EMD信号分析方法端点效应分析(4)

西南交通大学本科毕业设计(论文) 第8页

H[x(t)]?式中，p—积分的主值。

1?p?x(?)d? （2-1） t????~?? 令H[x(t)]?x(t)，构成解析信号Z(t)?x(t)?jx(t)，则Z(t)可表示成

Z(t)?x(t)?jx(t)?a(t)ej?(t) （2-2） 其中

x(t) a(t)?x2(t)?x(t),?(t)?arctan （2-3）

x(t)~2~~~显然，a(t)和θ(t)分别表示解析信号z(t)的瞬时包络和相位。Hilbert变换定义为函数x(t)与1/πt的卷积，因而，经过Hilbert变换得到的解析信号z(t)强调了原始信号x(t)的局部特性；而其极坐标表达式进一步地表明了其局部特性，即它表示幅值与相位随时间变化的三角函数对x(t)的最佳局部拟合。将瞬时频率定义为

?(t)?d?(t) （2-4） dt由式(2-4)可知，瞬时频率是时间t的单值函数，在任意时刻，只有唯一的瞬时频率，这促使Cohen在1995年提出了“单组分函数”的概念，即式(2-4)只能表示一个单组分信号的频率。然而，没有一个明确的定义来描述“单组分”信号。由于缺乏“单组分”信号的定义，为了使瞬时频率有意义，便采用了“窄带”的要求来约束信号。

对于带宽有两种定义。第一种一般用于研究信号和波形的概率特性，其中假设信号具有稳态高斯特性。这样，带宽能定义成信号频谱矩的函数。

单位时间内，信号过零点数目可表达为

11m N0?(2)2 （2-5）

?m0单位时间内，极值点数目可表达为

1m N1?(4)2 （2-6）

?m2式中，mi——频谱的第i阶矩。 带宽参数?可定义为

21m4m0?m212 N?N?2?? （2-7） 2?m2m0?221201上式给出了带宽的一个标准测量方法，对一个v=0的窄带信号，则意味着极

西南交通大学本科毕业设计(论文) 第9页 值点的数目与过零点的数目相等。

Huang等人分析认为，式(2-7)是在全局意义上定义的带宽，这种定义过于严格却缺乏精确性。由于带宽的限制，通过希尔伯特变换求取解析信号相位的导数来获得有意义的瞬时频率的方法没有严格地建立起来。例如，Melville(1983)曾成功地从数据中滤出满足带宽定义限制条件的信号，但仍得到了很多没有物理意义的负的频率分量。虽然，为了得到有意义的瞬时频率，Gabor(1963)，Boashash(1992)对数据提出了限定条件：即任何一个函数要得到有意义的瞬时频率，其傅立叶变换的实部必须只有正的频率分量，Tichmarsh(1948)已在数学上证明了这个限制条件，但仍是一个全局性的定义。对于实际的数据分析，必须把这个约束条件转换成直观的、物理上可实现的步骤，为此必须把这些基于信号全局性的限定条件转化为局部的限定条件。为了探索局部的限定条件，Huang等人分析了一个简单的例子。对于正弦信号叠加一个直流分量

t?a （2-8） x(t)?sin在a=0，01三种情况下，分析其解析信号的瞬时相位及瞬时频率的变化，得出当a=0时，瞬时频率为预期常数；01时，瞬时频率出现了无意义的负值分量。

Huang等人根据这个例子说明，信号只有在它关于零均值局部对称条件下才能定义瞬时频率。对一般信号而言，任何一个叠加波局部等同于a>1的情况；任何一个非对称波局部等同于a<1(但a≠0)的情况。为了获得有意义的瞬时频率，应该用这些局部限制代替先前分析的全局要求。上述的局部限制就启示一种方法，即把信号分解为使瞬时频率有意义的各个组分，定义为本征模函数，基于这类函数的局部特性，使之在函数的任意一点瞬时频率都有意义，此即为本文所要论述的经验模态分解(EMD)方法。EMD分解方法的最大贡献是使信号符合Cohen所说的“单组分”要求，进而使式(2-4)定义的瞬时频率有物理意义。

2.2.2 特征尺度参数

描述信号特征的基本参数式时间和频率，频率能够反映信号的本质特征，但不直观。有时直接从时域观察信号的变化过程同样可以获得类似频率的信号特征，这就是特征尺度。尺度与频率式密切相关的，小的尺度对应于大的频率，大的尺度对应于小的频率，通过小波变换可以得到信号的时间-尺度谱，而不是直接的时间-频率谱。通过对信号的观察，很容易得到信号在特定要求的点之间的时间跨度，它被成为时间尺度参数。在傅里叶变换中，基函数的时间尺度参数与频率具有定量的关系，表明了谐波函数的周期长度。而对于非平稳信号，时间尺度参数是基于信号特征点的特征参数，虽然与傅里叶频谱没有定量的关系，但更

西南交通大学本科毕业设计(论文) 第10页 能反映非平稳信号的特征。

时间尺度参数定义为信号在特定要求的点之间的时间跨度，数学上对于任何信号x(t)，时间尺度参数可由零点获得，信号的过零点位置为满足式（2.1）的t值，即

x(t)?0 （2.1） 在两个相邻的零点之间的时间跨度就被定义为过零尺度参数。

如果通过信号的极值点定义，可以得到极值尺度参数的定义，信号的极值点位置为满足式（2.2）的t值，即

dx(t)?0 （2.2） dt尺度参数如果定义为两个相邻点的极值点之间的时间跨度，被称为极值尺度参数。

对满足线性和正态分辨的平稳信号，过零尺度参数和极值尺度参数是一致的，而对非线性、非平稳信号，采取不同的定义将会得到不同的结果。但是，无论采用哪一种尺度参数，时间跨度都只与相邻的两个特征点有关，因此反映了信号随时间变化的局部特征。在大多数情况下，采用极值尺度参数，因为对基于过零点的时间跨度测量比较困难，对一些信号有可能在两个过零点之间存在多个极值点，同时对一些没有过零点的信号将无法定义它的时间尺度参数。而基于极值点的时间跨度测量方法，不管信号是否存在过零点，都能有效的找出信号的所有模态，从某一极大值（或极小值），定义了信号的局部波动特征，这个时间跨度被称为特征尺度参数，它反映了信号不同模态的特征。

2.2.3 内禀模态函数

在Hilbert-Huang变换中，为了计算瞬时频率，定义了内禀模态函数，它是满足单分量信号物理解释的一类信号。直观上，内禀模态函数具有相同的极值点和过零点数目，其波形与一个标准正弦信号通过调幅和调频得到的新信号相似，其正式定义如下。

一个内禀模态函数必须满足下面两个条件： （1） （2）

在整个数据段内，极值点的个数和过零点的个数必须相等或相差最多不在任意时刻，由局部极大值点形成的上包络线和由局部极小值点形成的

能超过一个；

下包络线的平均值为零，即上、下包络线相对于时间轴局部对称。

第一个条件类似于高斯正态平稳过程的传统窄带要求，而第二个条件是为了保证由内禀模态函数求出的瞬时频率有意义。基于这个定义，内禀模态函数反

西南交通大学本科毕业设计(论文) 第11页 映了信号内部固有的波动性，在它的每一个周期上，仅仅包含一个波动模态，不存在多个波动模态混淆的现象。

2.3 EMD方法的基本原理和算法

从上节可知，本征模函数经过希尔伯特变换能使信号的瞬时频率有意义。但是，几乎所有要分析的数据都不是本征模函数，在任意时间点上，数据可能包含多个波动模式，这就是Long等人所报道的简单的希尔伯特变换不能完全表征一般数据的频率特性的原因[50,51]。为了能把一般数据分解成本征模函数，Norden E.Huang等人基于对信号局部均值和特征时间尺度与瞬时频率关系的研究，引入了将一个复合信号分解成IMF分量的方法—经验模态分解(Empirical Mode Decomposition，简称EMD)或经验筛法。

2.3.1 EMD方法-“筛分”过程

对于内禀模态函数，可以用Hilbert变换构造解析信号，然后求出瞬时频率。而对于一般的不满足内禀模态函数条件的复杂信号，先要采用EMD方法将其分解。EMD方法将一个复杂的信号分解为若干个内禀模态函数之和，它基于一个基本的假设：任何复杂的信号都是由一些不同的内禀模态函数组成，每一内禀模态函数不论是现象或是非线性、非平稳的，都具有相同数量的极值点和过零点，在相邻的两个过零点之间只有一个极值点，而且上、下包络线关于时间轴局部对称，任何两个模态之间是相互独立的；任何时候，一个信号都可以包含许多内禀模态函数，如果模态函数相互重叠，便形成复杂信号。在此基础上，可以采用EMD方法通过下面的步骤对任何信号x(t)进行分解：

（1） 确定信号所有的局部极值点，然后用三次样条线将所有的局部极大值点连

接起来形成包络线。

（2） 再用三次样条线将所有的局部极小值点连接起来形成下包络线，上、下包

络线应该包络所有的数据点。 （3） 上、下包络线的平均值记为m1，求出

x(t)?m1?h1 （2.5） 理想地，如果h1是一个IMF，那么h1就是x(t)的第一个IMF分量。 （4） 如果h1不满足IMF的条件，把h1作为原始数据，重复步骤（1）～（3），

得到上、下包络线的平均值m11，再判断h11?h1?m11是否满足IMF的条件，如不满足，则重循环k次，得到h1(k?1)?m1k?h1k，使得h1k满足IMF的条件。记c1?h1k，则c1为信号x(t)的第一个满足IMF条件的分量。

西南交通大学本科毕业设计(论文) 第12页 （5） 将c1从x(t)中分离出来，得到

r1?x(t)?c1 （2.6）

将r1作为原始数据重复步骤（1）～（4），得到x(t)的第二个满足IMF条件的分离c2，重复循环n次，得到信号x(t)的n个满足IMF条件的分量。这样就有

r1?c2?r2 ? （2.7）

rn?1?cn?rn

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