2024-2025第二学期《线性代数》试卷参考答案(2)

?2???????5?????????????????将(?1,?2,?3)单位化得:p1??0?,p2?????1?????5????2???5????0??1?5?13053023026?16161??1??306????5???1,p??3??306??2??2??30??6?????, ?????Q???????????p1,　p２,　p３?????? ． ????八、（6分）设A是n阶正定矩阵，E是n阶单位矩阵，证明：E?A?1． 证明：因为A是正定矩阵，所以A的特征值?i?0(i?1,2,?,n)

方法一：又A?E的特征值为?1?1,?2?1,?,?n?1且?i?1?1(i?1,2,?,n)，

n 所以 A?E??i?1(?i?1)?1．

??1　　　?　　?２　　T?1?方法二：因为存在正交阵Q使QAQ?QAQ?? ???　　　　 ?n???，??0(i?1,2,?,n)

i?????1+1　　　???　　?２+1　　?Q?1，??0(i?1,?2,n,， 于是A?E?Q?i? ????　　　　 ??1n??n 所以A?E??i?1(?i?1)?1 ．

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