． 因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥AB，
因为DA⊥AB，PD∩AD＝D，所以AB⊥平面PAD，所以PA⊥AB．
在Rt△PAB中，因为PF＝BF，所以PF＝AF．
又因为PE＝BE＝EA，所以△EFP≌△EFA，所以EF⊥FA． 因为PB∩AF＝F，所以EF⊥平面PAB．
(2)不妨设BC＝1，则AD＝PD＝1，AB＝2，PA＝2，AC＝3． 所以△PAB为等腰直角三角形，且PB＝2． 因为F是PB的中点，所以BF＝1，AF⊥PB． 因为AF∩EF＝F， 所以PB⊥平面AEF．
设BE交AC于点G，过点G作GH∥PB交EF于点H，连接AH，则GH⊥平面AEF．故∠GAH为AC与平面AEF所成的角．
1
由△EGC∽△BGA可知，EG＝GB，AG＝2CG，
21223
所以EG＝EB，AG＝AC＝．
33311
由△EGH∽△EBF，可知GH＝BF＝．
33GH3
所以sin∠GAH＝＝，
AG6
所以AC与平面AEF所成角的正弦值为
3． 6
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