第九章 微分方程与差分方程(2)

2．求微分方程y???6y??(9?a2)y?0的通解，其中常数a?0. 解：特征方程为：r?6r?9?a?0，求得特征根 r1,2??3?ai 所以方程的通解 y?e?3x(C1cosax?C2sinax) 3．求方程4y???4y??y?0，yx?0?2，y?x?022?0的特解

1 22解：特征方程为 4r?4r?1?0，解得特征根为 r1?r2?? 所以方程的通解为 y?(C1?C2x)e1?x2

?x11 y??(C2?C1?C2x)e2

221 把 yx?0?2，y?x?0?0 代入上二式，得C1?2,C2?1

1?x2 故 所求方程满足条件的解为 y?(2?x)e

*2x4．设二阶常系数线性方程y????y???y??e的一个特解为y?ex?(1?x)ex，试确定常数

?,?,?，并求该方程的通解

解：将y?e2x?(1?x)ex代入原方程，得

(4?2???)e2x?(3?2???)ex?(1????)xex??ex

?4?2????0? 比较同类项的系数，得?3?2?????

?1?????0?x 解方程组，得???3,??2,???1，即原方程为 y???3y??2y??e

x2x 对应的特征方程的根为 r1?1,r2?2，故齐次方程的通解为 y?C1e?C2e

所以原方程的通解为 y?C1ex?C2e2x?[e

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2x?(1?x)ex]

高等数学练习题 第十二章 微分方程

系 专业 班 姓名 学号 第三节 二阶常系数线性微分方程的解法（二）

一．填空题

1．方程y???3y??2y?3xe的特解可设为 .

?xx(A0?A1x)e?x2A2．方程4y???12y??9y?e(3x2?2)的特解可设为 x ( A 0 ? A 1 x ? 2 x ) e .

3．方程y???y?x2?1的特解可设为 A 0 ? A 1 x ? A 2 x . 4．方程y???2y??5y?esin2x的特解可设为 . 5．方程y???6y??9y?(x?1)e3xx23x223x2xex(Acos2x?Bsin2x)的特解可设为 .

x2(A0?A1x)e3x6．已知二阶线性非齐次微分方程有三个特解y1?3，y2?3?x2，y3?3?x2?ex，则该微分方程的通解是 y ? C 1e ? C 2 x ? 3 . 二．选择题

1．微分方程y???y??ex?1的一个特解应具有形式（式中a,b为常数） （ D ） （A）ae?b （B）axe?b （C）ae?bx （D）axe?bx 2．微分方程y???4y??4y?xe（A）y?(Ax?Bx)e（C）y?(Ax?B)e2x322x2xxxxxx2 ?sinx的特解应设为 （ D ）

?Csinx （B）y?Ax3e2x?Bsinx?Ccosx

?Csinx?Dcosx （D）y?(Ax3?Bx2)e2x?Csinx?Dcosx

3．设微分方程y???2y??3y?f(x)有特解y*，则它的通解是 （ A ） （A）y?C1e?x?C2e3x?y* （B）y?C1e?x?C2e3x （C）y?C1xe三．计算题

1．求微分方程y???y??2y?5sinx的一个特解

?x?C2xe3x?y* （D）y?C1ex?C2e?3x?y*

解:特征方程为:?2???2?0,??1??1,?2?2 故设微分方程的特解为Acosx?Bsinx,代入微分方程得(?Acosx?Bsinx)?(?Asinx?Bcosx)?2(Acosx?Bsinx)?5sinx 67

1?A???A?B?2A?0??2??????B?A?2B?5?B??3

??213?微分方程的一个特解为cosx?sinx.222．求微分方程y???5y??6y?x2?3的通解

解:特征方程为:?2?5??6?0,??1??1,?2?6?齐次微分方程的通解为y?C1e?x?C2e6x设非齐次微分方程的特解为A0?A1x?A2x2,代入微分方程得2A2?5(2A2x?A1)?6(A2x2?A1x?A0)?x2?323?A??0108?6A2?1??5?????10A2?6A1?0??A1?18?2A?5A?6A??3?10?21?A???26?1523?非齐次微分方程的通解为y?C1e?x?C2e6x?x2?x?618108 3．设函数求微分方程y???2y??y?xex?ex 满足初始条件yx?0?1,y??1的特解 x?0

解:特征方程为:?2?2??1?0,??1??2?1?齐次微分方程的通解为y?(C1?C2x)ex设非齐次微分方程的特解为x2(A0?A1x)ex,代入微分方程得6A1x?2A0?x?111?A0??,A1?2611?非齐次微分方程的通解为y?(C1?C2x)ex?x2(??x)ex261?y??(C1?C2?C2x)ex?(x3?x)ex6?当x?0时,y?1,y??1?C1?1?C?111????1?特解为y?ex?x2ex(??x)26?C1?C2?1?C2?0

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4．y?y(x)满足微分方程y???3y??2y?2ex，且其图形在点(0,1)处的切线与线y?x2?x?1在该点的切线重合，求函数y?y(x).

解:由题意知:y|x?0?1,y?|x?0??1特征方程为:?2?3??2?0,??1?1,?2?2?齐次微分方程的通解为y?C1ex?C2e2x设非齐次微分方程的特解为A0xex,代入微分方程得(2?3)A0?2?A0??2?非齐次微分方程的通解为y?C1ex?C2e2x?2xex?y??C1ex?2C2e2x?2ex?2xex?当x?0时,y?1,y???1?C1?C2?1?C?1????1?特解为y?ex?2xex?C1?2C2?2??1?C2?0

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高等数学练习题 第十二章 微分方程

系 专业 班 姓名 学号 第四节 一阶常系数线性差分方程

一．选择题

1．用待定系数法求差分方程yt?1?yt?2t2的特解，其试解函数的形式应写成 （ ）

2（A）yt*?At2 （B） yt*?A1?A2t?A3t 2*22（C）yt*?t(A （D）?At?At)y?t(A?At?At123t123)

2．yt?1?4yt?sin3t的特解的试解为： （ ） （A）Acos3t （B）A1cos3t?A2sin3t （C）Asin3t （D）t(A1cos3t?A2sin3t) 二．填空题

1．函数yt?sin2t的一阶差分为?yt? 2．差分方程yt?1?5yt?3?0的通解为 三．计算题

1．求差分方程yt?1?5yt?cos

2．求差分方程yt?1?yt?t2的通解

t?2t的通解

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