MATLAB数值计算和符号运算

实验五 MATLAB数值计算和符号运算

一、实验目的

1．掌握并理解Maltab在数值计算的基本用法。 2．理解matlab在工程领域解题的一般过程。 3. 掌握Matlab符合运算的基本方法。

二、实验的设备及条件

计算机一台（带有MATLAB7.0以上的软件环境）。

三、实验内容

1．线性系统方程：分别使用左除（\\）和LU分解求解下面系统方程的解：

?3a?6b?4c?1??a?5b?2 ?7b?7c?3?2. 使用quad和trapz求解

?50xe?x/3dx的数值积分，并与其解析解相比较（解析解利

用符号运算进行求解，参考函数int）；（要求：使用quad求积分时，请分别用函数文件和匿名函数的方式求解）

提示：这里trapz是离散积分，需先分别对x和y数据进行采样，即需要产生相应的数据点模拟采样数据）；

3.求下面函数在[0.5,4]区间内的过零点。（用fzero函数）

提示：首先用函数ezplot绘制曲线f(x)在[0.5,4]上的图像，命令如下 ezplot('x^3-2*x^2*sin(x)+5*x*cos(x)+1/x',[0.5,4])；其次，根据图像得到函数上接近零点的坐标，利用fzero函数求其零点。

4.求常微分方程的数值解

?d2ydy(x?1)?2?y?0?dx2dx??y(0)?1?y?(0)??1??提示：需先撰写函数，再用ode45或ode23求解。

5.对边长为3m的正方形铁板，在4个角剪去相等的正方形以制成方形无盖水槽，问何种剪法可使水槽的容积最大？（提示：设剪去的正方形边长为x，则水槽的体积应为(3-x)x，利用fminbnd求解，考虑实际情况，注意fminbnd的求解区间的设置）

2

6. 设有400万元资金，要求4年内使用完，若在一年内使用资金x万元，则可得效益 ，当年不用的资金可存入银行，年利率为10%。试制定出资金x万元（效益不能再使用）

的使用计划，以使4年效益之和为最大。

（提示1：这是一个有约束条件的最优化问题的求解，需利用线性规划建立函数方程，假设第一年至第四年使用的资金分别为x1,x2,x3,x4，则可建立以下方程：）

（提示2：该方程需要根据fmincon函数的要求进行一下转换，比如fmincon只能求解最小值的最优化问题，线性不等式需转换为小于等于的形式等）。

max:f(x1,x2,x3,x4)?x1?x2?x3?x4?x1?400?x?(400?x)?1.1?21??x3?((400?x1)?1.1?x2)?1.1??x4?(((400?x1)?1.1?x2)?1.1)?x3)?1.1

四、程序设计

题1.1

>> A=[3 6 4;1 5 0;0 7 7;]; >> B=[1 2 3]'; >> x=A\\B x =

-0.5824 0.5165 -0.0879

题1.2

>> A=[3 6 4;1 5 0;0 7 7;]; >> [L,U]=lu(A); >> b=[1 2 3]'; >> x=U\\(L\\b) x =

-0.5824 0.5165 -0.0879

题2.1

function z=quda(x1, y1)

y=inline('x.*exp(-x./3)','x'); quad(y,x1,y1) >> quda(5,0)

ans = -4.4670

题2.2

>> quad(@(x)(x.*exp(-x./3)),5,0) ans = -4.4670

题2.3

>> x=0:0.1:5;

>> y=x.*exp(-x./3); >> trapz(x,y) ans = 4.4660

题2.4

>> syms x

>> int(x.*exp(-x./3),0,1) ans =

9 - 12/exp(1/3) 题3

>> ezplot('x^3-2*x^2*sin(x)+5*x*cos(x)+1/x',[0.5,4]) >> [xx,yy]=ginput(2) xx =

1.4234 2.6250 yy = 0.0225 -0.2379

>> y=inline('x^3-2*x^2*sin(x)+5*x*cos(x)+1/x','x') y =

Inline function:

y(x) = x^3-2*x^2*sin(x)+5*x*cos(x)+1/x

>> [x1,y1]=fzero(y,xx(1)) x1 = 1.5117 y1 = 0

>> [x2,y2]=fzero(y,xx(2)) x2 = 2.6095 y2 =

0

题4

function dy=result(x,y); dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2);

dy(2)=(2*y(2)+y(1))./(1-x) >>tspan=[0：0.01：1]; >>y0=[1 -1];

>>[x,y]=ode45('result',tspan,y0) >>plot(x,y)

>>plot(x,y(:,1),'-',x,y(:,2),'--') >>title('常微分方程解'); >>legend('y1','y2'); >>xlabel('x'); >>ylabel('y');

题5

>>a=fminbnd('1/((3-2*x).^2.*x)',0,1.5); >>b=1/a b = 2.0000

>>x=[0:0.001:1.5]; >>y=(3-2*x).^2.*x-2; >>plot(x,y);

>>[xx,yy]=ginput(1);

>> [x1,y1]=fzero(y,xx(1)) x =

0.5 y = 0

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