福建省龙岩市2024年高中毕业班5月教学质量检查数学（理）试题(2)

方程f(x)?3在(0,??)的解从小到大依次排列构成首项为公差为

?， 6???(3n?2)?的等差数列∴an??(n?1)?. ………………6分

62623(3n?2)????（Ⅱ）bn? …………………8分 2(4n?1)(3n?2)62(2n?1)(2n?1)111?(?)?， ……………………………………………10分 42n?12n?1??11111??1n?. Sn??(1?)?(?)??(?)??(1?)?4?3352n?12n?1?42n?14n?2………………………13分

18.（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）∵AB//CD，?ABC?90?，CD?2AB?4

又AE//BC交CD于点E.

∴四边形ABCE是边长为2的正方形 ………………………1分 ∴AC?BE，DE?AE. 又∵平面ADE?平面ABCE

平面ABCE?AE

∴DE?平面ABCE ………………………3分 ∵AC?平面ABCE，∴AC?DE ……………………4分 又DE?BE?E

∴AC?平面DBE ………………………5分 ∵AC?平面DAC

∴平面DAC?平面DEB ………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知DE?平面ABCE，AE?EC

以E为原点，EA,EC,ED的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标

系. ………………………7分

则A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(0,0,2)

设EH?x，则GH?DH?2?x（0?x?2）

∵AB//CE，∴AB?面DAE …………………8分

平面ADE111S?GHE?AB?[x(2?x)]?2 33211?(?x2?2x)?[?(x?1)2?1] ………………………9分 33∵0?x?2，∴x?1时，三棱锥B?GHE体积最大，此时，H为ED中点.

∴VB?GHE?∵GH//AE，∴G也是AD的中点，∴G(1,0,1)，BG?(?1,?2,1).…10分 设n?(x,y,z)是面BCD的法向量.

??n?BC?(x,y,z)?(?2,0,0)??2x?0则? ??n?DC?(x,y,z)?(0,2,?2)?2y?2z?0令y?1，得n?(0,1,1) ………………………11分

·6·

设BG与面BCD所成角为? 则sin??|BG?n||0?2?1|3 ??6|BG||n|623. ………………………13分 6(x?2)2?y2， …………2分

∴BG与平面BCD所成角的正弦值为19.（本小题满分13分）

22解：（Ⅰ）设Q(x,y)，根据题意得|x|?2?整理得y2?4x，所以动圆圆心Q的轨迹C的方程是y2?4x. ………4分

（Ⅱ）设存在符合题意的定点G.

设直线的方程为x?ny?m(n?0且n?R)，则G(m,0). …………5分

将x?m?ny代入y2?4x，整理得y2?4ny?4m?0. 由题意得??16n?16m?0，即n?m?0.

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则y1?y2?4n，y1?y2??4m，

22y1?1y?14(y1?1)4(y2?1)?1?，， k?PBx1?2y12y12?8y22?8?2411kPG???，

?2?mm?2由题意得kPA?kPB?2kPG，即kPA?kPB?2kPG?0,

2(y1?1)2(y2?1)1所以???0， ……………………7分

y12?8y22?8m?2kPA?即2(m?2)y1y2(y1?y2)?16(m?2)(y1?y2)?2[(y1?y2)2?2y1y2](2?m)?(y1y2)2?32m?0

……………9分

把y1?y2?4n，y1?y2??4m代入上式，

整理得(m?2)n?(m?2)(2?m)， ………11分

?(m?2)(2?m)?0，解得m?2

?m?2?0所以存在符合题意的定点G，且点G的坐标为(2,0). …………………13分

又因为n?R，所以?20.（本小题满分14分）

xx解：（Ⅰ）f?(x)?e(sinx?cosx)?e(cosx?sinx)=2ecosx，

x又曲线y?f(x)在(0,f(0))处的切线过点(1,2),得f?(0)?f(0)?2， …3分

0?1即2?1?a，解得a??1 …………………………………………4分

?（Ⅱ）存在实数x1，x2?[0,?]，使得g(x2)?f(x1)?13?e2成立，

?即g(x)min?f(x)max?13?e2 ………………………………5分 由（Ⅰ）知f?(x)?2ecosx?0在x?[0,?]上的解为x?

x?2

，

·7·

（0,函数f(x)在

?) 上递增，在(,?）上递减

22??f(x)max?f()?e2?a …………………………………7分 22又a?a?10?0恒成立，g(x)?(a2?a?10)ex在[0,?]上递增，

?g(x)min?g(0)?a2?a?10， ……………………………8分

?22?2故a?a?10?e?a?13?e2，得a?2a?3?0，

所以实数a的取值范围是(?1,3) ………………………………9分

b(1?e2)g(x)1（Ⅲ）由?(x)?2??1?lnx?0 (x?0)得 2(a?a?10)xexb(1?e2)ex1b(1?e2)ex??1?lnx?0，化为?1?x?xlnx， ……10分

xe2xe2令h(x)?1?x?xlnx，则h?(x)??2?lnx

?2由h?(x)??2?lnx?0，得x?e，

11故h(x)在(0,2)上递增，在(2,??)上递减，

ee11h(x)max?h(2)?1?2. …………………………………………12分

eeb(1?e2)ex1x?b(1?)e， 再令t(x)?e2e21x因为b?1，所以函数t(x)?b(1?2)e在(0,??)上递增，

e111t(x)?t(0)?b(1?2)e0?b(1?2)?1?2. …………………………13分

eee知t(x)?h(x)max，由此判断函数?(x)在(0,??)上没有零点，

故?(x)零点个数为0. ………………14分

21.（本小题满分14分） 解：（1）（Ⅰ）M???0?1??， ……………………………2分

?10??20?N???. ……………………………3分

03???0?2?（Ⅱ）NM???, ……………………………………4分

?30??0?2??x??x'???2y?x'由?, ……………………………5分 ??????得?30yy'3x?y'???????由题意得y'?x'得3x??2y，所以直线l的方程为3x?2y?0. ……7分

?（2）（Ⅰ）由?cos(??)?22得x?y?4?0， ………………2分

4·8·

?直线l的直角坐标方程为x?y?4?0. ………………………3分

（Ⅱ）设M(2cos?,5sin?)，M到l的距离为d,

|2cos??5sin??4||2cos??5sin??4|4?3cos(???) ??22225其中cos??,sin??, ………………………5分

332当cos(???)?1时，d有最小值, 22. ……………7分 ?M到直线l的距离的最小值为2（3）（Ⅰ）由f(x)?0?x?2?3??3?x?2?3??1?x?5， ………2分

所以x的取值范围是(?1,5). ……………………………3分

则d?（Ⅱ）由（Ⅰ）知g(x)?3x?4?46?x,

[:]由柯西不等式(32?42)[(x?4)2?(6?x)2]?(3x?4?46?x)2

………………5分 所以g(x)?250?510. 当且仅当

欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org 2x?46?x即x??时，g(x)取最大值510. ……7分 ?534·9·

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