2024年高考数学总复习教案：第十章 算法、统计与概率第5课时 古

一折网 ?对应学生用书（文）155～156页?

第十章 算法、统计与概率第5课时 古典概型(2) ??

? （理）161～162页?

考情分析 考点新知 代数中函数、三角、方程、不等式、向量、复数、数列、导数，几何中的平面图形、空① 理解古典概型的特征以及能用枚举法解间图形的概念及其位置关系等知识，都是与决古典概型的概率问题. 概率问题有机组合命题的素材，近年来高考、② 概率与代数、几何等其他数学知识的交模考中这种交汇、综合题频频出现．这些问汇、融合，涵盖了概率与相关数学内容的双题的主旨是以代数或几何知识为背景，概率重知识，孕育着确定与非确定两种思想. 为核心．

1. (必修3P104习题5改编)在两个袋中都装有写着数字0，1，2，3，4，5的六张卡片，若从每个袋中任取一张卡片，则取出的两张卡片上数字之和大于7的概率为__________．

1答案： 6

解析：基本事件总数为36个．其中和等于8的有3＋5＝5＋3＝4＋4，共3个；和等于9的有4＋5＝5＋4，共2个；和等于10的有5＋5，只有1个．故取出的两张卡片上数字之3＋2＋11

和大于7的概率为P＝＝.

366

2. (必修3P100例1改编)一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的5个球，同时选取两

个球，则两个球上的数字为相邻整数的概率为____________．

2答案： 5

解析：从5个球中同时选取2个球的基本事件总数有{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{3，4}，{3，5}，{4，5}，共10个．记“两个球上的数字为相邻整数”为事件A，则事件A中含有4个基本事件：{1，2}，{2，3}，{3，4}，{4，5}．所42

以P(A)＝＝. 105

3. (必修3P104习题6改编)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各参加其中一个小组，且他们参加各个兴趣小组是等可能的，则甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率为________．

1答案： 3

解析：利用树状图可知基本事件总数为3×3＝9，其中甲、乙两位同学参加同一个兴趣

作文录

一折网 31

小组的有3种，故所求的概率为＝.

93

4. (2013·泰兴调研)投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m、n，设a＝(m，n)，则满足|a|<5的概率为________．

13答案： 36

解析：由题意，基本事件总共有6×6＝36个，其中满足|a|<5，即满足m2＋n2<25的有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，13

(4，1)，(4，2)共13个，故所求的概率为. 36

5. (必修3P112复习题8改编)设集合A＝{1，2}，B＝{1，2，3}，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P(a，b)，记“点P(a，b)落在直线x＋y＝n上”为事件Cn(2≤n≤5，n∈N)，若事件Cn的概率最大，则n的所有可能值为________．

答案：3和4

1

解析：P(a，b)的个数为6个．落在直线x＋y＝2上的概率P(C2)＝，落在直线x＋y＝3

622

上的概率P(C3)＝，落在直线x＋y＝4上的概率P(C4)＝，落在直线x＋y＝5上的概率P(C5)

661

＝. 6

1. 概率的取值范围为0≤P(A)≤1.当A是必然发生的事件时，P(A)＝1；当A是不可能发生的事件时，P(A)＝0；当A是随机事件时，0

m

2. 利用P(A)＝计算古典概型的概率时，关键是求出m、n，其中n是一次试验中等可

n能出现的结果数，m是某个事件A所包含的结果数，求n时应注意n种结果必须是等可能的．

3. 在一次试验中，等可能出现的n个结果组成一个集合I，这n个结果就是集合I的n个元素，各基本事件均对应于集合I的含有1个元素的子集，包含m个结果的事件A对应于I的含有m个元素的子集A.因此，从集合的角度看，事件A的概率是子集A的元素个数

(记为card(A))与集合I的元素个数的比值，即P(A)＝

card（A）m

＝.

card（I）n

题型1 古典概型与代数问题交汇

例1 从－1、0、1、2这四个数中选出三个不同的数作为二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的系数组成不同的二次函数，其中使二次函数有两个零点的概率为________．

7答案： 9

解析：首先取a，∵ a≠0，∴ a的取法有3种，再取b，b的取法有3种，最后取c，

作文录

一折网 c的取法有2种，树形图如下：

∴ 共组成不同的二次函数3×3×2＝18个．

f(x)若有两个零点，不论a>0还是a<0，均应有Δ>0，即b2－4ac>0，∴ b2>4ac. 147

结合图形得，满足b2>4ac的取法有6＋4＋4＝14种，∴ 所求概率P＝＝.

189变式训练

已知关于x的二次函数f(x)＝ax2－4bx＋1.设集合P＝{－1，1，2，3，4，5}和Q＝{－2，－1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中任取一个数作为a和b的值，则函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率为________．

4答案： 9

2b

解析：函数f(x)＝ax2－4bx＋1图象的对称轴为x＝.要使y＝f(x)在区间[1，＋∞)上为

a2b

增函数，应有a>0且≤1，∴ a≥2b且a>0.

a

① 若a＝1，则b＝－2，－1；② 若a＝2，则b＝－2，－1，1；③ 若a＝3，则b＝－2，－1，1；④ 若a＝4，则b＝－2，－1，1，2；⑤ 若a＝5，则b＝－2，－1，1，2，∴ 该事件包含基本事件数为16，所求概率P＝

题型2 几何背景的古典概型问题

例2 已知直线l1：x－2y－1＝0，直线l2：ax－by＋1＝0，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}．

(1) 求直线l1∩l2＝的概率；

(2) 求直线l1与l2的交点位于第一象限的概率．

1a

解：(1) 直线l1的斜率k1＝，直线l2的斜率k2＝.设事件A为“直线l1∩l2＝”．a，

2bb∈{1，2，3，4，5，6}的总事件数为(1，1)，(1，2)，?，(1，6)，(2，1)，(2，2)，?，(2，

6)，?，(5，6)，(6，6)共36种．若l1∩l2＝，则l1∥l2，即k1＝k2，即b＝2a.满足条件的31

实数对(a，b)有(1，2)，(2，4)，(3，6)共三种情况．所以P(A)＝＝.

3612

(2) 设事件B为“直线l1与l2的交点位于第一象限”，由于直线l1与l2有交点，则b≠2a.

b＋2x＝，b－2a?ax－by＋1＝0，?

联立方程组?解得

?x－2y－1＝0，a＋1?

y＝.b－2a

164＝. 6×69

?????

b＋2

??b－2a>0，

∵ l与l的交点位于第一象限，∴ ?

a＋b??b－2a>0.1

2

∵ a、b∈{1，2，3，4，5，6}，∴ b>2a.∴ 总事件数共36种，满足b>2a的事件

作文录

一折网 61

有(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，5)，(2，6)，共6种，∴ P(B)＝＝. 366

备选变式（教师专享）

x2

集合A＝{x|x－3x－10<0，x∈Z}，从集合A中任取两个元素a、b且a·b≠0，则方程

a

2

y2

＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆的概率为________． b

3

答案： 10

解析：A＝{x|－2

2)，(4，3)，共20种，方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，应有a>b>0，∴有(2，1)，

ab63

(3，1)，(4，1)，(3，2)，(4，2)，(4，3)共6种，∴ 所求概率P＝＝. 2010

题型3 用概率解决生活中的决策问题

例3 齐王与田忌赛马，田忌的上马优于齐王的中马，劣于齐王的上马，田忌的中马优于齐王的下马，劣于齐王的中马，田忌的下马劣于齐王的下马，现各出上、中、下三匹马分组进行比赛．

(1) 如果双方均不知道对方马的出场顺序，求田忌获胜的概率；

(2) 为了得到更大的获胜概率，田忌预先了解到齐王第一场必出上等马．那么，田忌怎样安排出马顺序，才能使自己获胜的概率最大？

解：记齐王的三匹马分别为A、B、C，记田忌的三匹马分别为a、b、c.若A与a比赛，记为Aa，其他同理．

(1) 齐王与田忌赛马，有如下六种情况：Aa，Bb，Cc；Aa，Bc，Cb；Ab，Bc，Ca；Ab，Ba，Cc；Ac，Ba，Cb；Ac，Bb，Ca.其中田忌获胜的只有一种：Ac，Ba，Cb.∴ 田1

忌获胜的概率为.

6

(2) 已知齐王第一场必出上等马A，若田忌第一场必出上等马a或中等马b，则剩下二场，田忌至少输一场，这时田忌必败．于是田忌第一场得出下等马c.

① 若齐王第二场必出中等马B，可能的对阵为：Ba，Cb或Bb，Ca. ② 若齐王第二场必出下等马C，可能的对阵为：Ca，Bb或Cb，Ba.

1

其中田忌获胜的有两种：Ba，Cb或Cb，Ba.所以田忌获胜的概率为.∴ 田忌第一场

21

出下等马，才能使自己获胜的概率达最大. 2

备选变式（教师专享） (2013·襄阳调研)已知A、B、C三个箱子中各装有2个完全相同的球，每个箱子里的球，有一个球标着号码1，另一个球标着号码2，现从A、B、C三个箱子中各摸出1个球．

(1) 若用数组(x，y，z)中的x、y、z分别表示从A、B、C三个箱子中摸出的球的号码，请写出数组(x，y，z)的所有情形，并回答一共有多少种；

(2) 如果猜测摸出的这三个球的号码之和，猜中有奖，那么猜什么数获奖的可能性最大？请说明理由．

作文录

一折网 解：(1) 数组(x，y，z)的所有情形为：(1，1，1)，(1，1，2)，(1，2，1)，(1，2，2)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，2，1)，(2，2，2)，共8种．

(2) 摸出的三个球号码的和可能为3，4，5，6，故记“所摸出的三个球号码之和为i”为事件Ai(i＝3，4，5，6)，易知，事件A3包含1个基本事件，事件A4包含3个基本事件，133

事件A5包含3个基本事件，事件A6包含1个基本事件，∴ P(A3)＝，P(A4)＝，P(A5)＝，

8881

P(A6)＝，故所摸出的两球号码之和为4、5的概率相等且最大．即猜4、5获奖的可能性最

8大．

?11?

1. 从?3，2，2，3?中随机抽取一个数记为a，从{－1，1，－2，2}中随机抽取一个数记

?

?

为b，则函数y＝ax＋b的图象经过第三象限的概率是________．

3

答案：(或0.375)

8

解析：由题意，基本事件总数为4×4＝16，其中函数y＝ax＋b的图象经过第三象限的

??01，11

，－2?，?，－2?，(2，－1)，(2，－2)，(3，需满足?或?(a，b)的所有取法有??3??2????b<－1?b≤1，

63

－1)，(3，－2)共6种，所以所求的概率为＝. 168

2. 从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率是________．

1答案： 5

解析：假设正六边形的六个顶点分别为A、B、C、D、E、F，则从6个顶点中任取41

个共有15种基本结果，所取四个点构成矩形四个顶点的结果数为3，所以概率为.

53. (2013·苏州调研)有5个数成公差不为零的等差数列，这5个数的和为15，若从这5个数中随机抽取一个数，则它小于3的概率是________．

2答案： 5

解析：设成等差数列的五个数为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，则五数和为(a－2d)＋(a－d)＋a＋(a＋d)＋(a＋2d)＝5a，由题意，5a＝15，a＝3，又公差d≠0，所以其中有两个数2

小于3，故随机抽取一个数小于3的概率是. 5

4. (2013·济南模拟)设连续掷两次骰子得到的点数分别为m、n，令平面向量a＝(m，n)，b＝(1，－3)．

(1) 求使得事件“a⊥b”发生的概率； (2) 求使得事件“|a|≤|b|”发生的概率．

解：(1) 由题意知，m∈{1，2，3，4，5，6}，n∈{1，2，3，4，5，6}，故(m，n)所有可能的取法共36种．使得a⊥b，即m－3n＝0，即m＝3n，共有2种：(3，1)、(6，2)，所

作文录

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