第3章 交流电路

第3章 交流电路

交流电路中的电流（或电压）是随时间变化的。而随时间按正弦规律变化的交变电流（或电压）是工程技术中应用最广泛的一种，也是交变信号中最基本的信号。本章重点研究正弦交流电路。它的电压变换容易，输送和分配方便，其供电性能好，效率高；交流电器结构简单、价格便宜、维修方便；从计算与分析的角度考虑，正弦周期函数是最简单的周期函数,测量与计算也比较容易，是分析一切非正弦周期函数的基础。

正弦交流电路是电工技术中极其重要的一部分，也是重点和难点较为集中的一章。基本概念中的相位及相位差。电阻、电感和电容在交流电路中的不同响应及其频率特性等均应很好地掌握。其独特的相量分析方法又是分析三相交流电路的基础，也是交流电机、变压器及电子技术的重要理论基础。

3.1 正弦交流量及其表示

3.1.1 正弦交流电的基本概念

1．正弦交流量的正方向 正弦交流电路中的电压、电流及电动势，其大小和方向均随时间变化，其数学表达式为：

e?Emsin??t??e?v?Vmsin??t??v? （3-1） i?Imsin??t??i?以v为例，其波形图如图3-1所示。在0~t1时间内若其实际正方向与参考方向（箭头所标）相同，则在t1~t2时间内，其实际正方

v V向v?与参考正方向相反。因此，在分析交 流电路时，不同瞬时交流量的比较是没有 意义的。这也是其区别于直流电的基本特征。 t

t2 T t1 0 2．正弦交流电的三要素

式（3-1）是正弦交流量的瞬时值 表达式，其中Em、Vm、Im称为正弦量

v v′ R v R 的最大值或幅值；ω称为角频率；ψe、 ψv、ψi 称为初相位。如果已知幅值， 角频率和初相位，则上述正弦量就能唯 图3-1 正弦量的波形与正方向 一地确定，所以称它们为正弦量的三要 素。

（1）最大值、瞬时值、有效值

最大值是反映正弦量变化幅度的，又称幅值或峰值，规定用大写字母加下标m表示，即Em、Im、Vm.

瞬时值是正弦量任一时刻的值，规定用小写字母表示，分别为e、v、i. 而我们平常所说的电压高低、电流大小或用电器上的标称电压或电流指的是有效值。有

效值是由交流电在电路中作功的效果来定义的。叙述为：交流电流i通过电阻R在一个周期T内产生的热量与直流电流I通过R在时间T内产生的热量相等时，这个直流电流I的数值称为交流电流的有效值。数学表达为：

I2RT??i2Rdt

0T则有效值表达式为： I?1T?T0 i2dt （3-2）

将（3-1）式的正弦量代入（3-2）式可得：

I?V?Im2 Vm （3-3）

22 E?Em

可见，正弦交流量的最大值是其有效值的2倍，通常所说的交流电压220V是指有效值，其最大值约为311V。

（2）周期、频率、角频率

反映交流电变化快慢的物理量是频率f（或周期T）。即交流电每秒钟变化的次数，单位为赫兹（Hz）。而周期为其交变一次所需的时间，单位为秒（S）。它们互为倒数的关系。目前世界各国电力系统的供电频率有50Hz和60Hz两种，这种频率称为工业频率，简称工频。不同技术领域中的频率要求是不一样的。有的高达数千兆赫兹，称为高频交流信号。

而正弦交流量表达式中反映交流电变化快慢的特征量是角频率ω，一般正弦波形图中的横轴常用ωt表示（如图3-2所示）可见ωT=2π 则 ??2? ?2?f （3-4）

Tv 角频率的单位是弧度/秒（rad/s），它的 含义是正弦量每秒变化的弧度数，或2π秒 内交流量变化的周期数。它同样可以反映

(t) (T) 正弦量变化的快慢。（在交流发电机中，ω

2π 0′ 0 ωt

又与发电机转动的角速度相联系。）

Ψv （3）相位、初相位与相位差

任一瞬时的角度（ωt+ψ）称为正弦量

的相位角或相位，它与交流量的瞬时值相联系。

图3-2 角频率与初相位的示意图

t=0时的相位角ψ叫初相位角或初相位， 它是正弦量初始值大小的标志。如：

v0?Vmsin?v

事实上，初相位的大小与我们讨论它时所取的计时起点有关，如果将图（3-2）中的计时起点左移到图中虚线处，则初相ψv=0。当然，初相位不同，其起始值也就不同。

在一个正弦电路中，存在有两个以上的正弦信号时，一般不是同时达到最大值或零值的，即它们之间存在着不同相位的问题。相位差是用来描述它们之间的先后关系的。如：

v?Vmsin??t??v?i?Imsin??t??i?

则它们的相位差为：

????t??v????t??i???v??i （3-5） 可见，同频正弦量的相位差也就是其初相位之差。

同频正弦量的相位差?一般有以下三种情况。

① ???V??i?0（小于180°）即ψv>ψi ，这种情况为先v后i，称作v领先，i滞后，如图3-3（a）所示。（也可以哪个量先到最大值为参考来判别先后）

② ?=ψv-ψi=0 即ψv=ψi，称为同相位，同相位时两个正弦量同时增，同时减，同时到最大值，同时过零，如图3-3（b）所示。

③ ???v??i??? 称为反相位，如图3-3（c）所示。

0 φ Ψi Ψv v i i ωt

v v i ωt

ωt

0 0 (a) (b) (c)

图3-3 同频正弦量的相位差

需要说明的是，虽然几个同频正弦量的相位都在随时间不停地变化，但它们之间的相位差不变，且与计时起点的选择无关。正是由于相位差的存在，使得交流电路中出现许多新的物理现象；同时也因相位差的存在使得交流电路问题的分析和计算要比直流电路复杂，但内容更丰富。

正弦交流电路中为什么会出现相位差，相位差的大小与哪些因素有关，将是我们要讨论的重要内容。

3.1.2 正弦量的相量表示法

用三角函数式或波形图来表达正弦量是最基本的表示方法，但要用其进行电路分析与计算却是比较烦难的。由于在正弦交流电路中一般使用的都是同频正弦量，所以我们常用下面所述的相量图或相量表示式（复数符号法）进行分析与计算。这是电路理论中的基本表示法。

1． 相量图

相量图是能够确切表达正弦量三要素的简捷图示法。可以由复平面内长为幅值以角速度ω旋转的矢量来表示，如，正弦电压v?Vmsin??t??V?便可为图3-4（a）的旋转矢量。此矢量大小为Vm，以角速度ω在复平面内旋转时，任意时刻其矢端的纵坐标值与正弦波的瞬时值对应，其与实轴的夹角即相位角ωt+ψv，为与空间矢量区别，我们约定用大写字母头上

? 加“·”表示。如图中的Vm

+j Vm v ?mVωt1 0 Ψv +1 Ψv 0 ωt1 ωt

图3-4 正弦量的相量图表示法

应用相量图分析正弦电压、电流问题时，由于这些正弦量的频率相同，（即矢量的旋转速度相同），因而它们之间的相对位置在任何瞬间均不会改变。所以在分析时，只需将它们当作不动量来处理。这样不会影响分析的结果。此外，工程计算中多用其有效值衡量大小，故只需用有效值相量表示即可。如：

v1?Vm1sin??t??1? v2?Vm2sin??t??2?

则其相量图可简作图3-5（a）所示，其中V1?Vm12、V2=

Vm22。若求电压v=v1+v2，则其便

?、V?构成的平行四边形的对角线。 为由V12如图3-5（b）所示。显见，这样便可较方便地定出其和相量的有效值与初相位角。且

??V??V? （3-6） 可表示为： V12当然，由相量图的计算结果变为 正弦量，只需将其值乘以2，加上 旋转因子ωt便为其确切的正弦表达， 即： v??2V?1V?1VΨ1 Ψ2 Ψ ?V?2Vφ Ψ1 Ψ2 2Vsi??nt???

图3-5 同频率正弦量的相量图与相量和

2. 相量表达式（复数符号法）

用画相量图的方法可以清楚地表示所讨论的各正弦量间的相互关系，也可通过作相量图求得所需结果，但在实际使时由于作图精度的限制，特别是分析复杂电路时还是比较困难的。而相量的数学表达——复数符号法才是分析交流电路的一般方法。

??V?ej(?t??v) 若将图3-4（a）中的相量用复数表示，则Vmm 根据欧拉公式：

Vmej??t??v??Vmcos??t??v??jVmsin??t??v? （3-7）

显见其虚部恰为我们所研究的正弦量。即

v?Vmsin??t??v??ImVmej??t??v? （3-8）

对于同频正弦量，ωt可免写，则其有效值相量可简作：

??

??Vej?v?V??Vv??Iej?i?I?? （3-9）同理： I i??Eej?e?E??Ee这种表示叫相量的极坐标表示法。需要说明的是只在电路与电工类书籍中这样表达。并

且，只有用复数表示的正弦量才叫相量，用复数表示的其它量不能叫相量。

借助于相量的复数表示，结合相量图，同频正弦量的分析与计算可以一步求得其大小（幅值）与初相位（辐角），方便多了。

当然，求得其大小与相位角后，也还需将其再写作正弦形式。亦即取虚部、乘以2、加上旋转因子ωt。

例3-1：已知i1?82sin??t?60??(A) ， i2?62sin??t?30??(A)， 求： i=i1+i2。 解（1）：将其写作有效值相量，用复数计算。

????8?60??8cos60??j8sin60??8?1?j3? I1?22???????6??30??6?cos??30???jsin??30????6?3?j1? I2?22???

??????I??I??8?1?j3??6?3?j1??9.196?j3.928?10?23.1?（A） 则 I12?2?2???2?2??可得：i?102sin??t?23?1??A 解（2）：借助于相量图

22?I2?10A 如图3-6所示。显见 I?I1??Im?I3?928??arctg?arctg?23?1?

??9?196Re?I+j ?1I?I??10?23?1（A） 则 I i?102sin??t?23?1??（A）

实用中，若只求其大小（一般为有效值），

则用相量法更简捷，更直观。也无需再写出其 瞬时值表达式。

0 8A 60? 30? 6A Ψ +1 ?2I图3-6 例3-1 相量图

3.2 交流电路的分析与计算

3.2.1 单一参数的交流电路

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