§3[1].4数列通项与求和w(2)

a2?a6?a16?3a1?21d?3a8?M

?a8?M 3a4??1??a3?11?b

b?1??1b?S15?15a8?5M(常数)

故能使an?b的n的数是4的倍数

??2??9、 已知数列??的前n项和为Sn，则2??(n?1)?1??n??

技能培训

6、在数列?an?中,a1?0,an?1?an?2n，则

limSn等于( )

a2005?( )

(A)2003?2004 (B) 2004?2005 (C) 20052 (D) 2005?2006 答案：(B)

解析：由于an?1?an?2n故有 a2005?a1?(a2?a1)?(a3?a2)???(a2005?a2004)?0?2?4???4008

?2004?20057、数列?an?满足a1?2a2???(n?1)an?nan?n(n?1)(n?2),则an?( )

(A)3n (B)3(n?1) (C)n2(n?1) (D)2n(n?1) 答案：(B)

解析：因为a1?2a2???(n?1)an?nan

?n(n?1)(n?2) ① 所以

a1?2a2???(n?1)an?(n?1)n(n?1)②

① －②得：

nan?n(n?1)(n?2)?(n?1)n(n?1) ?an?3(n?1)

8、 已知数列?an?中，a1?b(b为任意正数)，

an?1??1a?1(n?1,2,2,?),能使an?b的nn的数值是( )

(A)14 (B)15 (C)16 (D)17 答案：(C) 解析：a2??1a??1 1?1b?1a??11b?13a?1??2?1??b b?1?1 (A)

32 (B)1 (C)0 (D)2 答案：(A) 解析：令a21n?2(n?1)2?1?n(n?2)?n?1n?2 ?S?a111111n1?a2???an?(1?3)?(2?4)?(3?5)???(1n?2?1n)?(1n?1?1n?1)?(11n?n?2)?1?1112?n?1?n?2 ?3nlim??Sn?2 10、已知数列{an}前n项和Sn??ban?1?1(1?b)n

其中b是与n无关的常数，且0＜b＜1，若

nlim??Sn存在，则nlim??Sn?________．

答案：1

解析：因为an?Sn?Sn?1 所以

Sn??b(Sn?Sn?1)?1?1(1?b)n ?(1?b)S1n?bSn?1?1?(1?b)n

?nlim??(1?b)S?1?n?nlim????bS?1???n?1(1?b)n? ??(1?b)nlim??Sn?bnlim??Sn?1?1

又由于nlim??Sn?nlim??Sn?1，代入得nlim??Sn?1

11、 已知数列{an}中,an?0(n?N?),其前n项和为

Sn，且S1=2，当n?2时，Sn=2an. （1）求数列{an}的通项公式；

（2）若bn?log2an，求数列?bn?的前n项和.

解析：（1）当n=1时，a1?S1?2； 当n=2时，有a1?a2?2a2,得a2?2；

6

当n?3时，有

an?Sn?Sn?1?2an?2an?1,得an?2an?1.

解析：（1）证明：由s1?a1?1，

s2?a1?a2?1?a2，3t(1?a2)?(2t?3)?1?3t，

故该数列从第2项起为公比q=2的等比数列，

(n?1)??2?an??n?1 ??2(n?2,n?N).???1(n?1)（2）由（1）知 bn?? ???n?1(n?2,n?N).故数列{bn}的前n项和

(n?1)?1?Tn??n(n?1)

?1(n?2,n?N?).?2?n(n?1)即：Tn?(?1)(n?N?).

2得a2?于是

2t?3 ， 3ta22t?3 ??① ?a13t又3tsn?(2t?3)sn?1?3t，

3tsn?1?(2t?3)sn?2?3t（n=3,4，??），

两式相减，得

3t(sn?sn?1)?(2t?3)(sn?1?sn?2)?0

即3tan?(2t?3)an?1?0(t?0)． 于是，得

12、数列?an?的前n项和为Sn，且Sn?2an?1，数

列?bn?满足b1?2,bn?1?an?bn（.l）求数列?an?的通项公式；(2)求数列?bn?的前n项和. 解析：（Ⅰ）当n=1时 a1?2a1?1 ∴a1?1 当n≥2时an?Sn?Sn?1?2an?1?2an?1?1 ∴an?2an?1

于是数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列 ∴an?2n?1an2t?3（n=3,4?） ??② ?an?13t2t?3的3t综合①②，得?an?是首项为1，公比为等比数列．

（2）由（1），得f(t)?2t?312??，3tt3bn?f(1bn?1)?bn?1?2 3

即bn?bn?1?2． 3（Ⅱ）∵bn?1?an?bn

∴bn?1?bn?2n?1

所以数列?bn?是首项为1，公差为列，于是bn?1?(n?1)?

2的等差数3从而bn?bn?1?2n?2

bn?1?bn?2?2n?3

22n?1? 33?，?

b2?b1?1

思维拓展

3m114、设数列{an}是等比数列，a1?C2m?3?Am?2，公

上式相加得

n?1?1 bn?b1?1?2?22???2n?2?2又b1?2

?bn?2n?1?1Tn?b1?b2???bn?(20?21????2n?1)?n?2n?1?n

比q是(x?14x2)4的展开式中的第二项（按x

的降幂排列）.

（1）用n，x表示通项an与前n项和Sn；

12nS1?CnS2???CnSn，用n，x （2）若An?Cn13、设数列?an?的首项a1?1，前n项和sn满足关

系式3tsn?(2t?3)sn?1?3t(t>0,n∈ N,n≥2)． (1)求证数列?an?是等比数列；

(2)设数列?an?的公比为f(t)，作数列{bn}， 使b1?1，bn?f(表示An.

3m1?a1?C2m?3?Am?2, 解析：（1）?2m?3?3m,?m?3,??即?m?2?1,??m?3.m?3.

1bn?1 )，(n∈ N,n≥2)，求bn．

由(x?14x21)4知T2?C4?x4?1?(14x2)?x.

7

?n(x?1),? ?an?xn?1,Sn??1?xn(x?1).?第五行 33 34 36 40 48

（i i）设a100?2s0?2t0，只须确定正整数s0,t0.

?1?x（2）当x=1时，Sn=n，

A123nn?Cn?2Cn?3Cn???nCn, ?AnCn?1n?2n?nCn?(n?1)n?(n?2)Cn???C1C0n?0?n,

?2A012nn?n(Cn?Cn?Cn???Cn),?A

n?n?2n?1n当x?1时,Sn?1?x1?x, 2nAx11?x21?x331?xn?1?1?xC?1?xCnnn?1?xCn???1?xCn?1[(C12?C3n1231?xn?Cnn???Cn)?(xCn?x2Cn?x3Cn???xnCnn)]?11?x[2n?1?(1?xC1n?x2C2n???xnCnn?1)]?11?x[2n?(1?x)n].?n?2n?1(x?A??1),n???2n?(1?x)n?1?x(x?1).15、（Ⅰ）设?an?是集合{2t?2s|0?s?t,且s,t?Z}

中所有的数从小到大排列成的数列，即a1?3,a2?5,a3?6,a4?9,a5?10,a6?12,?. 将数列{an}各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：

3 5 6 9 10 12

— — — —

— — — — — （i）写出这个三角形数表的第四行、第五行各数； （i i）求a100.

（Ⅱ）设?bs n?是集合{2r?2t?2|0?r?s?t, 且r,s,t?Z}中所有的数都是从小到大排列成

的数列，已知bk?1160,.求k。

解析：（Ⅰ）（i）第四行17 18 20 24

8

数列{an}中小于2t0的项构成的子集为

{2t?2s|0?s?t?t0},其元素个数

为C2tt?0(t0?1)t(t02,依题意00?1)2?100.满足等式的最大整数t0为14，所以取t0?14.

?100?C214?s0?1,由此解得s0?8,?a100?214?28?16640.

（Ⅱ）bk?1160?210?27?23,令

M?{c?B|C?1160}(其中,B?{2r?2s?2t|0?r?s?t}

M??c?B|c?210???c?B|210?c?210?27???c?B|210?27?c?210?27?23?

现在求M的元素个数：{c?B|c?210}?{2r?2s?2t|0?r?s?t?10},其元素个数为C310：

{c?B|210?c?210?27}?{210?2s?2r|0?r?s?7}.某元素个数为

C2107:{c?B|2?27?c?210?27?23}?{210?27?2r|0?r?3}

某元素个数为C73?C2210:k?C107?C3?1?145.

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