数理统计课程论文

用回归方法分析居民消费价格指数的变化趋势

摘要：居民消费价格指数(CPI)，是反映一定时期内城乡居民所购买的生活消费品价格和服务项目价格变动趋势的相对数，通过城市居民消费价格指数和农民消费价格指数综合计算得出。本文通过回归分析方法分析了中国近三十年以来居民价格消费价格指数的变化趋势，对其基本规律展开了简单探讨。 关键词：居民价格消费指数 回归分析 经济发展

一、问题提出，问题分析

众所周知，消费物价指数是反映一个国家或地区宏观经济运行状况好坏的必不可少的统计指标之一，是反映一定时期内居民所消费的商品和服务价格变动的指针，它反映不同时期生活费用的变动程度[1]。它还被世界各国用于判断通货膨胀，是反映市场经济景气状态必不可少的经济晴雨表。从宏观管理来讲，它为各级政府管理部门掌握居民消费价格状况，研究和制定居民消费价格政策、工资政策、货币政策以及为国民经济核算提供科学依据；就投资而言，它是企业增加或减少投资的重要决策依据；从就业来看，它是政府和企业调整雇员工资和津贴的重要参考依据。总之，消费物价指数在现代商品经济社会中，具有十分重要的地位和作用。

居民消费价格指数作为一项很重要的经济指标，随着中国改革开放以来，经济得到了飞速发展，伴随而来的是社会消费水平的迅速提高。那么作为衡量居民日常生活物价变化的最重要的居民消费物价指数的变化趋势是否存在一定规律呢？下面我们将运用回归分析的方法简单分析一下居民消费价格指数随时间的变化规律。

二、数据描述

文章选取了中国1985年至2013年居民消费价格指数作为基本数据，数据选取源自于国家统计局[2]。对应1985年至2013年总共29组数据，为了便于分析，将时间作为统计量X,令x1=1（对应1985年），取1985年居民消费价格指数为100，

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其他年份价格指数可以依次推算获得，具体数据见表2-1。

表2-1:居民消费价格指数表

年份 x=年份-1984 居民消费价格指数

年份 x=年份-1984 居民消费价格指数

年份 x=年份-1984 居民消费价格指数

年份 x=年份-1984 居民消费价格指数

1985 1 1993 9 2001 17 2009 25

1986 2 1994 10 2002 18 2010 26

1987 3 1995 11 2003 19 2011 27

1988 4 1996 12 2004 20 2012 28

1989 5 1997 13 2005 21 2013 29

1990 6 1998 14 2006 22

1991 7 1999 15 2007 23

1992 8 2000 16 2008 24

100.0 106.5 114.3 135.7 160.1 165.1 170.7 181.6

208.3 258.6 302.7 327.9 337.1 334.4 329.7 331.0

333.3 330.7 334.6 347.7 353.9 359.3 376.5 398.7

395.9 408.9 431.0 442.2 453.7

三、模型建立：

（1）提出假设条件，引进参数，模型构建

假设变量x与居民消费价格指数y满足一定关系，可以直接线性化或是通过一定转化变为线性化，通过分析它们之间的关系，对其走势进行分析以及预测。

回归函数是线性函数的回归分析称为线性回归，当可控制函数只有一个时，即回归函数为如下

Y??0??1x?? （3-1） 其中β0和β1称为回归系数，ε称为误差项的随机变量，它反映了除和之间的线性关系之外的随机因素对的影响,是不能有和之间的线性关系所解释的变异性。 对于模型(3-1)通常有以下几个假设: ① ε满足“无偏性”的假设,ε的均值为零,即ε。

② ε满足“共方差性”的假设,ε的方差对于所有的取值都相等。这就是说,所有的ε分布的方差都为σ。

③ ε满足“正态性”的假设,误差项服从正态分布的随机变量[3]。

对于模型(3-1),易知,ε～N（0，σ2）。

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（2）模型求解。

设（xi,yi）(i=1,2,…,n)为取得的一组实验数据，满足一元线性回归模型：

yi??0??1xi?? , i=1,2,i,n, （3-2）

?iN(0,?2), i=1,2,,n,Cov(?i,?j)?0, i?j,i,j?1,2,,n. 需要在此基础上确定回归系数β0和β1的估计值?0、?1，并使残差

ei?yi?yi ?i?1,2,n? （3-3）

尽可能小，其中

yi=?0+ ?1xi ?i?1,2,n? （3-4）

称为yi的预测值，由此得到的

yi=?0+ ?1xi

称为样本回归直线，或经验回归直线。

要使式3-2中的n个残差都小时有时是做不到的，解决这个问题的一种途径是让

2 SE???yi??0??1xi? （3-5）

i?1n2达到最小，常称为最小二乘法。经过求解正规方程可以得到

?1?lxylxx （3-6）

?0?y??1x其中lxy、lxx分别为

lxy??xiyi?nxyi?1nn （3-7）

2lxx??xi2?nxi?13-6式实际给出了一元线性回归模型中回归系数的参数估计，称为最小二乘估计。当X=x时，Y的预测值为

yi=?0+ ?1x

四、模型计算过程

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本文将分别采用两种方法回归分析数据，分别是一元线性回归和把非线性

回归分析转化为一元线性回归。 （1）一元线性回归

按照式3-7求得lxy?24916.32, lxx?2030。

则

?1?lxylxx?24916.32?12.272030

?0?y??1x?294.1?12.27?15?110.03所以居民消费价格指数Y和时间X的样本回归直线方程为

y??0??1x?110.03?12.74x 。 （2）一元非线性转化为线性回归

用1stOpt15PRO软件分析居民消费价格指数与时间的关系拟合曲线得到

lny?alnx?b计算结果如图4-2-1所示。

图4-2-1：1stOpt15PRO软件拟合结果

lnx、lny具体数值见下表4-2-1。

表4-2-1：转化后居民消费价格指数表

年份

lnx（x=年份-1984）

lny 年份

1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 0.0 4.6

0.7 4.7

1.1 4.7

1.4 4.9

1.6 5.1

1.8 5.1

1.9 5.1

2.1 5.2

1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000

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lnx（x=年份-1984）

lny 年份

lnx（x=年份-1984）

lny 年份

lnx（x=年份-1984）

lny

2.2 5.3 2.8 5.8 3.2 6.0

2.3 5.6 2.9 5.8 3.3 6.0

2.4 5.7 2.9 5.8 3.3 6.1

2.5 5.8 3.0 5.9 3.3 6.1

2.6 5.8 3.0 5.9 3.4 6.1

2.6 5.8 3.1 5.9

2.7 5.8 3.1 5.9

2.8 5.8 3.2 6.0

2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008

2009 2010 2011 2012 2013

按照式3-7求得lxy?10.57, lxx?20.11。

则

?1?lxylxx?10.57?0.525320.11

?0?y??1x?5.5964?0.5253?2.4571?4.3056所以转化后居民消费价格指数lnY和时间lnX的样本回归直线方程为

lny??0??1lnx?4.3056?0.5253lnx 。 （3）两种处理方式显著性检验

从现象回归模型可见，若?1越大，Y随X的变化趋势就越明显，本文将采用R检验法，来检验两种处理方式的显著性。

问题归结为统计假设

H0: ?1?0, H1: ?1?0

的检验，决绝H0就认为Y与X之间具有线性关系，所求样本回归直线具有意义。

采用样本相关系数

R??(Y?Y)(Xii?1n2nii?1i?1ni?X) （4-3-1）

i?(Y?Y)?(X?X)2作为检验统计量，显然R的样本值r满足

2SRr?2 （4-3-2）

ST2并且满足0?r?1，当r越接近1时，表明Y与X线性程度越高。检验统计量R拒绝域为

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