山师附中2024级高三第一次模拟数学试题理科(2)

∴n1=（1,-2,-2）.??????9分

又NB?平面ABCD，∴NB?DC，BC?DC，∴DC?平面BNC，∴平面BNC的法向量为n2=DC=（0,2,0），??????11分 设所求锐二面角为?，则cos??n1?n2n1?n2?42?.??????12分 3?2318、解：（Ⅰ）记“该同学能正确回答第i轮的问题”的事件为Ai(i?1，2，3)， 则P(A1)?4，P(A2)?3，P(A3)?2，??????3分

555∴该同学被淘汰的概率P?P(A1?A1A2?A2A2A3)?P(A1)?P(A1)P(A2)?P(A1)P(A2)P(A3)

?142433101．????????６分 ??????555555125（Ⅱ）?的可能值为1,2,3，P(??1)?P(A1)?1，P(??2)?P(A1A2)?P(A1)P(A2)?4?2?8，

552554312．??????8分

P(??3)?P(A1A2)?P(A1)P(A2)???5525∴?的分布列为

? P 1 2 3 1 5158 2512 25 ????????１０分 ∴E??1??2?81257?3??????????１２分 252525*219、解：（Ⅰ）∵n?N时，an?2Sn?an，?????① 2当n?2时，an?1?2Sn?1?an?1，??????②??????2分

22由①－②得，an?an?1?(2Sn?an)?(2Sn?1?an?1)

22即an?an?1?an?an?1，∵an?an?1?0 ∴an?an?1?1(n?2)，??????4分 2由已知得，当n?1时，a1?2S1?a1，∴a1?1.??????５分

故数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列.∴an?n(n?N). ????６分 （Ⅱ）∵an?n(n?N)，∴bn?3?(?1)∴bn?1?bn?3n?1**nn?1??2n,????7分

?3n?(?1)n??2n?1?(?1)n?1??2n?2?3n?3??(?1)n?1?2n.

6

3???()n?1. ????８分

23n?13(1)当n为奇数时,即??()恒成立.又()n?1的最小值为1,∴??1. ??9分

223n?1333(2)当n为偶数时,即???()恒成立.又?()n?1的最大值为?,∴????１０分

22223∴由(1),(2)得????1,又??0且?为整数,????????１１分

2要使得bn?1?bn恒成立,只须(?1)n?1*∴???1对所有的n?N,都有bn?1?bn成立. ??????１２分

20、解：（Ⅰ）由题意，椭圆的长轴长2a?4，得a?2，????2分 ∵点?1,19?3?2?在椭圆上，∴?2?1得b?3，????４分

44b?2?x2y2??1.??????6分 ∴椭圆的方程为43（Ⅱ）由直线l与圆O相切，得

m1?k2?1，即m2?1?k2，设A?x1,y1?,B?x2,y2?，由

?x2y2?1,??222消去y，整理得3?4kx?8kmx?4m?12?0,??????8分 3?4?y?kx?m,???由题意可知圆O在椭圆内，所以直线必与椭圆相交，∴

8km4m2?12x1?x2??,x1?x2?3?4k23?4k2.

y1?y2??kx1?m??kx2?m??k2x1?x2?km?x1?x2??m24m2?123m2?12k2?8km?2?k??km???m?.22?23?4k3?4k?3?4k?2????10分

4m2?123m2?12k27m2?12k2?12??,??????11分 ∴x1?x2?y1y2?2223?4k3?4k3?4k?5?5k2∵m?1?k，∴x1?x2?y1y2?.??????１2分

3?4k22232?5?5k2312???∵OA?OB??，∴，，得k的值为.????13分 k?2223?4k2221、解：（Ⅰ）将x??1代入切线方程得y??2， ∴f(?1)?b?a??2，????２分 1?1 7

a(x2?1)?(ax?b)?2x化简得b?a??4. f?(x)?，?????４分22(1?x)2a?2(b?a)2bb????1，

4422x?2解得：a?2,b??2.∴f(x)?2. ????６分

x?12x?2（Ⅱ）由已知得lnx?2在[1,??)上恒成立，

x?1f?(?1)?化简(x2?1)lnx?2x?2，即xlnx?lnx?2x?2?0在[1,??)上恒成立.????７分 设h(x)?x2lnx?lnx?2x?2，h?(x)?2xlnx?x?∵x?1 ∴2xlnx?0,21?2， ????８分 xx?1?2，即h?(x)?0，????９分 x∴h(x)在[1,??)上单调递增，h(x)?h(1)?0，∴g(x)?f(x)在x?[1,??)上恒成立 .????１０分

b2?2bb（Ⅲ）∵0?a?b， ∴?1，由（Ⅱ）知有ln?a， ??12分

a(b)2?1aalnb?lna2alnb?lna2a0?a?b整理得，∴当时，. ????14分 ?2?222b?ab?aa?ba?b

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