2024届六校第一次联考数学（理科）(3)

又因为

(k?1)[(k?1)?1]2?2?[k(k?1)?4]??k2?k?22?0 ∴

(k?1)[(k?1)?1]?2?k(k?1)?4?2k?12

∴n?k?1时，不等式

n(n?1)2?2?2n成立 综合（1）和（2），对?n?N*，且n?4不等式n(n?1)2?2?2n成立 ∴当n?4时，af(2)?f(3)?????f(n)?n(n?1)2?2n?2 …………………………14分 证法三：∵n?4时，

n(n?1)2?2n?2?n(n?1)2?2n?2?0 构造函数h(x)?x(x?1)2?2x?2,x?[4,??) h?(x)?x?2xln2?12 [h?(x)?]?h??(x?)?1x22l n2∴当x?[4,??)时，h??(x)?1?2xln22?0 ∴h?(x)?x?2xln2在区间[4,??)是减函数， ∴

当

x?[?时

h?(??x?x)12????x2??992???l? hn2∴h(x)?x(x?1)2?2x?2在区间[4,??)是减函数， x?[4,??)时，h(x)?x(x?1)2?2x?2?h(4)?4?52?24?2??4?0 n?4时，n(n?1)?2nn(n?1)2?2?0，即

2?2n?2 ∴当n?4时，af(2)?f(3)?????f(n)?n(n?1)2?2n?2 …………………………14分?，

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