理论力学题库第五章(7)

11122m1?2?m2?0?J0??0 222?1111s?2?m2(x?2?s?2?2x?s?cos?)??m2r2?()2 ?m1x2222r13?2?m2s?2?m2x?s?cos? ?(m1?m2)?x24T?V??m3gssin? （常数略去） 该系统为保守系统，拉格朗目日函数为

L?T?V?m1?m223??m2s?2?m2x?s?cos??m3gs?sin? ?x24由第二类拉格朗日方程

m?m2d?L?L??m2??cos??0 ()??0，1?2?xs?dt?X?X2d?L?L3??m2??cos??m2gsin??0 ()??0，m2?2?sx?dt?S?S4整理得

??m2??cos??0 ??① (m1?m2)?xs3?????cos??gsin??0 ??② sx2取关立（1）（2）两式，得

m2gsin2??? a??x23m1?(3?2cos?)m2

13.在图示系统中，已知：匀质圆柱A的质量为m1，半径为r，物块B质量为m2，光滑斜面的倾角为?，滑车质量忽略不计，并假设斜绳段平行斜面。试求 ：

（1） 以??和y为广义坐标，用第二类拉格朗日

方程建立系统的运动微分方程；

（2） 圆柱A的角加速度?和物块B的加速度。

解：

以??和y为广义坐标，系统在一般位置时的动能和势能

11?r)2?1(1mr2)??2 ?2?m1(y???T?m2y12222V??m2gy?m1g(y??r)sin?

?T?r)r?1mr2??， d?T??m(???r)r?1mr2??? ??????m1(yy??111??2dt??2???T?V?0，??m1grsin? ?????Td?T??r)) ?r)， ??m1(??????m1(y????m2y?m2?yy???ydt?y?T?V?0，??m2g?m1gsin?

?y?y代入第二类拉格朗日方程得系统的运动微分方程

??r)?1r????gsin??0 ????(?y2??r)?mg?mgsin??0 ??m1(????m2?yy21由上解得：

(3m2?m1sin?)g??? 物块B的加速度 y3m2?m1???2m2g(1?sin?) 圆柱A的角加速度 ??

(3m2?m1)r

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