上海市杨浦区高三数学一模考卷及答案2024.12.29

杨浦区2011学年度高三学科测试

参考答案及评分标准

一．填空题（本大题满分56分） 2011.12.31 1. ?1；2. 理??2,1?，文?0,1?； 3. 理???,?1?，文???,0?；4. 12?；5. 理?14，文4；6.?2；7.理0，文1；8.理0.35，文0.30； 9. 80；10. f?x????x?2,x?1?2x,x?1 ；

?2?13??,5?；13. 理?log2,log2? ，文11.理 P在圆外，文1；12. 理??4,2?，文?35???2?13???4,2?； 14. 理49，文?log,log22??

?35?二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题 15. C ； 16. A ； 17. A ； 18.B；

三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题

19. 【解】 设异面直线PA与CD所成角的大小?， 底边长为a, 则依题意得

12?a?1?4 ??4分 3故a?23 ， ?AC?26 ?PA?1?2?6?2??7 ??7分

?CD∥AB，故直线PA与AB所成角的大小?为所求 ??9分

?cos??21721 ． ??12分 7

??arccos（其他解法,可根据上述【解】的评分标准给分） 20.理: （1）【解1】.

由m?n 得 m?n?0 ，故?2b?c?cosA?acosC?0, ??2分 由正弦定理得?2sinB?sinC?cosA?sinAcosC?0 ??4分

1

?2sinBcosA?sin?A?C??0 ??5分

?0?A??,sinB?0,cosA?1?,?A? ??7分 23【解2】. 由?2b?c?cosA?acosC?0，

余弦定理得?2b?c?b2?c2?a2a2?b2?c22bc?a2ab?0 整理得b2?c2?a2?bc， ?cosA?b2?c2?a22bc?12 ?0?A??,cosA?1?2,?A?3． （其他解法,可根据【解1】的评分标准给分） （2）?S?ABC?12bcsinA?334即

1?2bcsin333?4?bc?3又a2?b2?c2?2bccosA, ?b2?c2?6 故?b?c?2?0?b?c?3 所以，?ABC为等边三角形． 文:

【解1】. 由 ?2b?c?cosA?acoCs?0,

由正弦定理得?2sinB?sinC?cosA?sinAcoCs?0 ?2sinBcosA?sin?A?C??0 ?0?A??,sinB?0,cosA?12,?A??3． 【解2】. 由?2b?c?cosA?acoCs?0，

余弦定理得?2b?c?b2?c2?a2a2?b2?c22bc?a2ab?0 整理得b2?c2?a2?bc， ?cosA?b2?c2?a22bc?12 ?0?A??,cosA?12,?A??3． （其他解法,可根据【解1】的评分标准给分）

2

10分

??12分 ??14分

??4分

??5分 ??7分 ??21. （1）【解】

①（理）若f?x??x是“?函数”，则存在实数对?a,b?，使得f?a?x??f?a?x??b，

3即a2?x22??3?b时，对x?R恒成立 ??2分

2而x?a?3b最多有两个解，矛盾，

因此f?x??x不是“?函数” ??-3分

3 （文）若f?x??x是“?函数”，则存在实数对?a,b?，使得f?a?x??f?a?x??b， 即a2?x22???b时，对x?R恒成立 ??2分

2而x?a?b最多有两个解，矛盾，

因此f?x??x不是“?函数” ??3分② 答案不唯一：如取a?0,b?1，恒有20?x20?x?1对一切x都成立， ??5分

x即存在实数对?0,1?，使之成立，所以，f?x??2是“?函数”． ??6分 一般地：若f?x??2是“?函数”，则存在实数对?a,b?，使得2xa?x?2a?x?22a?b

即存在常数对a,2?2a?满足f?a?x??f?a?x??b，故f?x??2x是“?函数”．

x是一个“?函数” （2）解 函数f?x??tan设有序实数对?a,b?满足，则tan?a?x??tan?a?x??b恒成立 当a?k???2,k?Z时，tan?a?x??tan?a?x???cot2x，不是常数； ??8分

因此a?k???2,k?Z，当x?m???2,m?Z时，

tana?tanxtana?tanxtan2a?tan2x???b， ??10分 则有

1?tanatanx1?tanatanx1?tan2atan2x即btana?1tanx?(tana?b)?0恒成立，

?2?22??22??b?tana?1?0?tana?1?a?k??所以?????42b?1????tana?b?0?b?1当x?m??

k?Z ??13分

?2,m?Z,a?k???4时，tan?a?x??tan?a?x???cot?a??1

3

满足f?x??tanx是一个“?函数”的实数对?a,b???k??????,1?,k?Z 4? ??14分 22. 理:

（1）【解】由a1?1，an?1?f?an??3an331,a3?,a4? ??3分 得a2?5732an?3（2）【解】由an?1?3an112 得 ?? ??8分

2an?3an?1an3?1?2所以，??是首项为1，公差为的等差数列 ??9分

3?an?（3）【解】由（2）得

122n?13 ??-10分 ?1??n?1??,an?an332n?19?11????，当n?1时，上式同样成立， ??12分

2?2n?12n?1?当n?2时 ，bn?an?1an? 所以Sn?b1?b2?????bn?9?11111?9?1???1???????????1??

2?3352n?12n?1?2?2n?1?因为Sn?m?20129?1?m?2012?，所以?1?对一切n?N成立， ??14分 ??22?2n?1?2 又

9m?20129?1?1?9?， 1??，所以????1??随n递增，且limn??222n?122?2n?1???所以m?2021，?mmin?2021 ??16分

文:

2(1) 【解】. 由x?y得2p?1 所以 准线为y??1 ??3分 42(2) 【解】. 由x?y得2p?1 所以,焦点坐标为?0,??1?? ??4分 4?由A作准线y??1 的垂线,垂足为Q ,当且仅当三点P,A,Q共线时, 4 4

AP?AF的最小值，为6?125?, ??7分 44此时A点的坐标为?2,4? ??9分 (3)【解1】

设点M的坐标为?x,y?,BC边所在的方程为y?kx?1(k显然存在的), ① ??10分 又AM的斜率为

yyx,则有?k??1 ,既k??代入① ??14分

xxy故M点轨迹为y2?x2?y?0(x?0) (注:没写x?0扣1分) ??16分【解2】

设点M的坐标为?x,y?,由BC边所在的方程过定点N(0,1), ??10分

?AM?(x,y),MN?(?x,1?y) ??12分 ?AM?BC?0 ?AM?MN?0,

所以, ?x?x?y(1?y)?0, 既y2?x2?y?0(x?0) ??16分 (注:没写x?0扣1分) 23. 理:

2 (1) 【解】. 由x?y得2p?1 所以,焦点坐标为?0,??1?? ??3分 4?

(2) 【解1】设点M的坐标为?x,y?,BC边所在的方程为y?kx?b(k显然存在的),与抛物线x?y交于B?x1,y1?,C?x2,y2?

2?y?kx?b2则?得x?kx?b?0,x1?x2?k,x1x2??b ??5分 2?y?x又点B,C在抛物线?上,故有y1?x1,y2?x2, ?y1y2?x1x2?b2

2222?AB?AC?x1x2?y1y2??b?b2?0 b?1或b?0(舍)

5

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