1156-（高三数学）南京市白下区2024届高三迎市二模模拟考试数学(2)

??1?9?D?3E?F?0?D??4??由条件，得?4?36?2D?6E?F?0，解得?E??2，

?D?F??20E??(?)?2?(?)?4?0?22?圆C的方程为x2?y2?4x?2y?20?0． ………………………………6分

（2）由?k?1?x?2y?5?3k?0，得k?x?3???x?2y?5??0，

?x?3?0?x?3令?，得?，即直线l过定点?3,?1?，……………………………8分

x?2y?5?0y??1??由32???1??4?3?2???1??20?0，知点?3,?1?在圆内，

2?直线l与圆C恒相交． ………………………………10分

（3）圆心C?2,1?，半径为5，由题意知，

22直线l被圆C截得的最短弦长为252???2?3???1?1???45．………………14分

??E 18．（1）证明：如图1，取AC中点F，连接OF,BF．

?O是EC中点，?OF是?CAE的中位线， ?OF//EA，且OF?1EA， 2O

N 1又DB//EA，且DB?EA，?OF//DB且OF?DB，

2D A F M 图1

C

?四边形ODBF是平行四边形，?OD//FB．

?OD?面ABC,FB?面ABC，OD//平面ABC．………………5分

B

（2）证明：连接CM，?N是EM的中点，?ON//CM．

?平面ABDE?平面ABC，平面ABDE?平面ABC?AB，

BD?平面ABDE，BD?AB，?BD?平面ABC，

?CM?平面ABC，?BD?CM,?BD?ON．

又?ABC是等腰直角三角形，AC?BC，M是AB的中点， ?CM?AB，?ON?AB，

由AB,DB?平面ABDE,AB?DB?B，?ON?平面ABDE．……………………11分 （3）解：建立如图2所示的空间直角坐标系．

由条件，得M?0,0,0?,C22,0,0,E0,22,4,D0,?22,2，?O??????MO?

????????2,2,2，

???????????E 2,2,2,MD?0,?22,2,CD??22,?22,2， ????z 6

O N y D ?设平面ODM的法向量为n??x,y,z?，

????????????由n?MO,n?MD，

???2x?2y?2z?0，取n??3,1,2， ?????22y?2z?0??设直线CD与平面ODM所成角为?，则 ??????62?22?2230， sin??cos?n,CD???1025?23?直线CD与平面ODM所成角的正弦值为30． ………………………………16分 10?c1?a?2?2??a?a?219．解：（1）由题意：??4，解得?．

c???b?3222?a?b?c??x2y2?椭圆C的方程为??1． ………………………………6分

43（2）由（1）知，A??2,0?,B?2,0?，设M?x0,y0?，R?t,0?，则 直线AM的方程为y?y0?x?2?， x0?2令x?4，得y??6y0?6y0，即点P的坐标为?4,?， …………………………9分 x0?2x?20??由题意，MQ?PQ，?kMQ?kPQ??1，

6y02y04?ty0x0?2??， …………………………12分 ????1，即?6x0?24?t?x0?2??x0?2?22x0y0322?1,?y0??4?x0又??，

434??4?t31??，?t??． 642?1??直线PQ与x轴的交点R为定点??,0?． …………………………………16分

?2?20．解：（1）由f?x???x3?x2?b，得f??x???3x2?2x??x?3x?2?， 令f??x??0，得x?0或列表如下：

7

2． 3x

f??x? f?x?

1? 2

?1???,0? ?2??

0 0 极小值

?2??0,? ?3?2 30 极大值

?2??,1? ?3??

?

?

1f(?)

2? ?

132412由f(?)??b，f()??b，?f(?)?f()，

2832723133即最大值为f(?)??b?，?b?0． ………………………………5分

288（2）由g?x???x2??a?2?x，得?x?lnx?a?x2?2x．

?x??1,e?,?lnx?1?x，且等号不能同时取，?lnx?x,即x?lnx?0，

x2?2xx2?2x恒成立，即a?(?a?)min． ………………………………7分

x?lnxx?lnx?x?1??x?2?lnx?x2?2x令t?x??， ,x??1,e??，求导得，t??x??2x?lnx?x?lnx?当x??1,e?时，x?1?0,lnx?1,x?2?lnx?0，从而t??x??0，

?t?x?在?1,e?上为增函数，?tmin?x??t?1???1，?a??1． …………………10分 ??x3?x2,x?1（3）由条件，F?x???，

alnx,x?1?假设曲线y?F?x?上存在两点P,Q满足题意，则P,Q只能在y轴两侧， 不妨设P?t,F?t???t?0?，则Q?t,t3?t2，且t?1．

????POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，

?????????OP?OQ?0，??t2?f?t?t3?t2?0 ??*?，

??是否存在P,Q等价于方程?*?在t?0且t?1时是否有解． …………………12分 ①若0?t?1时，方程?*?为?t2??t3?t2t3?t2?0，化简得t4?t2?1?0， 此方程无解；

②若t?1时，?*?方程为?t2?alnt?t3?t2?0，即

??????1??t?1?lnt， a1设h?t???t?1?lnt?t?1?，则h??t??lnt??1，

t显然，当t?1时，h??t??0，即h?t?在?1,???上为增函数，

8

?h?t?的值域为?h?1?,???，即?0,???，

?当a?0时，方程?*?总有解．

?对任意给定的正实数a，曲线y?F?x? 上总存在两点P,Q，使得?POQ是以O（O为坐

标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．………………16分

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