§2.3.2抛物线的简单几何性质学案(1)

抛物线的简单几何性质学案

【复习巩固】

1. ____________________________________________________________________叫做抛物线；_______________叫做抛物线的焦点，________________叫做抛物线的准线；焦点在x轴上抛物线的标准方程为_________________，其焦点坐标为__________，准线方程为________________，其中p的几何意义为________________. 2. 以??p?，0?为焦点的抛物线的标准方程为______________，准线方程为________________； ?2?以???p?，0?为焦点的抛物线的标准方程为______________，准线方程为________________； ?2???p?2?以?0，?为焦点的抛物线的标准方程为______________，准线方程为________________；

以?0，-??p??为焦点的抛物线的标准方程为______________，准线方程为_______________. 2? 3. 完成下表： 标准方程 y F x F O x y F O y O F 焦点坐标 准线方程 p的几何意义 4. 抛物线y?4ax(a?0)的焦点坐标是（ ） A. ?2y 图 象 O x x ?1?，0? B. 4a??1??0，?? C. 16a??21??0，??? D.

16a???1?，0?? 16a??5. 一动圆的圆心在抛物线y?8x上，且动圆恒与直线x?2?0相切，则动圆必过定点（ ） A. (4，0) B. （2，0） C.（0，2） D. (0，－2)

§2.3.2抛物线的简单集合性质学案

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抛物线的简单几何性质学案

6. 已知F为抛物线y2?2x的焦点，定点Q（2，1）点P在抛物线上，要使PQ?|PF|的值最小，点P的坐标为（ ） A. (0，0) B. ?，1? C.

?1??2??2，2 D. (2，2)

?7. 已知抛物线型拱桥的顶点到水面2m时，水面宽为8m，当水面升高1m后，水面宽为____________

8. 已知抛物线y2?2px(p?0)，过点?2p，0?作直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，给出下列结论：①OA?OB；②?AOB的面积的最小值为4p2；③x1x2??4p2，其中正确的结论是__________________. 【讲解新课】

一、抛物线y2?2px(p?0)的简单几何性质

??)，y?R 1. 范围：x?[0，2. 对称轴：以?y代y方程y2?2px(p?0)不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。

3． 顶点：抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点，抛物线y2?2px(p?0)的顶点为坐标原点.

4. 离心率：抛物线上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，抛物线的离心率e?1.

同理可得其它三种抛物线简单的几何性质。 二、小结：抛物线的简单几何性质一览表

标准方程 y2＝2px（p＞0） y O F y2＝－2px（p＞0） X2＝2py（p＞0） x2＝－2py（p＞0） y y y F O F O x O x x x F 图 象 范 围 焦点坐标 顶点x≥0 pF（ ，0） 2O（0，0） x≤0 pF（－ ，0） 2O（0，0） 第 2 页

y≥0 pF（0， ） 2O（0，0） y≤0 pF（0，－ ） 2O（0，0） 2015/1/8

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抛物线的简单几何性质学案

坐标 离 心 率 对 称 轴 焦 半 径 准线方程 p的几何意义 e＝1 e＝1 e＝1 e＝1 x轴 x轴 y轴 y轴 p|PF|＝x0＋ 2px＝－ 2p|PF|＝－x0＋ 2px＝ 2p|PF|＝y0＋ 2py＝－ 2p|PF|＝－y0＋ 2py＝ 2抛物线的焦点到准线的距离，p越大张口就越大 通 过焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线两交点间的线段叫做抛物线的通径，其长为2p 径 三、焦点弦及其性质

1．抛物线焦点弦的定义：过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点这两点间的线段叫做抛物线的焦点弦。

2．抛物线焦点弦的性质：

p

若抛物线的方程为y2＝2px（p＞0），过抛物线的焦点F（ ，0）的直线交抛物线与

2A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，则 ① y1y2＝－p2； p2

② x1x2＝ ；

4③ |AB|＝x1＋x2＋p；

2p

④ |AB|＝2 （其中θ为直线的倾斜角）；

sinθ⑤

112＋＝ ； |AF||BF|p

⑥ 过A、B两点作准线的垂线，垂足分别为A/、B/，F抛物线的焦点，则∠A/FB/＝900； ⑦ 以弦AB为直径的圆与准线相切。

pp

证明：①当直线过焦点且垂直于x轴时，A（ ，p）、B（ ，－p），因此y1y2＝－p2成立；

22 当直线过焦点且不与x轴垂直时，显然直线的斜率k≠0，直线AB的方程为：

pypyp

y＝k（x－ ）；由此的x＝ ＋ ；把x＝ ＋ 代入y2＝2px消去x得：

2k2k2ky2－2py－kp2＝0，∴y1y2＝－p2

②∵A（x1，y1）、B（x2，y2）两点都在抛物线y2＝2px（p＞0）上，

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∴y12＝2px1，y22＝2px2；两式相乘得(y1y2)2＝2px1·2px2 ∴p4＝4p2x1x2； p2

从而x1x2＝

4

p

③过A、B两点作准线x＝－ 的垂线，垂足分别为A/、B/，

2pp

则|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AA/|＋|BB/|＝x1＋ ＋x2＋ ＝x1＋x2＋p

22④当θ＝900时，显然成立；

p

当θ≠900时，，则直线AB的方程为：y＝k（x－ ）；

2

pk2p22222

把y＝k（x－ ）代入y＝2px消去y得：kx－p(k＋2)x＋ ＝0；

24p(k2＋2)p2

x1＋x2＝ ，x1x2＝ ；

k24|AB|＝1＋k |x1－x2|＝1＋k 2p(1＋tan2θ)2p

＝ ＝2 。 2tanθsinθ⑤∵A（x1，y1）、B（x2，y2）∴

1111

＋＝＋ |AF||BF|pp

x1＋ x2＋ 22

222p(1＋k2)

(x1＋x2)－4x1x2 ＝

k22＝

x1＋x2＋px1＋x2＋p

2 ＝2ppppp2x1x2＋ (x1＋x2)＋ ＋ (x＋x)＋ 2442124x1＋x2＋p2

＝

pp (x1＋x2＋p)2

＝

⑥过A、B两点分别作准线的垂线，垂足分别为A/、B/， 由于点A、B是抛物线上的点，F是抛物线的焦点，根据y //

抛物线的定义可知，|AF|＝|AA|，|BF|＝|BB|

∴∠B/BF＝1800－2∠B/FB，∠A/AF＝1800－2∠A/FA A/ A 由∵AA/∥BB/ ∴∠B/BF＋∠A/AF＝1800 即：1800－2∠B/FB＋1800－2∠A/FA＝1800

O F x ∴∠B/FB＋∠A/FA＝900 / By ⑦设N为线段AB的中点，过A、B、N分别作准线的垂线， B 垂足分别为A/、B/、N/，

A/ ⑥题图 //

A |AA|＋|BB|

∵N为线段AB的中点，则|NN/|＝

2

N/ N |AF|＋|BF||AB|O F x ＝ ＝ / 22BB §2.3.2抛物线的简单集合性质学案

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2015/1/8 ⑦题图 抛物线的简单几何性质学案

∴以AB为直径的圆与准线相切。

【例题讲解】

【题型一】利用抛物线的性质求抛物线的方程

【例1】已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过M(2，?22)，求它的标准方程。

【变式训练】已知抛物线关于坐标轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过M(2，?22)，求它的标准方程。

【例2】已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，若抛物线上一动点P到A(2，)、F两点距离之和的最小值为4，求抛物线C的方程。

【变式训练】抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135的直线，被抛物线截得的弦长为8，试求抛物线的方程。

【题型二】有关焦点弦的问题

【例3】斜率为1的直线l经过抛物线y?4x的焦点，且与抛物线相交于A、B两点，求线段AB的长。

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