北京交通大学信号与系统第四章典型例题(5)

定义信号x(t)的有效带宽，试确定该信号的有效带宽?B (rad/s)。 分析：

由时域计算信号的总能量E，由频域计算信号在有效带宽内的能量。 解：

信号的总能量为

??1 E?|x(t)|2dt?e?6tdt?

??061X(j?)?F[e?3tu(t)]?由于

3?j???所以信号的能量谱为

G(j?)?111 |X(j?)|2?2π32??22π信号x(t)在有效带宽?B内的能量为

????BBG(j?)d??BB12π????BB132??2d??arctan(?B/3)

3π根据本题有效带宽的定义，有

???G(j?)d?E?2arctan(?B/3)?0.95

π解上式方程，可得有效带宽为

?B?3tan(0.95π/2)?38.1186 (rad/s)

结论：

信号的有效带宽在信号分析和处理中具有重要的工程应用价值。对于能量信号，其有效带宽可以根据信号的能量谱来确定。由于连续非周期信号的Fourier变换满足Parseval能量守恒定理，因此信号的有效带宽具有清晰的物理意义。

【例4-2-26】计算抽样信号Sa(t)的能量E。 分析：

从时域计算，信号的能量为

????|Sa(t)|2dt，该积分不易算出。Sa(t)的频谱为矩形脉冲，

若利用Parseval能量守恒定理，从频域则很容易求得其能量。 解：

由常见信号的频谱，可得

X(j?)?F[Sa(t)]?πp2(?)

利用Parseval能量守恒定理，可得

E?12π????X(j?)d???212π?1?1π2d??π

结论：

根据Parseval能量守恒定理，从时域和频域计算信号的能量等价。因此，在需要计算信号能量时，可以根据信号的特性选择从时域或频域计算。

【例4-2-27】试利用Fourier变换的性质，计算下图所示信号x(t)的频谱函数X (j?)。

x(t)1t?2?1012

分析：

本题可以利用不同的基本信号和不同的Fourier变换性质。 解：

方法一：利用三角波信号的频谱和连续信号Fourier变换的线性特性 将信号x(t)表示为图(a)(b)所示三角波信号之差，即

x(t)?x1(t)?x2(t)

由常见信号的频谱，可得

X1(j?)?F[x1(t)]?4Sa2(?)，X2(j?)?F[x2(t)]?Sa2(0.5?)

利用连续信号Fourier变换的线性特性，可得

X(j?)?X1(j?)?X2(j?)?4Sa2(?)?Sa2(0.5?)

2x1(t)x2(t)1tt?2?1012?101

(a) (b)

方法二：利用矩形脉冲信号的频谱和连续信号Fourier变换的卷积特性 将信号x(t)表示为图(c)(d)所示不等宽矩形信号的卷积，即

x(t)?x1(t)*x2(t)

由常见信号的频谱，可得

X1(j?)?F[x1(t)]?3Sa(1.5?)，X2(j?)?F[x2(t)]?Sa(0.5?)

利用连续信号Fourier变换的卷积特性，可得

X(j?)?X1(j?)X2(j?)?3Sa(1.5?)Sa(0.5?)

x1(t)1t1tx2(t)?1.501.5?0.500.5

(c) (d)

方法三：利用矩形脉冲信号的频谱和连续信号Fourier变换的微分特性，可得

信号x(t)的导数x1(t) 如图(e)所示，可以用矩形脉冲表示为 x'(t)?x1(t)?p1(t?1.5)?p1(t?1.5) 利用矩形脉冲p1(t)的频谱，以及Fourier变换的时移特性，得

X1(j?)?ej1.5?Sa(0.5?)?e?j1.5?Sa(0.5?)?2jsin(1.5?)Sa(0.5?) 由于x(?)?0,x(??)?0，故利用微分特性可得

X(j?)2sin(1.5?)Sa(0.5?)?3Sa(1.5?)Sa(0.5?) X(j?)?1?j??

方法四：利用冲激信号的频谱和连续信号Fourier变换的微分特性

信号x(t)的二阶导数x2(t)如图(f)所示，可以用冲激信号表示为 x\(t)?x2(t)??(t?2)??(t?1)??(t?1)??(t?2) 利用冲激信号的频谱，以及Fourier变换的时移特性，得

X2(j?)?ej2??ej??e?j??e?j2??2cos(2?)?2cos(?)??4sin(1.5?)sin(0.5?) 由于x(?)?0,x(??)?0，故利用微分特性可得

X(j?)4sin(1.5?)sin(0.5?)?3Sa(1.5?)Sa(0.5?) X(j?)?22?2?(j?)x'(t)1t(1)12?2?10??1)1??1)x\(t)(1)2t?2?10

(e) (f)

结论：

在利用常用基本信号的频谱和Fourier变换的特性来分析任意信号的频谱时，方法不是唯一的，可以向本题一样选择不同的基本信号和不同的Fourier变换性质。但使用方法不同，计算频谱的繁简程度不同，如何最简便地计算出频谱，恰当地选择基本信号和Fourier变换的性质是关健。

【例4-2-28】试利用Fourier变换的性质，计算下图所示信号x(t)的频谱函数X (j?)。

x(t)1sin(?0t)0T0/2t

分析：

本题可以利用不同的基本信号和不同的Fourier变换性质。 解：

方法一：利用矩形脉冲信号的频谱和连续信号Fourier变换的频移特性 将信号x(t)表示为

jT)(e?j?0t?ej?0t) x(t)?sin(?0t)pT/2(t?T0/4)?pT0/2(t?240利用矩形脉冲的频谱，以及Fourier变换的时移特性，得

T0T0??jT4?F{pT/2(t?T0/4)}?Sa()e

24再利用Fourier变换的频移特性即得

000jT0?T0(???0)??jT(?4??)jT0?T0(???0)??jT(?4??) X(j?)?Sa?e?Sa?e??4444????0000T?T0??T0?π??T0?π???j4 ??Sa? ????Sa??4?2???e4??42?????0方法二：利用矩形脉冲信号的频谱和连续信号Fourier变换的乘积特性 将信号x(t)表示为

x(t)?sin(?0t)pT0/2(t?T0) 4利用矩形脉冲的频谱，以及Fourier变换的时移特性，得

F{sin(?0t)}??jπ[?(???0)??(???0)]

T0T0T0??j04F{pT0/2(t?)}?Sa()e

224再利用Fourier变换的乘积特性，可得

T1X(j?)?F{sin(?0t)}*F{pT0/2(t?0)}

2π4T?T0??T0?π??T0?π???j4 ??Sa? ???Sa????e????4??42?2???40T?方法三：利用冲激信号的频谱和连续信号Fourier变换的微分特性 将信号x(t)表示为

x(t)?sin(?0t)pT0/2(t?T0) 4T0) 4对信号x(t)求一阶导数和二阶导数，可得 即

2x'(t)??0cos(?0t)pT0/2(t?x\(t)???0sin(?0t)pT0/2(t?T0T)??0?(t)??0?(t?0) 42T2x\(t)???0x(t)??0?(t)??0?(t?0)

2?jTF{?(t?0)}?e2T0?2利用冲激信号的频谱，以及Fourier变换的时移特性，得

F{?(t)}?1,

再利用Fourier变换的微分特性，可得

(j?)2X(j?)???0X(j?)??0??0e整理后可得

2?jT0?2

X(j?)??0??0e2?jT0?22(j?)??0??0??0e2?jT0?2?0??2

结论：

在利用常用基本信号的频谱和Fourier变换的特性来分析任意信号的频谱时，方法不是唯一的，可以向本题一样选择不同的基本信号和不同的Fourier变换性质。但使用方法不同，计算频谱的繁简程度不同，如何最简便地计算出频谱，恰当地选择基本信号和Fourier变换的性质是关健。

【例4-2-29】已知信号x(t)的频谱X(j?)如下图所示，试求信号x(t)。

X(j?)21?2?112?

分析：

X(j?)可以表示为两个矩形波之和，由于抽样信号的频谱是矩形波，故利用抽样信号的

频谱和Fourier变换的线性特性即可计算。 解：

将频谱分解成两个矩形波之和

X(j?)?p4(?)?p2(?)

由抽样信号的频谱，有

FSa(?0t)???π?0p2?(?)

0分别令?0?2和?0?1，并利用Fourier变换的线性特性，可得

x(t)?21Sa(2t)?Sa(t) ππ结论：

由连续信号的频谱计算其时域表示式，采用的方法与信号频谱的计算方法相同，都是利用常见信号的频谱和Fourier变换的性质计算。因此，熟练掌握常见信号的频谱，灵活应用Fourier变换的性质是解题的关键。

【例4-2-30】已知信号的幅度谱和相位谱如下图示，试求信号x(t)。

X(j?)1?(j?)?????6?5?40456?0

分析： X(j?)可以看成纵轴对称矩形波p2(?)分别向左、右平移5，先利用Fourier变换的调

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