2024年普通高等学校招生全国统一考试数学 文（四川卷）（解析版(2)

AA1∩AC=A，

∴BA⊥平面AA1C1C．由三垂线定理可知BE⊥DA1． ∴∠BEA为二面角A－A1D－B的平面角．

15在Rt△A1C1D中，A1D?()2?12?，

22又S?AA1D?11525?1?1???AE，∴AE?． 2225在Rt△BAE中，BE?(252235AH2，∴cos?AHB?)?1??．

55BH3故二面角A－A1D－B的平面角的余弦值为

2． 3解法二：

如图，以A1为原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系A1－B1C1A，则A1(0,0,0)，B1(1,0,0)，C1(0,1,0)，B(1,0,1)，P(0,2,0)．

11（Ⅰ）在△PAA1中有C1D?AA1，即D(0,1,)．

22?????????????∴A1B?(1,0,1)，A1D?(0,1,x)，B1P?(?1,2,0)． 设平面BA1D的一个法向量为n1?(a,b,c)，

?????n1?A1B?a?c?0,1?c??1则?????令，则?n?(1,,?1)． 112n?AD?b?c?0.?11?2????1∵n1?B1P?1?(?1)??2?(?1)?0?0，

2∴PB1∥平面BA1D，

1（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面BA1D的一个法向量n1?(1,,?1)．

2n?n12?． 又n2?(1,0,0)为平面AA1D的一个法向量．∴cos?n1,n2??12?|n1|?|n2|1?3322故二面角A－A1D－B的平面角的余弦值为．

320．（本小题共12分）

已知{an}是以a为首项，q为公比的等比数列，Sn为它的前n项和．

（Ⅰ）当S1、S3、S4成等差数列时，求q的值；

（Ⅱ）当Sm、Sn、Sl成等差数列时，求证：对任意自然数k，am?k、an?k、al?k也成等差数列．

本小题考查等比数列和等差数列的基础知识以及基本运算能力和分析问题、解决问题的能力．

解：（Ⅰ）由已知，an?aqn?1，因此S1?a，S3?a(1?q?q2)，S4?a(1?q?q2?q3)．

当S1、S3、S4成等差数列时，S1?S4?2S3，可得aq3?aq?aq2．

1?5． 2（Ⅱ）若q?1，则{an}的每项an?a，此时am?k、an?k、al?k显然成等差数列．

化简得q2?q?1?0．解得q? - 6 -

aq(m?1)aq(l1)?2(aq1)n???若q?1，由Sm、Sn、Sl成等差数列可得Sm?Sl?2Sn，即

q?1q?1q?1．

整理得qm?ql?2qn．因此，am?k?al?k?aqk?1(qm?ql)?2aqn?k?1?2an?k．

所以，am?k、an?k、al?k也成等差数列．

21．（本小题共l2分）

3x2y2过点C(0，1)的椭圆2?2?1(a?b?0)的离心率为，椭圆与x轴交于两点A(a,0)、

2abA(?a,0)，过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q．

（I）当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长；

????????（Ⅱ）当点P异于点B时，求证：OP?OQ为定值．

本小题主要考查直线、椭圆的标准方程及基本性质等基本知识，考查平面解析几何的思想方法及推理运算能力．

c3x2解：（Ⅰ）由已知得b?1,?，解得a?2，所以椭圆方程为?y2?1．

a24椭圆的右焦点为(3,0)，此时直线l的方程为 y??7x2?83x?0，解得x1?0,x2?D(831,?)， 773x?1，代入椭圆方程得 3831，代入直线l的方程得 y1?1,y2??，所以77故|CD|?(83116． ?0)2?(??1)2?777（Ⅱ）当直线l与x轴垂直时与题意不符．

1设直线l的方程为y?kx?1(k?0且k?)．代入椭圆方程得(4k2?1)x2?8kx?0．

2?8k1?4k2解得x1?0,x2?2，代入直线l的方程得y1?1,y2?2，

4k?14k?12?8k1?4k所以D点的坐标为(2,)．

4k?14k2?1?x??4k,x1?2k又直线AC的方程为?y?1，又直线BD的方程为y? (x?2)，联立得?y?2k?1.22?4k?1因此Q(?4k,2k?1)，又P(?,0)．

k????????1所以OP?OQ?(?,0)(?4k,2k?1)?4．

k????????故OP?OQ为定值． 22．（本小题共l4分）

21已知函数f(x)?x?，h(x)?x．

3222

（Ⅰ）设函数F(x)＝18f(x)－x[h(x)]，求F(x)的单调区间与极值；

33（Ⅱ）设a?R，解关于x的方程lg[f(x?1)?]?2lgh(a?x)?2lgh(4?x)；

241（Ⅲ）设n?N*，证明：f(n)h(n)?[h(1)?h(2)???h(n)]?．

6

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本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力．

解：（Ⅰ）F(x)?18f(x)?x2[h(x)]2??x3?12x?9(x?0)，

?F?(x)??3x2?12．

令?F?(x)?0，得x?2（x??2舍去）．

当x?(0,2)时．F?(x)?0；当x?(2,??)时，F?(x)?0，

故当x?[0,2)时，F(x)为增函数；当x?[2,??)时，F(x)为减函数． x?2为F(x)的极大值点，且F(2)??8?24?9?25．

33（Ⅱ）方法一：原方程可化为log4[f(x?1)?]?log2h(a?x)?log2h(4?x)，

24?x?a,a?x即为log4(x?1)?log2a?x?log24?x?log2，且?

1?x?4,4?x?①当1?a?4时，1?x?a，则x?1?a?x，即x2?6x?a?4?0， 4?x6?20?4a?3?5?a，∵1?x?a， ??36?4(a?4)?20?4a?0，此时x?2此时方程仅有一解x?3?5?a．

a?x1?x?4，x?a?4?0，??36?4(a?4)?20?4a，②当a?4时，由x?1?，得x2?6

4?x若4?a?5，则??0，方程有两解x?3?5?a； 若a?5时，则??0，方程有一解x?3； 若a?1或a?5，原方程无解．

方法二：原方程可化为log4(x?1)?log2h(4?x)?log2h(a?x)，

1即log2(x?1)?log24?x?log22?x?1?0,?1?x?4?4?x?0,?? ??x?a,a?x，??a?x?0,??a??(x?3)2?5.???(x?1)(4?x)?a?x.①当1?a?4时，原方程有一解x?3?5?a； ②当4?a?5时，原方程有二解x?3?5?a； ③当a?5时，原方程有一解x?3；

④当a?1或a?5时，原方程无解．

（Ⅲ）由已知得h(1)?h(2)???h(n)]?1?2???n，

14n?31f(n)h(n)??n?．

6661设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn?f(n)h(n)?（n?N*）

64k?34k?1从而有a1?S1?1，当2?k?100时，ak?Sk?Sk?1?k?k?1．

661(4k?3)2k?(4k?1)2(k?1)1又ak?k?[(4k?3)k?(4k?1)k?1]??

6(4k?3)k?(4k?1)k?1611???0． 6(4k?3)k?(4k?1)k?1即对任意

k?2时，有

ak?k，又因为

a1?1?1，所以

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a1?a2???an?1?2???n．

则Sn?h(1)?h(2)???h(n)，故原不等式成立．

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