2024年江苏省南通市高考数学模拟试卷(四)(4)

18．（16分）（2016?南通模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B分别是椭圆：+y=1

2

的左、右顶点，P（2，t）（t∈R，且t≠0）为直线x=2上一动点，过点P任意引一直线l与椭圆交于C、D，连结PO，直线PO分别和AC、AD连线交于E、F． （1）当直线l恰好经过椭圆右焦点和上顶点时，求t的值； （2）若t=﹣1，记直线AC、AD的斜率分别为k1，k2，求证：（3）求证：四边形AFBE为平行四边形．

+

定值；

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题． 【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．

【分析】（1）由题意得l：y=﹣x+1，由此能求出t的值．

（2）直线AC：y=k（，与1x+2）

联立得C：，同理得D：，

由此能证明=﹣4（定值）．

（3）要证四边形AFBE为平行四边形，即只需证E、F的中点即点O． 【解答】（1）解：由题意：椭圆：右焦点E（﹣所以l：y=﹣

，0）， x+1，

．…（2分）

联立

+y=1上顶点C（0，1），

2

令x=2，得t=1﹣

（2）证明：直线AC：y=k1（x+2），与

得C：，同理得D：，…（4分）

第16页（共26页）

由C，D，P三点共线得：kCP=kDP，得

=﹣4（定值）．…（8分）

（3）证明：要证四边形AFBE为平行四边形，即只需证E、F的中点即点O， 设点P（2，t），则OP：y=x，

分别与直线AC：y=k1（x+2）与AD：y=k2（x+2）联立得： xE=

，xF=

，下证：xE+xF=0，即

+

=0

化简得：t（k1+k2）﹣4k1k2=0…（12分）

由（2）知C：，D：，

由C，D，P三点共线得：kCP=kDP，

得t（k1+k2）﹣4k1k2=0，

所以四边形AFBE为平行四边形．…（16分）

19．（16分）（2016?南通模拟）已知数列{an}，{bn}满足：对于任意的正整数n，当n≥2时，22

an+bnan﹣1=2n+1． （1）若bn=（﹣1），求

n

的值；

（2）若数列{an}的各项均为正数，且a1=2，bn=﹣1．设Sn=，Tn=

，

试比较Sn与Tn的大小，并说明理由．

【考点】数列递推式；数列与函数的综合．

【专题】综合题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．

22222222

【分析】（1）根据数列的递推关系时，即可得到a2+a1=5，a4+a3=9，a6+a5=13，…a18+a17=37，累加即可，

（2）根据数列的递推关系求出an=n+1，n∈N，再分别表示出Sn与Tn，分别计算它们的平

方，n=1，2，3，4，5，6，当n≥6时，构造数列cn=

，利用换元法和作差法得到数列

{cn}为递增数列，问题得以解决．

22222222

【解答】解：（1）由题意可得a2+a1=5，a4+a3=9，a6+a5=13，…a18+a17=37， 将上面的式子相加得到

2

2

=5+9+13+…+37=189，

（2）∵an+bnan﹣1=2n+1，a1=2，bn=﹣1

22

∴an﹣an﹣1=2n+1，n≥2，

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∴a2﹣a1=5，a3﹣a2=7，a4﹣a3=9，an﹣an﹣1=2n+1， 将上面的式子相加得到an﹣a1=∴an=（n+1），n≥2，

∵数列{an}的各项均为正数， ∴an=n+1，

当n=1时，也成立， ∴an=n+1，n∈N， ∴Sn=

=2﹣1，Tn=

n*

2

2

2

2

22222222

，

=，

下面比较Sn与Tn的大小， 取n=1，2，3，4，5，6，

222222222222∴S1＜T1，S2＞T2，S3＞T3，S4＞T4，S5＞T5，S6＜T6， 当n≥6时，令cn=

，

则

n

=

设2=t≥64，

n2n+12222

则（n+2）（2﹣1）﹣（2﹣1）=8（t﹣1）﹣（2t﹣1）=4t﹣12t+7＞0 ∴当n≥6时，数列{cn}为递增数列， ∴cn≥c6=

＞1，

2

2

∴n≥6时，Sn＜Tn，

综上所述：当n=2，3，4，5时，Sn＞Tn，当n=1，n≥6时，Sn＜Tn．

20．（16分）（2016?南通模拟）已知函数f（x）=x，g（x）=alnx．

（1）若曲线y=f（x）﹣g（x）在x=1处的切线的方程为6x﹣2y﹣5=0，求实数a的值； （2）设h（x）=f（x）+g（x），若对任意两个不等的正数x1，x2，都有2恒成立，求实数a的取值范围；

（3）若在[1，e]上存在一点x0，使得f′（x0）+

＜g（x0）﹣g′（x0）成立，求实

＞

2

数a的取值范围．

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用． 【专题】分类讨论；分析法；导数的综合应用；不等式的解法及应用． 【分析】（1）求出函数y的导数，可得切线的斜率，由切线方程可得a的方程，解得a即可；

第18页（共26页）

（2）由题意可得即为＞0，令m（x）=h（x）﹣2x，可

得m（x）在（0，+∞）递增，求出导数，令导数大于等于0，分离参数a，由二次函数的最值，即可得到a的范围； （3）原不等式等价于x0+

＜alnx0﹣

，整理得x0﹣alnx0+

＜0，设m（x）=x﹣alnx+

，求得它的导数m'（x），然后分a≤0、0＜a≤e﹣1和a＞e﹣1三种情况加以讨论，分别解关于a的不等式得到a的取值，最后综上所述可得实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（

，+∞）．

2

【解答】解：（1）y=f（x）﹣g（x）=x﹣alnx的导数为x﹣， 曲线y=f（x）﹣g（x）在x=1处的切线斜率为k=1﹣a， 由切线的方程为6x﹣2y﹣5=0，可得1﹣a=3， 解得a=﹣2；

（2）h（x）=f（x）+g（x）=x+alnx，

2

对任意两个不等的正数x1，x2，都有

＞2恒成立，即为

＞0，

令m（x）=h（x）﹣2x，可得m（x）在（0，+∞）递增， 由m′（x）=h′（x）﹣2=x+﹣2≥0恒成立，

可得a≥x（2﹣x）的最大值，由x（2﹣x）=﹣（x﹣1）+1可得最大值1， 则a≥1，即a的取值范围是[1，+∞）； （3）不等式f′（x0）+整理得x0﹣alnx0+

＜g（x0）﹣g′（x0）等价于x0+

＜0，设m（x）=x﹣alnx+

，

＜alnx0﹣

，

2

则由题意可知只需在[1，e]上存在一点x0，使得m（x0）＜0． 对m（x）求导数，得m′（x）=1﹣﹣

=

=

，

因为x＞0，所以x+1＞0，令x﹣1﹣a=0，得x=1+a．

①若1+a≤1，即a≤0时，令m（1）=2+a＜0，解得a＜﹣2．

②若1＜1+a≤e，即0＜a≤e﹣1时，m（x）在1+a处取得最小值， 令m（1+a）=1+a﹣aln（1+a）+1＜0，即1+a+1＜aln（1+a），

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可得考察式子

＜ln（a+1）

＜lnt，因为1＜t≤e，可得左端大于1，而右端小于1，所以不等式不能成立

③当1+a＞e，即a＞e﹣1时，m（x）在[1，e]上单调递减，只需m（e）＜0，得a＞，

又因为e﹣1﹣=＜0，则a＞．

综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）．

[选修4-1：几何证明选讲]（任选两个） 21．（10分）（2016?南通模拟）在圆O中，AB，CD是互相平行的两条弦，直线AE与圆O

2

相切于点A，且与CD的延长线交于点E，求证：AD=AB?ED．

【考点】与圆有关的比例线段． 【专题】选作题；推理和证明．

2

【分析】连接BD，证明△EAD∽△DBA．即可证明AD=AB?ED． 【解答】证明：连接BD，

因为直线AE与圆O相切，所以∠EAD=∠ABD．…（4分） 又因为AB∥CD，所以∠BAD=∠ADE，

所以△EAD∽△DBA． …（8分）

从而=，所以AD=AB?ED． …（10分）

2

[选修4-2：矩阵与变换]

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