考研数学公式汇编大全(3)

2012年最新考研数学公式汇编（修订版）

多元函数微分法及应用

全微分：dz??z?z?u?u?udx?dy　　　du?dx?dy?dz?x?y?x?y?z全微分的近似计算：?z?dz?fx(x,y)?x?fy(x,y)?y多元复合函数的求导法：dz?z?u?z?vz?f[u(t),v(t)]　　　????　dt?u?t?v?t?z?z?u?z?vz?f[u(x,y),v(x,y)]　　　?　????x?u?x?v?x当u?u(x,y)，v?v(x,y)时，du??u?u?v?vdx?dy　　　dv?dx?dy　?x?y?x?y隐函数的求导公式：FxFFdyd2y??dy隐函数F(x,y)?0，　　??，　　2?(?x)＋(?x)?dxFy?xFy?yFydxdxFyFx?z?z隐函数F(x,y,z)?0，　??，　　???xFz?yFz

?F?F(x,y,u,v)?0?(F,G)?u隐函数方程组：　　　J????G?(u,v)?G(x,y,u,v)?0?u?u1?(F,G)?v1?(F,G)???　　　　????xJ?(x,v)?xJ?(u,x)?u?y??1?(F,G)?v1?(F,G)?　　　　???J?(y,v)?yJ?(u,y)?v?Fu?GGu?v?FFvGv

微分法在几何上的应用：

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?x??(t)x?x0y?y0z?z0?空间曲线?y??(t)在点M(x0,y0,z0)处的切线方程：????(t0)??(t0)??(t0)?z??(t)?在点M处的法平面方程：??(t0)(x?x0)???(t0)(y?y0)???(t0)(z?z0)?0??FyFzFzFxFx?F(x,y,z)?0若空间曲线方程为：,则切向量T?{,,?GGGxGGG(x,y,z)?0?yzzx?曲面F(x,y,z)?0上一点M(x0,y0,z0)，则：?1、过此点的法向量：n?{Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)}x?x0y?y0z?z03、过此点的法线方程：??Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)方向导数与梯度：

FyGy}2、过此点的切平面方程：Fx(x0,y0,z0)(x?x0)?Fy(x0,y0,z0)(y?y0)?Fz(x0,y0,z0)(z?z0)?0?f?f?f函数z?f(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向l的方向导数为：?cos??sin??l?x?y其中?为x轴到方向l的转角。函数z?f(x,y)在一点p(x,y)的梯度：gradf(x,y)??f??f?i?j?x?y

???f??它与方向导数的关系是：?gradf(x,y)?e，其中e?cos??i?sin??j，为l方向上的?l单位向量。?f是gradf(x,y)在l上的投影。?l?多元函数的极值及其求法：

设fx(x0,y0)?fy(x0,y0)?0，令：fxx(x0,y0)?A,　fxy(x0,y0)?B,　fyy(x0,y0)?C??A?0,(x0,y0)为极大值2AC?B?0时，???A?0,(x0,y0)为极小值??2则：?AC?B?0时，　　　　　　无极值?AC?B2?0时,　　　　　　　不确定???重积分及其应用：

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??f(x,y)dxdy???f(rcos?,rsin?)rdrd?DD???z???z??曲面z?f(x,y)的面积A???1???????dxdy?x?y????D平面薄片的重心：x?MxM22??x?(x,y)d??D???(x,y)d?DD,　　y?MyM??y?(x,y)d??D???(x,y)d?DD

平面薄片的转动惯量：对于x轴Ix???y2?(x,y)d?,　　对于y轴Iy???x2?(x,y)d?平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点M(0,0,a),(a?0)的引力：F?{Fx,Fy,Fz}，其中：Fx?f??D?(x,y)xd?222，　　Fy?f3??D?(x,y)yd?222，　　Fz??fa??3D?(x,y)xd?3(x?y?a)2(x?y?a)2(x?y?a)2222柱面坐标和球面坐标：

?x?rcos??柱面坐标：?y?rsin?,　　　???f(x,y,z)dxdydz????F(r,?,z)rdrd?dz,???z?z?其中：F(r,?,z)?f(rcos?,rsin?,z)?x?rsin?cos??2球面坐标：?y?rsin?sin?，　　dv?rd??rsin??d??dr?rsin?drd?d??z?rcos??2?

?r(?,?)2F(r,?,?)rsin?dr?0????f(x,y,z)dxdydz????F(r,?,?)rsin?drd?d???2?d??d?00重心：x?1M???x?dv,　　y???1M???y?dv,　　z???1M???z?dv，　　其中M???x?????dv?转动惯量：Ix????(y2?z2)?dv，　　Iy????(x2?z2)?dv，　　Iz????(x2?y2)?dv曲线积分：

第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：?x??(t)设f(x,y)在L上连续，L的参数方程为：,　　(??t??),则：?y??(t)??L?x?tf(x,y)ds??f[?(t),?(t)]??2(t)???2(t)dt　　(???)　　特殊情况：??y??(t)??第 13 页 共 20 页

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第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：?x??(t)设L的参数方程为?，则：?y??(t)??P(x,y)dx?Q(x,y)dy??{P[?(t),?(t)]??(t)?Q[?(t),?(t)]??(t)}dtL?两类曲线积分之间的关系：?Pdx?Qdy??(Pcos??Qcos?)ds，其中?和?分别为LLL上积分起止点处切向量的方向角。格林公式：??(D?Q?P?Q?P?)dxdy??Pdx?Qdy格林公式：(???x??y)dxdy??Pdx?Qdy?x?yLDL?Q?P1当P??y,Q?x，即：??2时，得到D的面积：A???dxdy??xdy?ydx?x?y2LD·平面上曲线积分与路径无关的条件：1、G是一个单连通区域；2、P(x,y)，Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，且减去对此奇点的积分，注意方向相反！·二元函数的全微分求积：?Q?P在＝时，Pdx?Qdy才是二元函数u(x,y)的全微分，其中：?x?y(x,y)?Q?P＝。注意奇点，如(0,0)，应?x?y

u(x,y)?(x0,y0)?P(x,y)dx?Q(x,y)dy，通常设x0?y0?0。曲面积分：

对面积的曲面积分：??f(x,y,z)ds??Dxy??f[x,y,z(x,y)]221?zx(x,y)?zy(x,y)dxdy对坐标的曲面积分：??P(x,y,z)dydz?Q(x,y,z)dzdx?R(x,y,z)dxdy，其中：???R(x,y,z)dxdy????R[x,y,z(x,y)]dxdy，取曲面的上侧时取正?Dxy号；

??P(x,y,z)dydz????P[x(y,z),y,z]dydz，取曲面的前侧时取正?Dyz号；号。??Q(x,y,z)dzdx????Q[x,y(z,x),z]dzdx，取曲面的右侧时取正?Dzx??两类曲面积分之间的关系：??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy???(Pcos??Qcos??Rcos?)ds高斯公式：

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???(??P?x??Q?y??R?z)dv???Pdydz?Qdzdx?Rdxdy???(Pcos??Qcos??Rcos?)ds??高斯公式的物理意义——通量与散度：??P?Q?R?散度：div????,即：单位体积内所产生的流体质量，若div??0,则为消失...?x?y?z??通量：??A?nds???Ands???(Pcos??Qcos??Rcos?)ds，??因此，高斯公式又可写?成：???divAdv?????Adsn?斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：

??(??R?Q?P?R?Q?P?)dydz?(?)dzdx?(?)dxdy??Pdx?Qdy?Rdz?y?z?z?x?x?y?dzdx??yQdxdycos???????z?x?RPcos???yQcos???zR

dydz?上式左端又可写成：???x?P?R?Q?P?R?Q?P空间曲线积分与路径无关的条件：?，　?，　??y?z?z?x?x?yijk????旋度：rotA??x?y?zPQR???向量场A沿有向闭曲线?的环流量：Pdx?Qdy?Rdz?A???tds??常数项级数：

等比数列：1?q?q???q2n?1?1?qn1?q

等差数列：1?2?3???n?调和级数：1?12?13???1n(n?1)n2是发散的级数审敛法：

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